精品解析：陕西咸阳市永寿县中学2026届高三下学期数学冲刺压轴金卷（二）

普通高等学校招生全国统一考试冲刺压轴金卷（二） 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以. 2. 设，其中是实数，则（ ） A. B. 5 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先将等式左边展开，再根据复数相等的条件求出，的值，最后利用复数的模公式计算即可． 【详解】因为 ，所以 ． 又因为，是实数，由复数相等的条件，得， ． 解得，．故． 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，则， 所以. 4. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的递推公式，利用，结合等比数列定义求出通项即可得解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，即，而，即， 因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，， 所以. 故选：A 5. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的性质可得，，从而得出的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布，， 且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以，， 解得， 所以不超过， 故选：D 6. 已知，则（ ） A. B. C. 7 D. -7 【答案】B 【解析】 【详解】已知，可得， 由同角三角函数关系： ， 因此， 由正切二倍角公式： ， 由正切和角公式：. 7. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过作于，为抛物线的准线，利用抛物线的定义及圆的性质，得到，即可求解. 【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，圆的圆心为，与抛物线焦点重合，半径为， 过作于，则， 又易知，当三点在一条直线上时，最小， 又，所以. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导分析单调性可得A错误；令求导分析单调性可得B错误；令，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C错误； 令，求导后放缩得单调性后可得D正确. 【详解】对于A，令，则， 所以在上单调递减，即， 所以，故A错误； 对于B，令，，则， 所以在上单调递增，即，故B错误； 对于C，因为，令时，， ， 因为，所以，故C错误； 对于D，令，，则， 由三角函数线可得当时，，所以， 所以， 所以在上单调递增，，， 即，故D正确. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 10根圆钢的直径数据如下：20.10，20.10，20.09，20.08，20.10，20.11，20.12，20.08，20.09，20.09（单位：cm），则这批圆钢直径的（ ） A. 极差为0.04cm B. 众数为20.09cm C. 平均数为20.096cm D. 分位数为20.10cm 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差，众数，平均数，百分位数的定义求解判断即可. 【详解】由题意，极差为cm，故A正确， 众数为20.10cm和20.09cm，故B错误， 平均数为cm，故C正确， 将数据从小到大排列为：20.08，20.08，20.09，20.09，20.09，20.10，20.10，20.10，20.11，20.12， 因为，所以分位数为cm，故D正确. 故选：ACD 10. 若奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的一个周期为2 B. C. D. 为偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】由得的对称轴为，结合的奇函数性质对选项逐一辨析即可. 【详解】因为，所以， 所以的对称轴为， 则，∴，A正确； 因为，故，， 又关于对称，故，B错误； 因为，且的周期为2， 所以， 所以是的对称轴，其值不一定为0，故C错误； 因为，所以为偶函数，D正确. 故选：AD. 11. 如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ） A. 长半轴长为 B. 短半轴长为 C. 焦距为4 D. 离心率为 【答案】AD 【解析】 【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案. 【详解】， ，解得. 该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值， 短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值， 椭圆的焦距为， 椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】法一，计算的坐标，再根据即可求得；法二，先根据得出，再分别计算，列关系即可求得. 【详解】解法一 ： 由，，得， 因为，所以，即，整理得，解得． 解法二 ： 因为，所以，得， 又，，所以，即，解得． 故答案为： 13. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 【答案】192 【解析】 【分析】先计算甲乙相邻的总排列数，然后计算甲乙相邻且乙丙也相邻的排列数，两者相减即是结果. 【详解】先将甲、乙两人看成一个整体，则这个整体内部有种排列方式， 此时相当于有5个元素进行排列，所以甲乙相邻的总排列数为种. 若甲乙相邻且乙丙也相邻，则三人必须以（甲，乙，丙）或（丙，乙，甲）的顺序站在一起. 将这三个人视为一个整体，其内部有2种排法，再将此整体与其余3人进行全排列， 故甲乙相邻且乙丙也相邻的排法有种, 所以甲乙相邻，而乙丙不相邻的排法种数有. 故答案为：192. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)直接由正弦定理可得，从而可得答案. (2)由余弦定理可得，再由面积公式可求答案. 【详解】解：（1） 由，得，， ∴， 又因为为锐角三角形，∴. （2）由余弦定理可知，， 即，解得， ∴. 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用以及三角形的面积，属于基础题. 16. 已知正四棱柱的底面边长为1，点分别在边上，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，可得， 且平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是. 17. 