福建厦门外国语学校2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试题

**基本信息** 本试卷聚焦立体几何、向量、解三角形等高一核心内容，通过动点轨迹、空间角计算、实际航海问题等设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面位置关系、异面直线所成角、复数运算|第4题以长方体动点轨迹考查线面平行判定，体现空间想象| |多选题|3/18|向量投影、解三角形应用、正方体动态问题|第10题结合航海情境，用正弦定理解决距离与方位问题，培养应用意识| |填空题|3/15|共轭复数、棱锥体积、矩形动点最值|第14题设置双空，融合向量运算与二次函数最值，层次分明| |解答题|5/92|向量表示、解三角形、立体几何证明与体积|17题限制非建系法证明线面平行，强化逻辑推理；19题探究二面角与体积分割，呼应高考综合应用趋势|

厦外2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数学试题 命题人：高一数学备课组 审题人：高一数学备课组 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡相应的位置上，用2B铅笔将自己的准考证号填涂在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；在试卷上做答无效。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁和平整。 第Ⅰ卷 （本卷共计58分） 一．单选题：（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共计40分） 1．已知，，是三个不同的平面，m，n，l是三条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 2．如图，在长方体中，，点分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 5．在中，已知，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．锐角三角形 6．在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（   ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 7．在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点， Q为平面内的动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二．多选题：（每小题有两个或三个选项正确，每小题6分，共计18分。部分选对得部分分，有选错不得分） 9．已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（    ） A． B．向量在向量方向上的投影向量为 C． D．若，则 10．某货轮在A处时，灯塔B位于货轮的北偏东，距离为海里，灯塔C位于货轮的北偏西，距离为海里.该货轮自A处向正北方向航行到D处时，灯塔B位于货轮的南偏东，则下列说法正确的是（    ） A．D处在灯塔B的西偏北 B．A处与D处之间的距离是24海里 C．灯塔C与D处之间的距离是海里 D．灯塔C在D处的西偏南 11．如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（    ） A．当时，点的轨迹长为 B．当时，有且仅有一个点，使得平面 C．当时，不存在点，使得 D．当时，三棱锥的体积为定值 第II卷 （本卷共计92分） 三．填空题：（每小题5分，共计15分） 12．若复数在复平面对应的点为，的共轭复数为，则_____. 13．如图，正四棱锥底面边长和高均为4，分别是其所在棱的中点，则几何体的体积为______. 14．在矩形中，点是平面内的动点，且，则=_____；若，则的最小值为_____. 四．解答题：（第15题13分，第16-17题各15分，第18-19题各17分。要有必要的推理计算过程） 15．如图，在中，点，满足，，AC边上的中线与交于点.设，. (1)用向量，表示，； (2)设，求的值. 16．在中，角所对的边分别是，且， (1)求； (2)若的外接圆半径为，求的周长. 17．（本题不可用建系方法做，否则不得分）如图，多面体是由直三棱柱截去一部分后而成，是的中点，且，. （1）若为的中点，在上，且，证明：直线平面； （2）若，求直线B1C与平面所成角的正弦值. 18．在平面四边形中，. (1)如图1，若，，且，求； (2)如图2，若△为正三角形，求四边形面积S的最大值； (3)如图3，若，与相交于点.当四边形面积S取得最大值时，求的值. 图1 图2 图3 19．如图，在三棱锥中，，，. (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在一点E，使得二面角的正切值为?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)已知点为线段上另一动点，过点且与垂直的平面将三棱锥分成左右两部分，设，当为何值时，右侧部分的几何体的体积为？ 备用图 高一期中考试数学试卷 第 5 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 厦外2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试题参考答案 1-8．CBAC BDAB 9-11.ABD BCD ACD 12.5 13. 14. 0；2 15.（1）因为为边上的中线， ， 2分 因为，，所以，， 所以. 5分 （2）解法一：因为三点共线， 所以存在实数，使得， 7分 因为三点共线， 所以存在实数，使得, 所以， 9分 根据平面向量基本定理可得：，解得： 12分 因为，所以，，即. 13分 解法二：过作的平行线,交于点， 在中，因为，所以∽, 因为,所以, 因为为中点，所以,即, 因为,所以, 10分 因为三点共线，所以, 12分 因为，所以 13分 16.（1）由 根据正弦定理得到， 1分 ， 2分 ，即， 3分 又，， 5分 （2），. 8分 又其外接圆半径为，结合正弦定理可知 10分 再由余弦定理得： 12分 14分 的周长为 15分 17.（1）在直三棱柱中，取的中点，连接 1分 ∵为的中点，∴是梯形的中位线 ∵是的中点，∴,且 ∵，∴,且，∴ ∴四边形为平行四边形 3分 ∴， ∵平面，平面， 故直线平面. 6分 （2）方法一（等体积法）连接CD，∵，是的中点， ∴，，,可得，即， ∴ 7分 ∵，且 ∴⊥面 ∵，∴⊥面 ∵，∴ 11分 ∴ 12分 设点到面的距离为d，∵ 即，∴ 13分 设直线B1C与平面所成角为 ∵BC=2， ∴ ∴，故直线B1C与平面所成角的正弦值为 15分 方法二（垂线法） ∵，，且 ∴⊥面 ∵，∴⊥面 ∵，∴ 10分 ∵，是的中点， ∴，，,可得，即 12分 ∵ ∴面 13分 ∴为直线B1C与平面所成角 ∵BC=2， ∴ ∴，故直线B1C与平面所成角的正弦值为. 15分 18.(1)设,在中由正弦定理得：，则 2分 在等腰中，，则 3分 因此,解得 4分 (2)设正的边长为,则等腰的高为. 则 6分 令,则， , 8分 当且仅当时取到最大值. 9分 (3) 10分 在,中分别由余弦定理得, 整理得, 12分 即有 代入(*)式得， 14分 当且仅当时，取到最大值，即此时四点共圆. 15分 ∵在圆中(同弧所对的圆周角相等)，∴ ∴ 17分 19.（1）证明：在中，， 所以， 1分 过点D作于点O，连接，则， 2分 因为，，为公共边，所以. 所以，且，又，所以，所以， 3分 又因为，平面，，所以平面， 4分 又因为平面，所以平面平面. 5分 （2）(法1传统法）：取中点，由（1）知,，∴. 过作交于，过作交于，则，所以,所以,为二面角的平面角. 7分 设，由,得, 同理； 由,得. 9分 在中，,解得. 所以线段上存在一点E，使得二面角的正切值为.. 10分 (法2建系法）设存在满足题意的点E，由（1）可知，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，则，，，， ，，， 设，，则， 显然平面的法向量. 设平面的法向量，则， 取，则，，所以， 7分 若二面角的正切值为，则其余弦值为， 则， 9分 整理得，所以，又因为，所以， 所以，即当时，二面角的正切值为. 10分 （3）当时，平面截三棱锥所得截面为三角形，右部分的体积最大值为 11分 当时，平面截三棱锥所得截面为四边形， 设截面与棱的交点分别为,求得 13分 右侧部分的体积 15分 化简得 当时，检验符合上方程。 又时，有且只有一个值符合,故. 17分 高一期中考试数学试卷答案 第 5 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $