精品解析：江苏泰州市靖江市实验学校2025-2026学年下学期八年级期中数学试题

八年级数学试卷 （考试试卷：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 5. 《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则当取得最大值时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一个直角三角形的三边长分别为5，7，x，则x的值为______． 8. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 9. 分式的值为0，则x的值为______． 10. 如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 11. 若关于x的方程有增根，则a的值是______． 12. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 13. 已知，则的平方根是______． 14. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 15. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 16. 在矩形中，，，P为边上一点，过点P作于E，连接，取的中点F，连接．当最小时，的长为______． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 18. 因式分解： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为． （1）仅用无刻度直尺和圆规作图：过点A作直线轴；（直尺只限使用一次，不要求写作法，但保留作图痕迹） （2）点B在x轴正半轴上，且，点C在（1）中的直线l上，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为______． 20. 已知n为奇数（）． （1）猜想：除以8，余数为______； （2）证明你的猜想． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） （1）直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； （2）已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 22. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：． 23. 若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ① ② ③ （2）证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 24. 如图1，在矩形中，E是的延长线上一点，，与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求的度数． 25. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 26. 如图1，在中，延长至点E，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 （考试试卷：120分钟 满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，满足条件，是最简二次根式； 选项B：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 选项C：，被开方数含分母，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含分母，不是最简二次根式． 2. 下列从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对选项A，右边不是整式，不符合要求，∴A错误； 对选项B，左边是单项式，不是多项式，不符合要求，∴B错误； 对选项C，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，∴C正确； 对选项D，变形是从整式乘积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，∴D错误． 3. 函数的图像不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据k与b的值求出该一次函数的图像的位置是解题的关键． 根据一次函数的k与b的值即可知道该一次函数的图像经过哪些象限． 【详解】解：由题意可知：，， ，， 该一次函数的图像经过第一、三、四象限，即不经过第二象限， 故选：B． 4. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 对角线相等的四边形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是中点四边形，掌握菱形的判定定理，三角形的中位线定理解此题的关键． 根据三角形中位线定理，中点四边形是平行四边形，要使其为菱形，需邻边相等，从而推出原四边形的对角线相等． 【详解】解：如图，已知四边形，、、、分别为、、、的中点，连接、， 、是、中点， 且． 、是、中点， 且 ． 且， ∴ 四边形是平行四边形． 若四边形是菱形，则． 、是、中点， 且． ， ∴． ． ∴ 原四边形对角线相等． 故选：C． 5. 《姑苏繁华图》是清代苏州籍宫廷画家徐扬的作品，全长，反映的是当时苏州“商贾辐辏，百货骈阗”的市井风情．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为，宽为的矩形，装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为x（m），根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据装裱后的长与宽的比是，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可． 【详解】解：由题意，得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程，是解题的关键． 6. 如图，在矩形中，，，点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则当取得最大值时，运动时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点O，取的中点，连接，根据矩形的性质和题意可通过证明，得到，然后根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出点G的轨迹，从而推出当取得最大值时，点G与点O重合，此时，接着连接，过点作交于点M，根据矩形的性质和等腰三角形的性质可求得，然后设，则 ，利用勾股定理在和中，表示出，建立方程，求得此时的长度，即可解答． 【详解】解：如图，连接交于点O，取的中点，连接， ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴，， ∵点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点，且，即， ∴ ， ∴点G在以H为圆心，为直径的圆弧上运动， ∴当取得最大值时，点G与点O重合，此时， 如图所示，连接，过点作交于点M， ∵， ∴三点共线， ∴， ∴ ， ∴， 设，则 ， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动， ∴当取得最大值时，运动时间为． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，本大题共30分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 一个直角三角形的三边长分别为5，7，x，则x的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可分为当该直角三角形的两条直角边长为5和7，当该直角三角形的两条直角边长为5和x，斜边长为7，然后根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：当该直角三角形的两条直角边长为5和7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系； 当该直角三角形的两条直角边长为5和x，斜边长为7，则根据三角形三边关系可知，由勾股定理可得：，因为，所以符合三角形三边关系； 综上所述：x的值为或． 8. 正方形一条对角线为2，则正方形的面积为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解． 【详解】解：正方形的一条对角线的长为2， 这个正方形的面积． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的面积的两种求法是解题的关键． 9. 分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 10. 如图，在中，，，将线段水平向左平移n个单位得到线段，若四边形为菱形，则n的值为______． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴． 11. 若关于x的方程有增根，则a的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义得到增根的值，再代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：将方程两边同乘以得：， ∵分式方程有增根． ∴最简公分母， 解得， 将代入得：． 12. 如图，在中，，，，P为边上任一点，过点P作于点E，于点F，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先证明四边形是矩形，得到，根据垂线段最短，可得当时，最小，再结合，即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， 即当时，最小． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 13. 已知，则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 14. 如图，为正方形内一点，，，，将绕点按顺时针方向旋转，得到，延长交于点，连接．则的面积为______ 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、勾股定理、正方形的判定与性质是解答本题的关键． 由旋转得，，，，，可得出四边形为正方形，可得．在中，由勾股定理得，，则，，即可解答． 【详解】解：由旋转得，，，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿匀速运动，到达点C时点P停止运动；设点P运动的路程为x，它与对角线交点E之间的距离为y，y与x之间的函数关系如图2所示，则当点P运动至的中点处时，y的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象得到、的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后利用三角形中位线的性质即可求得点P运动至的中点处时，的长． 【详解】解：根据函数图象，可得 ，， ∵菱形， ∴ ，， ∴， ∵当点P运动至的中点时，是的中位线， ∴此时． 16. 在矩形中，，，P为边上一点，过点P作于E，连接，取的中点F，连接．当最小时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为点，连接，延长，交于点，连接，设交于点，根据对称性质得，再证和，得到是的中位线，，那么当时，最短，然后根据勾股定理求出，接着利用求得，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：设点关于直线的对称点为点，连接，延长，交于点，连接，设交于点，如图所示： ∵关于直线对称， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴是的中位线， ∴， ∴要使最小，则需取得最小值， ∵点为固定点，在上运动， ∴时，取得最小值， ∵矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 不妨设，那么， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴． 三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）9 （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 两边同时乘，得． 移项合并，得， 解得． 经检验是增根． ∴原方程无解． 18. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，然后再用完全平方公式即可； （2）将原式转化为，然后利用平方差公式进行因式分解，注意检查每个小括号，是否有公因式存在． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为． （1）仅用无刻度直尺和圆规作图：过点A作直线轴；（直尺只限使用一次，不要求写作法，但保留作图痕迹） （2）点B在x轴正半轴上，且，点C在（1）中的直线l上，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点C的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意过点A作y轴的垂线即可，先以点A为圆心，一定长为半径画弧，交y轴于M、N两点，再分别以M、N两点为圆心，为半径画弧，两弧交于点P，作直线，即为所求； （2）根据平行四边形的性质可知，结合轴，即可求得点C的坐标． 【小问1详解】 解：如图所示，直线l即为所求： 【小问2详解】 解：①如图所示，当四边形是平行四边形时，点B在x轴正半轴上，， ∴， ∵轴，， ∴点C的横坐标为，纵坐标为4， ∴点C的坐标为； ②如图所示，当四边形是平行四边形时，同理可得点C的坐标为； 综上，点C的坐标为或． 20. 已知n为奇数（）． （1）猜想：除以8，余数为______； （2）证明你的猜想． 【答案】（1）1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过取特殊值，如，即可解答； （2）设（k为正整数），利用因式分解可得 ，然后通过对k与的奇偶性讨论，从而得出结论． 【小问1详解】 解：∵n为奇数且， ∴当时，除以8，余数为1， ∴猜想：除以8，余数为1； 【小问2详解】 证明：设（k为正整数）， ∴ ． ∵k与一奇一偶， ∴一定是偶数． ∴一定能被8整除． ∴除以8余数为1． 21. 高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，物品从离地面为的高处自由落下，落到地面的时间为，经过实验，发现．（不考虑阻力的影响） （1）直接写出物体从的高空落到地面的时间______s； （2）已知从高空坠落的物体所带能量E（单位：J）物体质量（）高度（m）．一串质量为的钥匙经过落在地上，这串钥匙落下对人体是否能造成伤害？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】（1） （2）能造成伤害 【解析】 【分析】（1）将代入公式即可得； （2）先将代入公式，求得此时的高度，然后根据公式求得钥匙落在地上的能量，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意； 【小问2详解】 解：当时， ，解得， ∴， ∵ ， ∴能造成伤害． 22. 如图，在中，D，E，F分别是，，的中点，于H．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明是的中位线，，，接着证明，推出四边形为平行四边形，得到．接着利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到，，推出，，从而得到，即可得证． 【详解】证明：∵D、E分别为，中点， ∴，． ∵F为中点， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． ∵，D为中点， ∴． ∴． ∵F为中点，， ∴． ∴． ∴． 即， ∴． 23. 若一个多项式的值恒为非负数，我们则称这个多项式为“和美多项式”．例如多项式可做如下变形：，∵，∴．∴的值恒为非负数，且当时，多项式有最小值，最小值是2． 根据以上阅读材料，完成下列问题： （1）下列多项式是“和美多项式”的是______；（填序号即可） ① ② ③ （2）证明多项式是“和美多项式”，并求出它的最小值． 【答案】（1）①，③ （2）证明见解析，最小值8 【解析】 【分析】（1）根据“和美多项式”的定义直接根据，即可判断①和②；对③先根据题中的变形方法把原式化为 ，即可判断； （2）先利用题中的变形方法把原式可化为 ，然后根据平方的非负性即可解答． 【小问1详解】 解：①， ∵， ∴，故①是“和美多项式”； ② ∵， ∴，故②不是“和美多项式”； ③ ， ∵， ∴ ， ∴的值恒为非负数，故③是“和美多项式”； 【小问2详解】 解： ， ∵ ， ∴原式 ，即原式为“和美多项式”， 当时有最小值，最小值是8． 24. 如图1，在矩形中，E是的延长线上一点，，与相交于点G，与相交于点F，． （1）求证：； （2）如图2，连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）在线段上取点P，使得，由题意易得，则有，然后可得为等腰直角三角形，进而问题可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形，点E在的延长线上， ∴． 又∵，， ∴． ∴． ∴．即， 故． 【小问2详解】 解：如图，在线段上取点P，使得． 在与中， ， ∴． ∴． ∴， ∴为等腰直角三角形． ∴． 25. 阅读材料： “糖水不等式”的证明 小聪有一杯糖水重a克，其中溶有糖b克，他觉得这杯糖水不够甜，又加了c克糖，感觉比原来甜了许多． 糖水的甜度取决于糖水浓度（）． 小聪这杯糖水原来的浓度为，添加克糖后，糖水的浓度变成．生活经验告诉我们，添加糖后，糖水会更甜．利用不等式来表示这种现象，即．有人把这个不等式趣称为“糖水不等式”．这个不等式成立吗？怎么证明呢？ ——浙教版八年级上册数学教材第115页“阅读材料” 基于材料的生活经验，尝试用数学的方法进行证明“糖水不等式”． （1）【特例验证】假设，，，则_____．（填“、或”） （2）【推理论证】证明（1）中，你得到的结论． （3）【应用拓展】若、、为三边的长，证明： 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查分式的加减运算，三角形的三边关系，熟练掌握“糖水不等式”，是解题的关键： （1）将字母的值代入，比较分数的大小即可； （2）利用作差法进行计算即可； （3）利用糖水不等式进行证明即可． 【小问1详解】 解：当，，时， ，， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意，， ∴，，， 由“糖水不等式”可知：， ， ， ． 26. 如图1，在中，延长至点E，使得，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处，延长交的延长线于点H，交于点G．写出之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，将沿直线翻折，点E落在上F处，若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）先根据平行四边形性质证明，进而得到，再根据四边形是平行四边形和翻折性质，利用等角对等边可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）过点B作于点M，由翻折可知，结合平行四边形的性质可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质和三线合一，求得，接着由勾股定理求得，即可由面积公式求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使得， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵将沿直线翻折，点E刚好落在的中点F处， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，过点B作于点M， ∵四边形是平行四边形，， ∴，, 由翻折可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $