精品解析：陕西咸阳市永寿县中学2026届高三下学期模拟检测（第九次考试）数学试题

2026高考模拟检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出集合即可. 【详解】集合，则， 所以集合C的元素个数为3个. 故选：C 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 4. 若数列满足，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】先判断数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式和求和公式进行计算. 【详解】因为，所以数列为等差数列. 设首项为，公差为， 则. 所以. 故选：D 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，结合角的取值范围，可确定角的值，进而求. 【详解】由，则， 则， 又， 所以，所以，. 故选：B 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数、偶函数的性质求解即可. 【详解】因为是奇函数，所以，则． 又是偶函数，所以，所以． 故选：C. 7. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数新定义计算在区间有解问题，列方程换元求解即可. 【详解】选B.根据“局部奇函数”的定义可知，方程有解即可，即，所以，化为有解，令，则有在上有解，设，对称轴为.①若，则Δ＝，满足方程有解；②若，要在时有解，则需 ，解得.综上可得实数m的取值范围为． 故选：B. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ） A. 圆锥的体积为π B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C. 圆锥外接球的表面积为16π D. 圆锥的母线与底面所成角大小为60° 【答案】ABC 【解析】 【分析】对 A，圆锥体积公式直接代入已知的底面半径和高计算验证；对 B，设截面两母线夹角为 θ，利用三角形面积公式 结合三角函数有界性分析面积最大值；对 C，利用圆锥外接球球心在高所在直线上，由求解外接球半径 ，进而计算表面积；对 D，找出母线与底面所成角的平面角，在直角三角形中通过三角函数值计算角度判断. 【详解】整理已知条件可知：圆锥底面半径​，高，母线长，逐一分析选项： 对于A：圆锥体积公式，代入得： ，A正确； 对于B：过圆锥顶点的截面为等腰三角形，两腰均为母线长，设两母线夹角为，则截面面积. 设轴截面顶角，则，得， 因此最大值为（当时），，B正确； 对于C：圆锥外接球球心在高所在直线上，设外接球半径为，由可得， 解得，外接球表面积，C正确； 对于D：圆锥母线与底面所成角为母线和其在底面投影（底面半径）的夹角，在直角三角形中​， 得，D错误. 【点睛】本题综合考查圆锥的几何性质，涉及体积、截面面积、外接球表面积计算及空间线面角求解，核心运用数形结合思想与解直角三角形方法. 10. 如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质可判断AB的正误，根据代入检验法可判断CD的正误. 【详解】因为为奇函数，故， 故图象的对称中心为. 因为为偶函数，故， 故图象的对称轴为. 对于A，的对称轴为，此时， 而，故不是对称中心，故A错误； 对于B，的对称中心的横坐标为，此时， 而，故不是对称轴，故B错误； 对于C，，，故函数图象有一个对称中心， 而，故为函数图象的对称轴，故C正确； 对于D，因为，故为函数图象的对称， 而，故函数图象有一个对称轴，故D正确. 故选：CD. 11. 已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，对函数求导后，根据导数与函数的单调性及极值举例分析判断，对于C，对函数求导后，求出函数的单调区间，结合函数的图象可得结论，对于D，分和两种情况讨论函数的单调性的最值即可得结论. 【详解】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误； 对于C，当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 又，当时，， 所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确； 对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增， 所以的极大值为，极小值为， 因为，所以， 当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 因为，，所以，综上，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 【答案】 【解析】 【分析】将双曲线的方程化为标准形式，写出的值，从而求出渐近线的方程得到斜率，再解关于的方程即可求解. 【详解】因为曲线为双曲线，所以， 将双曲线方程化为标准形式为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为， 又因为双曲线的一条渐近线的斜率为2，所以，解得. 故答案为：. 13. 若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式和组合数的性质可求解. 【详解】因为二项式展开式的通项为且， 且， 则. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】构造向量，根据数量积的定义和性质可求最大值. 【详解】， 设向量，则， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为, 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用等比数列的通项公式及已知有求公比，进而写出等比数列的通项公式； （2）应用的关系求通项公式； （3）应用分组求和及等差、等比数列前n项和公式求和. 【小问1详解】 设正项等比数列的公比为，则，又，， 所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 当时，. 当时，，也符合上式， 所以. 【小问3详解】 设的前项和为，且， 所以. 16. 如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）解法一：以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成角的正切值； 解法二：过在平面内作，垂足为点，过点在平面内作，垂足为点，连接，推导出为平面与平面所成的角，求出、的长，即可得出平面与平面所成角的正切值. 【小问1详解】 在图1的中，， 所以，，且，， 因为，所以，，则，， 在中，，，，则， 在图2的中，，，， 满足，所以，， 因为，，，、平面，所以，平面. 【小问2详解】 解法一：因为平面，， 以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，，， 设平面一个的法向量，则， 取，可得， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面与平面所成角为， 则， 所以，，. 因此，平面与平面所成角的正切值为； 解法二：过在平面内作，垂足为点， 过点在平面内作，垂足为点，连接， 由（1）知平面，因为平面，则， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，，、平面，所以，平面， 因为平面，则， 所以，为平面与平面所成的角，设. 在中，，，，， 所以，，， 在中，，，，， 所以，，则， 在中，， 所以，平面与平面所成角的正切值为. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程； （2）设、、为上的三个动点，且和关于坐标原点对称.若直线、的斜率存在，设直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设内部（包括边界）的圆满足：该圆在短轴的右侧且与短轴相切.求满足条件的最大圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）设点、，则，结合点差法可求得的值； （3）设圆心的坐标为，设右半侧上点的坐标为，则，分析可知对及恒成立，可求出的最大值，即可得出圆的半径取最大值时，圆的方程. 【小问1详解】 由已知得，解得，，，所以的方程为. 【小问2详解】 设、，则. 因为、在上，所以 两式相减，得，即. 所以直线、的斜率之积. 【小问3详解】 根据圆的位置及圆的对称性，设圆心的坐标为， 故可设圆的方程为，显然. 要求最大圆，即求半径的最大值. 如图所示，设右半侧上点的坐标为，则. 由于右半侧上点只能在圆外或者圆上， 所以有对及恒成立. 因此在内的最小值. 因为，所以， 所以当时有最小值，解得. 故所求最大圆的方程为，即. 18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 【答案】（1）①；② （2）甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①利用进行求解；②求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算数学期望； （2）分解计算出甲先出场成功概率，乙先出场成功概率，比较后得到结论. 【小问1详解】 ①记甲先上场且挑战没有一关成功的概率为P， 则． ②依题可知，X的可能取值为0，1，2， 则由①知， ， ， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴； 【小问2详解】 甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同，理由如下： 设甲先出场成功概率为，乙先出场成功概率为， 则， ∵， ， ∴， 因此，甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率相同． 19. 定义：双曲函数是一类与双曲线相关的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.利用欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位），可以将双曲函数与三角函数联系起来.由欧拉公式可得，从而，.用替换，可得，.这样，可以把双曲函数看作是“虚角”的三角函数.利用以上关系，可将三角函数的结论类比得到双曲函数相应的结论. （1）根据正弦函数的二倍角公式，类比到双曲正弦函数的二倍角公式，可得到什么结论？请直接写出你得到的结论. （2）请利用题干的信息，把余弦函数的和角公式类比到双曲余弦函数的和角公式.请写出类比的推导过程和结论. （3）已知在三角函数中有不等式：，.那么，在双曲函数中，不等式是否成立呢？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 【答案】（1）. （2）答案见解析 （3）成立，证明见解析 【解析】 【分析】（1）类比正弦函数的二倍角公式即可求解； （2）用和替换结合两角和余弦公式计算即可； （3）根据函数是偶函数，设当时，应用函数的导函数得出函数的单调性即可证明. 【小问1详解】 类比正弦函数的二倍角公式， 可得到双曲正弦函数的二倍角公式： 【小问2详解】 用和替换中的和， 可得. 由题干条件知，， 从而得到， 即. 【小问3详解】 不等式成立. 证明如下： 因为 所以不等式左、右两边都是偶函数，故只需证明时的情况即可. 当时， . 令， 因为，， 则, 故. 令 因为 . 所以在上单调递减，从而，进而在上单调递减，所以证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考模拟检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 4. 若数列满足，其前项和为，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. 5 D. 11 5. 若，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若在其定义域内存在实数满足，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数是定义在R上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知圆锥的底面半径等于，高等于1，则（ ） A. 圆锥的体积为π B. 过圆锥顶点的截面面积的最大值为2 C. 圆锥外接球的表面积为16π D. 圆锥的母线与底面所成角大小为60° 10. 如果存在正实数a，使得为奇函数，为偶函数，我们称函数为“和谐函数”，则下列四个函数，是“和谐函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则（ ） A. ，使得是增函数 B. ，函数均存在极值点 C. ，函数只有一个零点 D. ，且，有 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则______ 13. 若，则_________． 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. （1）求的通项公式； （2）求的通项公式； （3）求的前项和. 16. 如图1，在中，，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中. （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的正切值. 17. 已知椭圆经过点，且离心率为. （1）求的方程； （2）设、、为上的三个动点，且和关于坐标原点对称.若直线、的斜率存在，设直线、的斜率分别为、，求的值； （3）设内部（包括边界）的圆满足：该圆在短轴的右侧且与短轴相切.求满足条件的最大圆的方程. 18. 某校举办知识挑战赛．该挑战赛共分关，规则如下：两人一组，首先某队员先上场从第一关开始挑战，若挑战成功，则该队员继续挑战下一关，否则该队员被淘汰，并由第二名队员接力，从上一名队员失败的关卡开始继续挑战，当两名队员均被淘汰或者n关都挑战成功，挑战比赛结束．已知甲乙两名同学一组参加挑战赛，若甲每一关挑战成功的概率均为，乙每一关挑战成功的概率均为，且甲、乙两人每关挑战成功与否互不影响，每关成功与否也互不影响． （1）已知甲先上场，，，， ①求挑战没有一关成功的概率； ②设X为挑战比赛结束时挑战成功的关卡数，求； （2）如果n关都挑战成功，那么比赛挑战成功．试判断甲先出场与乙先出场比赛挑战成功的概率是否相同，说明理由． 19. 定义：双曲函数是一类与双曲线相关的函数，其中双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.利用欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位），可以将双曲函数与三角函数联系起来.由欧拉公式可得，从而，.用替换，可得，.这样，可以把双曲函数看作是“虚角”的三角函数.利用以上关系，可将三角函数的结论类比得到双曲函数相应的结论. （1）根据正弦函数的二倍角公式，类比到双曲正弦函数的二倍角公式，可得到什么结论？请直接写出你得到的结论. （2）请利用题干的信息，把余弦函数的和角公式类比到双曲余弦函数的和角公式.请写出类比的推导过程和结论. （3）已知在三角函数中有不等式：，.那么，在双曲函数中，不等式是否成立呢？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $