精品解析：福建龙岩学院附属中学2025-2026学年第二学期高一数学期中阶段训练

2025—2026学年龙岩学院附属中学第二学期 高一数学半期阶段训练 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列有关复数的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量有且仅有一个 B. 零向量的模长为零，方向任意 C. 模长为的两倍的向量是 D. 相反向量是与原向量方向相反的向量 4. 如图，已知四边形的四个顶点、、、的坐标分别是、、、.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，已知，，，则b的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2或4 6. 在平面直角坐标系下，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，若向量，，下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的投影为3 B. 在轴上的投影为4 C. 在上的投影为0 D. 在轴上的投影为 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直四棱柱就是长方体 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 8. 已知，其中均为非零向量，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 10. 如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积 11. 对于非零向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 则 B. 则 C. 则 D. ，，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数z有，则______． 13. 圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 14. 在中，若，判断三角形的形状______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两个向量，的夹角为，且，，求下列各式的值． （1）； （2）． 16. 在正方体的边长为2，为的中点.求 （1）三棱锥的体积； （2）三棱锥的表面积. 17. 如图中，，，，的中点为，求 （1）与的长； （2）的余弦值. 18. 如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. （1）当在边上运动，若时会使，求的值. （2）若在线段上运动时，求证：. （3）求的最大值. 19. 在中，，为的中点，. （1）若，求的长； （2）若，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年龙岩学院附属中学第二学期 高一数学半期阶段训练 （考试时间：120分钟 总分：150分） 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列有关复数的计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法则化简后判断． 【详解】选项A，等号两边的两个复数实部不相等（虚部也不相等），它们不可能相等，A错； 选项B，由复数减法法则得，B错； 选项C，由复数乘法法则得，C错； 选项D，由复数乘法法则得，D正确． 2. 已知，，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 单位向量有且仅有一个 B. 零向量的模长为零，方向任意 C. 模长为的两倍的向量是 D. 相反向量是与原向量方向相反的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量，零向量，平面向量及相反向量的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，单位向量方向不确定故有无数个，故A错误； 对于B，零向量的模长为0，方向任意，故B正确； 对于C，模长为的两倍的向量可以是，故C错误； 对于D，相反向量是与原向量方向相反且长度相等的向量，故D错误. 4. 如图，已知四边形的四个顶点、、、的坐标分别是、、、.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对A：因为，故A错误； 对B：因为，，，所以不成立，故B错误； 对C：，，所以，故C正确； 对D：，，所以，故D错误. 5. 在中，已知，，，则b的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 2或4 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理， 即，即， 解得或． 6. 在平面直角坐标系下，轴正方向的单位向量为，轴正方向的单位向量为，若向量，，下列说法正确的是（ ） A. 在轴上的投影为3 B. 在轴上的投影为4 C. 在上的投影为0 D. 在轴上的投影为 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，则在轴上的投影为，故A错误； 对于B，，则在轴上的投影为6，故B错误； 对于C，因为， 所以在上的投影为0，故C正确； 对于D，在轴上的投影为，故D错误. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 直四棱柱就是长方体 B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C. 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 【答案】B 【解析】 【详解】对A：底面是矩形的直四棱柱才是长方体，故A错误； 对B：如图， 四棱锥中，底面为矩形，平面，则该四棱锥的四个侧面都是直角三角形，故B正确； 对C：如图， 平面平面，与是边长相等的等边三角形，则与也是等腰三角形，但此三棱锥不是正三棱锥，故C错误； 对D：根据棱台的概念，棱台的侧棱延长后必交于一点，故D错误. 8. 已知，其中均为非零向量，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知条件平方，把模转化为数量积，得，然后各选项中不等式（或等式）两边平方相减可得结论． 【详解】因为，所以， 即， 所以，因为，， 对于选项A，， 所以，A错； 对于选项B，， 所以，即，B正确； 对于选项C，， 所以，即，C正确； 对于选项D，， 所以，D正确． 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 用一个平面去截一个三棱柱，可以得到的几何体是（ ） A. 四棱台 B. 四棱柱 C. 三棱柱 D. 三棱锥 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱，棱锥和棱台的定义结合图形分析判断即可 【详解】如图三棱柱，连接，则可得平面截三棱柱，得到一个三棱锥，所以D正确， 若用一个平行于平面的平面去截三棱柱，如图平面，则得到一个三棱柱和一个四棱柱，所以BC正确， 因为四棱台的上下底面要平行，所以要得到四棱台，则截面要与三棱柱的上下底面相交，而四棱台的侧棱延长后交与一点，棱柱的侧棱是相互平行的，所以用一个平面去截一个三棱柱，不可能得到一个四棱台，所以A错误， 故选：BCD 10. 如图，下图是边长为2的正三角形ABC的直观图，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的面积 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则，结合余弦定理求解判断. 【详解】由斜二测画法规则得，，，ABD正确； 在中，， 由余弦定理得，C错误. 11. 对于非零向量，，，下列说法正确的是（ ） A. 则 B. 则 C. 则 D. ，，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对A：可得，但的方向不确定，故不能得到，故A错误； 对B：由可以得到，故B正确； 对C：由可得在上的投影相等，但不能得到，故C错误； 对D：由，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数z有，则______． 【答案】 【解析】 【详解】已知， ， ． 13. 圆台的上底面圆的半径为1，下底面圆的半径为2，高为，则圆台的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意，圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：， 14. 在中，若，判断三角形的形状______. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】由余弦定理化简可得. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得，所以，化简得， 所以是等腰三角形. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知两个向量，的夹角为，且，，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2）2 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的计算公式计算求解； （2）利用向量模的计算公式结合向量数量积的计算公式求解． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 16. 在正方体的边长为2，为的中点.求 （1）三棱锥的体积； （2）三棱锥的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用锥体体积公式直接求解. （2）计算各个面的面积，相加即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为，， 中，，所以， 在中，，，, 由余弦定理，， 所以. 所以. 所以三棱锥的表面积为： 17. 如图中，，，，的中点为，求 （1）与的长； （2）的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 在中，， 所以是直角三角形，故， 【小问2详解】 因为的中点为，所以， 因为，所以是等边三角形， 所以，，. 18. 如图四边形是边长为1的正方形，点在的延长线上且，点是内（含边界）的动点，设. （1）当在边上运动，若时会使，求的值. （2）若在线段上运动时，求证：. （3）求的最大值. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）以为基底，分别表示，根据可求的值. （2）根据，可求证. （3）分情况求的值，比较可得的最大值. 【小问1详解】 由题意，，，. 当在边上运动，由， 所以，. 由， 所以 即. 【小问2详解】 由， 即， 因为点在线段上运动，所以，且， 所以，即. 【小问3详解】 由（2）得，当点在线段上运动时，； 当点在线段上运动时，，其中，，所以； 当点在线段上运动时，因为三点共线， 可设，. 所以，，所以； 当点与点重合时，，此时. 所以的最大值为. 19. 在中，，为的中点，. （1）若，求的长； （2）若，求的长. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理求得，即可得，在中利用余弦定理即可求得答案； （2）设，由正弦定理求得，结合，以及，可推出，再由，推出，联立解方程可得答案. 【小问1详解】 在中，， 则 ， 在中， ， 所以. 【小问2详解】 设， 在和中，由正弦定理得，， 又，得， 即 在中，， 由，有， 所以，整理得：，① 又由， 整理得：，② 联立①②得，，即.， 解得或， 又，即，故， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $