3.4 导数与函数的极值 讲义-2027届高三数学一轮复习

第4节　导数与函数的极值 课标要求 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.理解导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极大值、极小值. 3.会利用极值求参数. 由图象判断函数的极值 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）　＞　0，右侧f'（x）　＜　0 x0附近的左侧f'（x）　＜　0，右侧f'（x）　＞　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　大　值 f（x0）为极　小　值 极值点 x0为极　大　值点 x0为极　小　值点 提醒：f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 解析：D　由题图可知，当x＜－2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0；当1＜x＜2时，f'（x）＜0；当x＞2时，f'（x）＞0.由此可以得到函数f（x）在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值. 规律方法 　　导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正，函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点.判断函数的极值需从定义入手. 练1 〔多选〕若函数f（x）的定义域为（－4，3），其导函数f'（x）的图象如图所示，则下列选项正确的为（　　） A.f（x）有两个极大值点 B.f（x）有一个极小值点 C.f（0）＞f（1） D.f（－2）＞f（－3） 解析：AB　由f'（x）的图象可知，当x∈（－4，－3]时，f'（x）≥0，即函数f（x）在（－4，3]上单调递增；当x∈（－3，－2]时，f'（x）≤0，即f（x）在（－3，－2]上单调递减，所以x＝－3为f（x）的一个极大值点，且f（－2）＜f（－3）；当x∈（－2，2]时，f'（x）≥0，即f（x）在（－2，2]上单调递增；当x∈（2，3）时，f'（x）＜0，即f（x）在（2，3）上单调递减，所以x＝－2为f（x）的一个极小值点，x＝2为f（x）的一个极大值点，且f（0）＜f（1）.故A、B正确，C、D错误. 求函数的极值 〔多选〕（2026·湖北黄冈模拟）已知函数f（x）＝，则函数f（x）（　　） A.在（0，）内单调递减 B.有3个极值点 C.极大值为1 D.极小值点为 解析：CD　由f（x）＝，得f'（x）＝（x≠1），由f'（x）＞0，得x＜0或x＞，由f'（x）＜0，得0＜x＜1或1＜x＜，所以f（x）在区间（－∞，0），（，＋∞）上单调递增，在区间（0，1），（1，）内单调递减，所以f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（）＝＝4，故选项A、B错误，C、D正确. 规律方法 求函数极值的一般步骤 （1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数； （2）求f'（x）＝0的根； （3）判断f'（x）＝0的根的左、右两侧f'（x）的符号，确定极值点； （4）求出函数f（x）的极值. 练2 已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝时，求f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 解：（1）当a＝时，f（x）＝ln x－x，函数的定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＝， 令f'（x）＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表： x （0，2） 2 （2，＋∞） f'（x） ＋ 0 － f（x） 单调递增 ln 2－1 单调递减 故f（x）在定义域上的极大值为f（2）＝ln 2－1，无极小值. （2）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）， f'（x）＝－a＝（x＞0）. 当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立， 则函数在（0，＋∞）上是增函数，此时函数在定义域上无极值点； 当a＞0时，若x∈，则f'（x）＞0， 若x∈，则f'（x）＜0， 故函数在x＝处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f（x）无极值点； 当a＞0时，函数y＝f（x）有一个极大值点，且为. 由函数的极值求参数 （1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝　　－4　　； 解析： f'（x）＝（x－2）'[（x－1）（x－a）]＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'＝（x－1）（x－a）＋（x－2）[（x－1）（x－a）]'，因为x＝2是函数f（x）的极值点，所以f'（2）＝0，即（2－1）（2－a）＝0，则a＝2，经检验，满足题意，所以f（x）＝（x－1）（x－2）2，所以f（0）＝－4. （2）若函数f（x）＝ln 2x＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围为　　（ －，0）　　. 解析：函数f（x）＝ln 2x＋ax的定义域为（0，＋∞），求导得f'（x）＝＋a，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，无极值，不符合题意；当a＜0时，当0＜x＜－时，f'（x）＞0，当x＞－时，f'（x）＜0，则当x＝－时，函数f（x）取得极大值f（ －），因此f（ －）＝ln（ －）－1＞0，即ln（ －）＞1，解得－＜a＜0. 规律方法 　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 提醒　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数. 练3 （1）已知函数f（x）＝x2ln x，则下列结论正确的是（　C　） A.f（x）在x＝处取得极大值 B.f（x）在x＝处取得极大值 C.f（x）在x＝处取得极小值－ D.f（x）在x＝处取得极小值 （2）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝x3－x2＋x＋2在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　B　） A. B.（ 3，） C.（－∞，3） D. （3）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　BCD　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 解析：（1）f'（x）＝2xln x＋x＝x（2ln x＋1），且x∈（0，＋∞）.令f'（x）＝0，得x＝，所以当x∈（ 0，）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增.所以f（x）在x＝处取得极小值f（ ）＝ln＝－.故选C. （2）依题意，f'（x）＝2x2－ax＋1在（1，2）内存在变号零点.所以a＝2x＋在（1，2）内有解，易知y＝2x＋在（1，2）上单调递增，所以3＜a＜.故选B. （3）因为函数f（x）＝aln x＋＋（a≠0），所以函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，因为函数f（x）既有极大值也有极小值，所以关于x的方程ax2－bx－2c＝0有两个不等的正实根x1，x2，则即所以故选B、C、D. （时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中不正确的是（　　） A.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B.f（x）在[－2，1]上不具备单调性 C.当x＝2时，f（x）取得极大值 D.f（x）在[－1，2]上单调递减 解析：D　由导函数f'（x）的图象知，当x＝－1时，f（x）取得极小值，故选项A正确；f（x）在[－2，1]上有减有增，故选项B正确；当x＝2时，f（x）取得极大值，故选项C正确；f（x）在[－1，2]上单调递增，故选项D错误. 2.（2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（　　） A. B. C. D. 解析：B　f'（x）＝4e2x＋2（4x－5）e2x＝（8x－6）e2x，令f'（x）＜0，得x＜，此时函数单调递减；令f'（x）＞0，得x＞，此时函数单调递增.所以f（x）的极小值点为，无极大值点.故选B. 3.设函数f（x）的定义域为R，若x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则以下结论中一定正确的是（　　） A.∀x∈R，f（x）≤f（x0） B.－x0是f（－x）的极小值点 C.－x0是－f（x）的极小值点 D.－x0是－f（－x）的极小值点 解析：D　极值为函数的局部性质，A错误.因为f（－x）与f（x）的图象关于y轴对称，所以－x0是f（－x）的极大值点，B错误.因为－f（x）与f（x）的图象关于x轴对称，所以x0是－f（x）的极小值点，C错误.因为－f（－x）与f（x）的图象关于原点对称，所以－x0是－f（－x）的极小值点，D正确. 4.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（　　） A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞） C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 解析： C　由f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1，得f'（x）＝x2＋2（a－1）x＋1.由题意得[2（a－1）]2－4≤0，解得0≤a≤2. 5.设函数f（x）＝，若f（x）的极小值为，则a＝（　　） A.－ B. C. D.2 解析：B　由已知得f'（x）＝（x≠－a），令f'（x）＝0，有x＝1－a，且当x＜1－a时函数f（x）单调递减，当x＞1－a时函数f（x）单调递增，∴f（x）的极小值为f（1－a）＝e1－a＝，即1－a＝，得a＝.故选B. 6.已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为（　　） A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2 解析：B　f'（x）＝＋2ax－3，∵f（x）在x＝2处取得极小值，∴f'（2）＝4a－2＝0，解得a＝，∴f（x）＝2ln x＋x2－3x，f'（x）＝＋x－3＝，∴f（x）在（0，1），（2，＋∞）上单调递增，在（1，2）内单调递减，∴f（x）的极大值为f（1）＝－3＝－. 7.〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　） A.a＝－1 B.f（x）的单调递增区间为（－2，1） C.f（x）的极小值为1 D.f（x）的极大值为5e－3 解析：AD　由题可得f'（x）＝ex－1[x2＋（a＋2）x＋a－1]，x∈R，因为x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，所以f'（－2）＝0，则4－2（a＋2）＋a－1＝0，解得a＝－1，故f（x）＝（x2－x－1）ex－1，f'（x）＝ex－1（x2＋x－2）＝（x－1）（x＋2）ex－1，当x＜－2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当－2＜x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（1，＋∞），单调递减区间为（－2，1），故A正确，B错误；由上可知，f（x）的极大值为f（－2）＝5e－3，极小值为f（1）＝－1，故C错误，D正确. 8.（2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g（x）＝x2＋（2－a）ln x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围是　（－∞，）∪（2，＋∞）　. 解析：若f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R）无极值，则f'（x）＝3x2－2x＋a≥0恒成立，即Δ＝4－12a≤0，解得a≥；若g（x）＝x2＋（2－a）ln x无极值，则g'（x）＝≥0对x∈（0，＋∞）恒成立，所以2－a≥0，即a≤2.所以f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则或解得a∈（－∞，）∪（2，＋∞）. 9.已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则＋＝　　. 解析：由题图可知f（x）的图象经过点（1，0）与（2，0），x1，x2是f（x）的极值点，∴1＋b＋c＝0，8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，∴f（x）＝x3－3x2＋2x，∴f'（x）＝3x2－6x＋2.∵x1，x2是方程3x2－6x＋2＝0的两根，∴x1＋x2＝2，x1x2＝，∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝4－2×＝. 10.（13分）已知函数f（x）＝＋x（a∈R）. （1）若f'（0）＝0，求实数a的值； （2）讨论函数f（x）的极值. 解：（1）由函数f（x）＝＋x， 可得f'（x）＝1－＝， 所以f'（0）＝＝1－a＝0，解得a＝1. （2）函数f（x）＝＋x的定义域为R， 且f'（x）＝1－＝，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立， 所以f（x）在R上单调递增，f（x）无极值； 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得x＞ln a； 令f'（x）＜0，解得x＜ln a， 所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增， 所以f（x）的极小值为f（ln a）＝1＋ln a，无极大值. 综上所述，当a≤0时，f（x）无极值；当a＞0时，f（x）的极小值为1＋ln a，无极大值. 11.（2025·江苏南通一模）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.a＞－2 B.a＞－ C.a＜－2 D.a＜－ 解析：C　由函数f（x）＝eax＋2x，可得f'（x）＝aeax＋2，若a≥0，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增，无极值点，故a＜0，令f'（x）＝aeax＋2＝0，解得x＝ln（ －），当x＞ln（ －）时，f'（x）＞0，当x＜ln（ －）时，f'（x）＜0，故x＝ln（ －）是f（x）＝eax＋2x的极值点，由于函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，∴ln（ －）＞0⇒ln（ －）＜0⇒0＜－＜1，解得a＜－2.故选C. 12.〔多选〕已知a为常数，函数f（x）＝x（ln x－2ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列结论中正确的是（　　） A.0＜a＜ B.x1＋x2＜2 C.f（x1）＜0 D.f（x2）＞－ 解析：ACD　因为f'（x）＝ln x＋1－4ax（x＞0），令f'（x）＝0，则4a＝，令g（x）＝，则g'（x）＝，所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.作出函数y＝4a和函数y＝g（x）的图象，如图所示.当0＜a＜时，f'（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜1＜x2，故选项A正确；当a→0时，x1＋x2→＋∞，故选项B错误；又函数f（x）在（0，x1）内单调递减，在（x1，x2）内单调递增，在（x2，＋∞）上单调递减，所以f（x1）＜f（1）＝－2a＜0，f（x2）＞f（1）＝－2a＞－，故选项C、D正确.故选A、C、D. 13.