在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. （1）若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； （2）若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 【答案】（1）分布列见解析，2.4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）根据全概率公式、条件概率公式计算求得机器人转手绢成功的概率. 【小问1详解】 由题意得，，其分布列为：，，1，2，3. X的分布列为： X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 数学期望为. 【小问2详解】 设事件A为“一个机器人转手绢成功”，事件B为“一个机器人队形变换成功”. 根据题意，， . 18. 函数． （1）已知，求的值 （2）讨论的单调性； （3）时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求导得，再由即可求解； （2）由，根据的情况分类讨论即可求解； （3）根据已知先表示出，再令，利用导数分析函数的单调性，可得有最小值，即可证明. 【小问1详解】 由题意有：，所以， 解得； 【小问2详解】 由， 当时，，当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 当时，令，解得或， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 当时，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增； 【小问3详解】 由（2）有：当时，在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为， 由极大值， 当， 所以存在唯一的零点，满足，即， 所以， 所以， 令， 所以， 由有：，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 所以， 所以存在唯一的零点，且. 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 【答案】（1）； （2）①证明见解析，；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标和已知点即可得到方程组，解出即可； （2）①设直线，将其与双曲线方程联立得到一元二次方程，再根据判别式等于0即可得到，则得到方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可得到交点坐标，最后根据三点共线即可得到轨迹方程； ②根据点到直线距离公式和两点距离公式即可得到，设，写出直线的方程，再将其与双曲线渐近线方程联立即可，再利用等比数列求和公式得到，最后再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 得 双曲线的方程为：. 【小问2详解】 ①当直线斜率存在时，设直线， 联立，得， ， 即， 又，即为， ， ，即，， 当直线斜率不存在时，也满足． 直线方程：， 双曲线的渐近线：， 分别联立得和. 则交点， ， ， 可得三点共线且方程为：， 由于， ， ， 又， ， 共线，共线， 共线，共线且轨迹方程为. ②，直线方程：， 则， 由于，且且， 由， 则， ， 设，直线， 与分别联立得和. 则交点， . 即， ， 又， 所以， 因为， . 得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普通高等学校招生全国统一考试冲刺压轴金卷（二） 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设 ，其中是实数，则 （ ） A. B. 5 C. D. 6 3. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列的前项和为，且满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. 7 D. -7 7. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 10根圆钢的直径数据如下：20.10，20.10，20.09，20.08，20.10，20.11，20.12，20.08，20.09，20.09（单位：cm），则这批圆钢直径的（ ） A. 极差为0.04cm B. 众数为20.09cm C. 平均数为20.096cm D. 分位数为20.10cm 10. 若奇函数满足，则下列选项正确的是（ ） A. 的一个周期为2 B. C. D. 为偶函数 11. 如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ） A. 长半轴长为 B. 短半轴长为 C. 焦距为4 D. 离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则______． 13. 甲､乙､丙､丁､戊､己共6人站成一排，若甲､乙两人相邻，而乙､丙两人不相邻，则不同的排法种数共有__________.（用数字作答） 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 在锐角中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 已知正四棱柱的底面边长为1，点分别在边上，且． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在2025年春晚《秧BOT》机器人节目中，有16个机器人参与表演.该人工智能机器人团队将传统艺术与现代科技完美融合，表演非物质文化遗产“转手绢”并完成复杂队形变换.这一创新表演不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新.某项研究表明，每个机器人独立完成转手绢动作成功的概率为0.8.在队形变换环节，机器人的表现存在差异：每个机器人若转手绢成功，则其队形变换成功的概率为0.9；若转手绢失败，则队形变换成功的概率为0.6. （1）若从该团队中随机抽取3个机器人调查研究，记X为成功完成转手绢动作的机器人个数，求X的分布列及数学期望； （2）若随机抽取一个机器人，已知其队形变换成功，求它转手绢成功的概率. 18. 函数． （1）已知，求的值 （2）讨论的单调性； （3）时，若的极小值点为，证明：存在唯一的零点，且． 19. 已知双曲线，，分别为左、右焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线的方程； （2）如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线，交两渐近线于，两点，过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，过作直线的平行线分别交两渐近线于，两点，再过，两点分别作两渐近线的平行线交于点，一直反复操作，可得,,…,． ①证明：点O，，，，，……，在同一条直线上，并求该直线方程； ②记的面积为，记，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $