7.1 基本立体图形及表面积与体积 讲义-2027届高三数学一轮复习

第一节　基本立体图形及表面积与体积 知识清单 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相________且________ 多边形 互相________且________ 侧棱 ________ 相交于________，但不一定相等 延长线交于 ________ 侧面 形状 __________ ________ 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，____于底面 相交于____ 延长线交于____ — 轴截面 ________ ________ 等腰梯形 圆 侧面展 开图 ________ ________ 扇环 — 2.直观图的斜二测画法 (1)原图形中x轴，y轴，z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为________，z′轴与x′轴，y′轴所在平面________． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别________坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面 展开 图 侧面 积公 式 S圆柱侧＝ ________ S圆锥侧＝ ________ S圆台侧＝ ________ 4.简单几何体的表面积和体积公式 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝________ 锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝________ 台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋ S上＋S下 V＝(S上＋S下＋ h 球 S＝________ V＝________ 【常用结论】 1．与体积有关的几个结论： (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差． (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等． 2．直观图与原平面图形面积间的关系： S直观图＝S原图形． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱．(　　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体是棱锥．(　　) (3)用两平行平面截圆柱，夹在两平行平面间的部分仍是圆柱．(　　) (4)菱形的直观图仍是菱形．(　　) 2．(人教A版必修二P106T8改编)如图，长方体ABCD -A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，FG∥BC，则剩下的几何体是(　　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 3．(人教A版必修二P111习题T1改编)下列说法正确的是(　　) A．相等的角在直观图中仍然相等 B．相等的线段在直观图中仍然相等 C．正方形的直观图是正方形 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 4．(人教A版必修二P119练习T1改编)已知圆锥的表面积为9π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为(　　) A．3π B．9π C．π D． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　基本立体图形 考向1　结构特征 例1 (多选)下列说法正确的是(　　) A．棱台的侧面都是等腰梯形 B．棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 C．底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形 D．以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)定义法：紧扣定义，由已知条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定． (2)反例法：通过反例对结构特征解析辨析，要说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P106T6改编)下列命题不正确的是(　　) A．一个棱锥至少5个面 B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 考向2　直观图 例2 (2026·孝感模拟)如图，已知△OAB的平面直观图是等腰直角△O′A′B′，且∠O′A′B′＝，O′B′＝2，则△OAB的面积是(　　) A．2 B． C．1 D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段，平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 　跟踪训练　(2026·马鞍山模拟)一平面图形的直观图是边长为1 cm的正方形，则原图形的周长是________cm. 考向3　展开图 例3 (2026·皖北协作体一模)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AA1＝5，E，F，G分别为侧棱BB1，CC1，DD1上一点，则AE＋EF＋FG＋GA1的最小值为(　　) A． B． C． D．14 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：立体图形的展开是指将空间图形沿某一条棱展开为平面图形，研究其面积或者距离的最小值，把几何体中的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离问题． 　跟踪训练　如图，圆锥底面半径为3，母线PA＝12，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为(　　) A．6 B．16 C．4 D．12 命题点二　空间几何体的表面积 例4 (1)(2026·河北示范校联盟)已知某圆台的高为6，上底面半径为2，下底面半径为10，则此圆台的表面积为(　　) A．100π B．104π C．120π D．224π (2)(2026·江淮十校联考)在一个底面为矩形的直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1，2，，则该四棱柱的表面积为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应的侧面展开图中边的关系． (2)求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． (3)组合体的表面积注意衔接部分的处理． 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修二P119习题T1)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是(　　) A．225 cm2 B．1 000 cm2 C．1 800 cm2 D．900＋2 000 cm2 命题点三　空间几何体的体积 例5 (1)(链接·2024年新高考Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为(　　) A．2π B．3π C．6π D．9π [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)(链接·2024年天津卷)在如图所示的五面体中，棱AD，BE，CF互相平行，且两两之间距离均为1.若AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为(　　) A． B． C． D． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3)(链接·2023年新高考Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　 (1)(源自人教A版必修二P119习题T2)如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则棱锥的体积与剩下的几何体体积的比值为________． (2)(源自人教A版必修二P120习题T8)分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，这3个几何体的体积之间有什么关系？ 学霸笔记：(1)求规则几何体的体积，主要是先找准关键的已知量，求必需的未知量，再利用“直接法”代入体积公式计算． (2)求不规则几何体的体积． 当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算． ①把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算． 常见的补形有： a．将正四面体补形成正方体； b．将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体； c．将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补成正方体； d．将台体补形成锥体等． ②分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体．当规则的几何体用公式不易求出时，可将其分割转化成比较好求体积的几何体．大多数情况下，可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥，从四棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的“刀口”． 提示：请完成课时作业39 第一节　基本立体图形及表面积与体积 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)平行　全等　平行　相似　平行且相等　一点　一点　平行四边形　三角形 (2)垂直　一点　一点　矩形　等腰三角形　矩形　扇形 2．(1)45°(或135°)　垂直　(2)平行于　不变　一半 3．2πrl　πrl　π(r1＋r2)l 4．S底h　S底h　4πR2　πR3 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：根据几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱． 答案：C 3．解析：由直观图的画法规则知，角度、长度都有可能改变，而线段的平行关系不变，正方形有直观图是平行四边形． 答案：D 4．解析：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为h，则解得(负值已舍去)，所以h＝＝ ＝3，所以圆锥的体积V＝πr2h＝2×3＝3π. 答案：A 考教衔接·活用教材 例1　解析：A.棱台的侧棱延长后交于一点，但侧面不一定是等腰梯形，如一条侧棱垂直于底面，那么会有两个侧面为直角梯形，故错误；B.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面，故正确；C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形，故正确；D.以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个同底的圆锥，故错误．故选BC. 答案：BC 跟踪训练　解析：对于A，三棱锥只有4个面，故A错误；对于B，由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确；对于C，由棱锥的定义可知，侧面是三角形，底面的边数决定了它是几棱锥，从而有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥，故C正确；对于D，由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确．故选A. 答案：A 例2　解析：因为△O′A′B′是等腰直角三角形，O′B′＝2，所以O′A′＝A′B′＝，且OB＝O′B′＝2，OA⊥OB，OA＝2O′A′＝2，所以原平面图形的面积是.故选A. 答案：A 跟踪训练　解析： 根据斜二测画法还原图形，根据直观图可得正方形的对角线的长为 cm，所以原图形中对应线段的长度为2 cm.如图所示．所以原图形中平行四边形的一条边的边长为＝3(cm)．所以周长为2×(3＋1)＝8(cm)． 答案：8 例3　解析：如图所示， 将正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(图①)的侧面沿AA1展开，得到展开图(图②)，当A，E，F，G，A1五点共线时，AE＋EF＋FG＋GA1取得最小值，且最小值为.故选A. 答案：A 跟踪训练　 解析：把圆锥侧面沿母线PA剪开，展开在同一平面内得扇形APA′，连接AB，如图，令扇形APA′的圆心角大小为θ，则12θ＝2π×3，解得θ＝，在Rt△PAB中，PB＝PA′＝4，则AB＝，所以一只蚂蚁从A点出发，沿圆锥侧面绕行一周，到达B点，最短路线长度为4.故选C. 答案：C 例4　解析：(1)设圆台的上底面的半径为r，下底面的半径为R，高为h，母线长为l，l＝＝10，所以圆台的表面积S＝π(r＋R)l＋πr2＋πR2＝π×(2＋10)×10＋4π＋100π＝224π.故选D. (2)由已知得直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为矩形，则该四棱柱的各个面均为矩形，可得表面积为×2＝4＋6. 答案：(1)D　(2)4＋6 跟踪训练　解析：每个三角形的面积为S＝，则表面积为S＝8×225＝1 800(cm2)．故选C. 答案：C 例5　解析：(1)设圆柱、圆锥的底面半径为r，则圆锥的母线长为 .又圆柱与圆锥的侧面积相等，所以2πr·＝πr，解得r＝3，所以圆锥的体积V＝π.故选B. (2)用一个完全相同的五面体HIJ-LMN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相嵌，使得D，N；E，M；F，L重合．因为AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面)是边长为1的等边三角形，侧棱长为1＋3＝2＋2＝3＋1＝4，VABC-DEF＝.故选C. (3)如图所示，正四棱锥P-ABCD的底面边长为4，用平行于底面的平面截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥P-A′B′C′D′后，得到正四棱台A′B′C′D′-ABCD，且A′B′＝2，AB＝4.记O′，O分别为正四棱台A′B′C′D′-ABCD上、下底面的中心，H′，H分别为A′B′，AB的中点，连接PO，PH，O′H′，OH，则PO′＝3，O′H′＝1，OH＝2.易知△PO′H′∽△POH，所以，即，解得PO＝6，所以OO′＝PO－PO′＝3，所以该正四棱台的体积V＝×3×(22＋2×4＋42)＝28. 答案：(1)B　(2)C　(3)28 真题探源　解析：(1)设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则V三棱锥＝，剩下的几何体的体积V＝V长方体－V三棱锥＝abc－abc，所以棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比为1∶5. (2)设直角△ABC的两条直角边分别为a，b，斜边为c，以斜边c为轴，进行旋转，形成底面半径为，高的和为c的两个圆锥的组合体，其体积V1＝×π×2×c＝；以直角边a为轴，进行旋转，形成底面半径为b，高为a的圆锥，其体积V2＝×π×b2×a＝ab2；以直角边b为轴，进行旋转，形成底面半径为a，高为b的圆锥，其体积V3＝×π×a2×b＝.有. 答案：(1)　(2)见解析 学科网（北京）股份有限公司 $