若函数f（x）＝x2－ax＋ln x在（0，2）内有极值，则实数a的取值范围是　（2，＋∞）　. 解析：f（x）＝x2－ax＋ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－a＋，要使函数f（x）＝x2－ax＋ln x在（0，2）内有极值，则f'（x）＝x－a＋在（0，2）内有变号零点，令g（x）＝x＋，x∈（0，2），则g（x）＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥2.当a＝2时，f'（x）＝x＋－2≥0，函数f（x）单调递增，则函数f（x）＝x2－ax＋ln x在（0，2）内没有极值，故a＞2，即实数a的取值范围是（2，＋∞）. 14.（15分）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ex－ax－a3. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 解：（1）当a＝1时，则f（x）＝ex－x－1，f'（x）＝ex－1， 可得f（1）＝e－2，f'（1）＝e－1， 即切点坐标为（1，e－2），切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－（e－2）＝（e－1）（x－1）， 即（e－1）x－y－1＝0. （2）易知函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－a. 当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）在R上是增函数，无极值； 当a＞0时，由f'（x）＞0，得x＞ln a，由f'（x）＜0，得x＜ln a， 所以函数f（x）在区间（－∞，ln a）上单调递减，在区间（ln a，＋∞）上单调递增，所以f（x）的极小值为f（ln a）＝a－aln a－a3. 由题意知a－aln a－a3＜0（a＞0），等价于1－ln a－a2＜0（a＞0）. 法一（导数法）　令g（a）＝1－ln a－a2（a＞0）， 则g'（a）＝－－2a＜0， 所以函数g（a）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（1）＝0，故当0＜a＜1时，g（a）＞0；当a＞1时，g（a）＜0. 故实数a的取值范围为（1，＋∞）. 法二（图象法）　由1－ln a－a2＜0（a＞0），得ln a＞－a2＋1（a＞0）. 如图为函数y＝ln a与y＝－a2＋1在区间（0，＋∞）上的大致图象， 由图易知当a＞1时，ln a＞－a2＋1，即1－ln a－a2＜0. 所以实数a的取值范围为（1，＋∞） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4节　导数与函数的极值 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.理解导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极大值、极小值. 3.会利用极值求参数. 　　 由图象判断函数的极值 条件 f'（x0）＝0 x0附近的左侧f'（x）　　0，右侧f'（x）　　0 x0附近的左侧f'（x）　　0，右侧f'（x）　　0 图象 形如山峰 形如山谷 极值 f（x0）为极　　值 f（x0）为极　　值 极值点 x0为极　　值点 x0为极　　值点 提醒：f'（x0）＝0是x0为可导函数f（x）的极值点的必要不充分条件.如：f（x）＝x3，f'（0）＝0，但0不是极值点. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f'（x），且函数y＝（1－x）f'（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（　　） A.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（1） C.函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（－2） D.函数f（x）有极大值f（－2）和极小值f（2） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　导函数图象从左往右，导函数值由正变负，表示函数单调性由增变减，此时导函数的零点即为函数的极大值点；同理，导函数值由负变正，函数单调性由减变增，此时导函数的零点即为函数的极小值点.判断函数的极值需从定义入手. 练1 〔多选〕若函数f（x）的定义域为（－4，3），其导函数f'（x）的图象如图所示，则下列选项正确的为（　　） A.f（x）有两个极大值点 B.f（x）有一个极小值点 C.f（0）＞f（1） D.f（－2）＞f（－3） 求函数的极值 〔多选〕（2026·湖北黄冈模拟）已知函数f（x）＝，则函数f（x）（　　） A.在（0，）内单调递减 B.有3个极值点 C.极大值为1 D.极小值点为 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数极值的一般步骤 （1）先求函数f（x）的定义域，再求函数f（x）的导函数； （2）求f'（x）＝0的根； （3）判断f'（x）＝0的根的左、右两侧f'（x）的符号，确定极值点； （4）求出函数f（x）的极值. 练2 已知函数f（x）＝ln x－ax（a∈R）. （1）当a＝时，求f（x）的极值； （2）讨论函数f（x）在定义域内极值点的个数. 由函数的极值求参数 （1）（2025·全国Ⅱ卷13题）若x＝2是函数f（x）＝（x－1）（x－2）（x－a）的极值点，则f（0）＝　　　　； （2）若函数f（x）＝ln 2x＋ax有大于零的极值，则实数a的取值范围为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　已知函数极值点或极值求参数的2个要领 （1）列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； （2）验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 提醒　若函数y＝f（x）在区间（a，b）内有极值，那么y＝f（x）在（a，b）内不是单调函数. 练3 （1）已知函数f（x）＝x2ln x，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）在x＝处取得极大值 B.f（x）在x＝处取得极大值 C.f（x）在x＝处取得极小值－ D.f（x）在x＝处取得极小值 （2）（2026·广东汕头模拟）设a∈R，若函数f（x）＝x3－x2＋x＋2在（1，2）内存在极值点，则a的取值范围是（　　） A. B.（ 3，） C.（－∞，3） D. （3）〔多选〕（2023·新高考Ⅱ卷11题）若函数f（x）＝ aln x＋＋（a≠0）既有极大值也有极小值，则（　　） A.bc＞0 B.ab＞0 C.b2＋8ac＞0 D.ac＜0 第4节　导数与函数的极值 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.如图是y＝f（x）的导函数f'（x）的图象，对于下列四个判断，其中不正确的是（　　） A.当x＝－1时，f（x）取得极小值 B.f（x）在[－2，1]上不具备单调性 C.当x＝2时，f（x）取得极大值 D.f（x）在[－1，2]上单调递减 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.（2026·黑龙江伊春开学考试）函数f（x）＝（4x－5）e2x的极值点为（　　） A. B. C. D. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.设函数f（x）的定义域为R，若x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，则以下结论中一定正确的是（　　） A.∀x∈R，f（x）≤f（x0） B.－x0是f（－x）的极小值点 C.－x0是－f（x）的极小值点 D.－x0是－f（－x）的极小值点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.已知函数f（x）＝x3＋（a－1）x2＋x＋1没有极值，则实数a的取值范围是（　　） A.[0，1] B.（－∞，0]∪[1，＋∞） C.[0，2] D.（－∞，0]∪[2，＋∞） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.设函数f（x）＝，若f（x）的极小值为，则a＝（　　） A.－ B. C. D.2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.已知函数f（x）＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f（x）的极大值为（　　） A.2 B.－ C.3＋ln 2 D.－2＋2ln 2 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.〔多选〕（2026·山西运城调研）若x＝－2是函数f（x）＝（x2＋ax－1）ex－1的极值点，则下面结论正确的为（　　） A.a＝－1 B.f（x）的单调递增区间为（－2，1） C.f（x）的极小值为1 D.f（x）的极大值为5e－3 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.（2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝x3－x2＋ax（x∈R），g（x）＝x2＋（2－a）ln x，若f（x）与g（x）中恰有一个函数无极值，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则＋＝　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）已知函数f（x）＝＋x（a∈R）. （1）若f'（0）＝0，求实数a的值； （2）讨论函数f（x）的极值. 11.（2025·江苏南通一模）若函数f（x）＝eax＋2x有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　） A.a＞－2 B.a＞－ C.a＜－2 D.a＜－ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕已知a为常数，函数f（x）＝x（ln x－2ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则下列结论中正确的是（　　） A.0＜a＜ B.x1＋x2＜2 C.f（x1）＜0 D.f（x2）＞－ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.若函数f（x）＝x2－ax＋ln x在（0，2）内有极值，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷16题）已知函数f（x）＝ex－ax－a3. （1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $