精品解析：江苏省靖江市靖城中学2024—2025学年下学期八年级期中数学试题

靖城中学2024-2025学年度第二学期阶段质量监测调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误； D、是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某品牌汽车的抗撞力 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批白板笔的使用寿命 D. 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了调查的两种方式，熟练掌握两种方式使用的基本特点是解题的关键．根据抽样调查和全面调查的特点，选择合适的调查方式． 【详解】解：调查调查某品牌汽车的抗撞力，采用抽样调查方式， ∴A不符合题意； 调查了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，采用抽样调查方式， ∴B不符合题意； 调查调查某批白板笔的使用寿命，采用抽查方式， ∴C不符合题意； 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况，采取全面调查的方式， ∴D符合题意； 故选：D． 3. 下列分式从左到右的变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、假设，所以，，则此项不一定正确，不符合题意； B、当时，，则此项不一定正确，不符合题意； C、，所以只有当时，，则此项不一定正确，不符合题意； D、，则此项一定正确，符合题意； 故选：D． 4. 若，都是实数，且，则的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x的值，再求出y的值，然后计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查了算术平方根有意义的条件，明确被开方数是非负数是解题的关键． 5. 如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）． A. 22 B. 18 C. 14 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据菱形的对角线平分一组对角可得∠BAC=∠BCA，再根据等角的余角相等求出∠BAE=∠E，根据等角对等边可得BE=AB=4，然后求出EC=BE+BC=4+4=8，同理可得AF=8，因为AD∥BC，所以四边形AECF是平行四边形，所以四边形AECF的周长=2（AE+EC）=2（3+8）=22． 故选A． 考点：菱形的性质；平行四边形的判定与性质． 6. 已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值和完全平方公式的应用，分别根据各个结论提供的信息进行分析计算和判断即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴，故①结论错误； ②， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴，故②结论正确； ③设，， ， ∵， ∴， 的值不确定， ∴，故③结论错误； ④∵， 当时，， 所以，存在实数，使得，故④结论错误， 所以，正确的结论有1个， 故选：B． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7. 函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件列出不等式组，求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查求函数自变量的范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决问题的关键． 8. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3，则第四组数据的个数为______． 【答案】15 【解析】 【分析】先根据各小组的频率和是1，求得第四组的频率；再根据频率=频数÷数据总数，进行计算即可得出第四组数据的个数． 【详解】解：∵一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3， ∴第四组的频率为：1-0.25-0.15-0.3=0.3， ∴第四组数据的个数为：50×0.3=15． 故答案为15． 【点睛】本题考查频率与频数，用到知识点：频率=频数：数据总数，各小组的频率和是1． 9. 若是反比例函数，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义即可解答，重点是将一般式转化为的形式． 【详解】解：根据反比例函数的定义，得： ， ∴； ， ， ． 故答案为：． 10. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 【答案】两直线平行 【解析】 【分析】本题需先根据已知条件和反证法的特点进行证明，即可求出答案． 【详解】已知平面中有两条直线，被第三条直线所截；假设同位角不相等，则两条直线平行，同位角不相等，则两条直线与第三直线互相相交，即为三角形．因假设与结论不相同，故假设不成立，即如果同位角不相等，那么这两条直线不平行． 故答案为：两直线平行． 【点睛】本题主要考查了反证法，在解题时要根据反证法的特点进行证明是本题的关键． 11. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程的解为，再根据题意列出不等式知且，最后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 由题意可知且， 解得且， 故答案为：且． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则______． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，则可求出，由旋转的性质可得，则，再根据平角的定义可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：64． 13. 规定=+，，则＝___． 【答案】## 【解析】 【分析】利用定=+计算，利用计算的值． 【详解】解：∵ ， ∴， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，关键是理解新定义运算规则，利用规则转化为四则运算． 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等三角形和勾股定理求出对应线段的长度，再根据象限内点的坐标特点得出点的坐标 【详解】如图，过点D，作于点E ∵、，四边形是菱形 ∴, ∴ ∵在和中 ∴ ∵ ∴, ∴ ∵点D在第二象限 ∴点D的坐标为 【点睛】本题考查坐标系内点的坐标的求法，菱形的性质，根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理求出对应线段的长是关键 15. 如图，正方形边长为6，，M、N分别是和中点，则长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q，根据正方形边长为6，得，， 则，，根据M、N分别是和的中点，得是的中位线，是的中位线， ，，，根据得，，即，，则四边形是矩形，即，，即四边形是正方形，根据，得，根据，得，根据四边形是正方形得，运用勾股定理即可得． 【详解】解：如图所示，取中点H，的中点P，连接并延长交于点G，连接并延长交于点Q， ∵正方形边长为6，， ∴，， ∴，， ∵M、N分别是和的中点， ∴， ∴是的中位线，是的中位线， ∴，， ∵ ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，三角形的中位线，勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】建立下图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H，先证明△EDH≌△DGC，则DH=GC=2，DC=EH，设DC=t，则EH=t，点E的坐标为（-t，t+2），然后求得当t=0和t=3时点E的坐标，然后利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：建立如图所示的坐标系，过点E作EH⊥y轴，垂足为H． ∵BC=4，点G为边BC的中点， ∴GC=2． ∵DEFG为正方形， ∴ED=DG，∠EDG=90°． ∴∠EDH+∠GDC=90°． 又∵∠EDH+∠HED=90°， ∴∠GDC=∠HED． 在△EDH和△DGC中，∠GDC=∠HED，∠EHD=∠DCG，ED=DG， ∴△EDH≌△DGC． ∴DH=GC=2，DC=EH． 设DC=t，则EH=t， ∴点E的坐标为（-t，t+2）， ∴点E在直线y=-x+2． 由题意可知：0＜t≤3， 当t=0时，y=2，E（0，2） 当t=3时，y=5，E（-3，5） ∴点E运动的路线长= ． 故答案为3 ． 【点睛】本题考查动点的轨迹、正方形的性质，解题的关键是求得点E运动的轨迹． 三、解答题（本大题共10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和解分式方程，熟练掌握运算法则是关键． （1）先化简二次根式、计算零指数幂和绝对值，再求和即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） （2） 去分母得到， 解得，， 当时，， ∴是增根，分式方程无解 18. 先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法法则计算括号内部分，再计算除法，化简得到结果，根据分式有意义的条件选择合适的字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当或或时，分式无意义， ∴， 当时， 原式 19. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，准备购买一批课外书，为此对学校部分学生进行了“你最喜欢的书籍”问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，并将上面的条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中______，“体育”所对的圆心角的度数为______度； (3)如果全校共有学生人，请通过计算估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多多少人． 【答案】（1）240，补全统计图见解析；（2）10，120；（3）540 【解析】 【分析】（1）从扇形图可知文学占，从条形统计图可知文学有60人，可求出总人数，求出科幻和其他的人数，接口补全条形统计图； （2）用“天文”的人数除以总人数再乘以100%可得a值，再用乘以“体育”类所占比例即可； （3）全校总人数（文学类人数所占比例天文类人数所占比例）即可得． 【详解】解：（1）在这次问卷调查中，一共调查的学生数为： （名； 其他类的人数为：（人， 科幻的人数为：（人， 如图为补充完整的条形统计图； 故答案为：240； （2）， 扇形统计图， 扇形统计图中“体育”所对的圆心角的度数为： 度； 故答案为：10，120； （3）（人， （人， 答：估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多540人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画出线段的中点O； （2）在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． （3）在图③中画一个矩形，使得矩形的面积为． 【答案】（1）作图见详解 （2）作图见详解 （3）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理与格点与特殊四边形的性质，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，比例的运用，平行线的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，对角线相互平分的性质即可求解； （2）根据格点的性质分别算出的值，根据格点与勾股定理即可确定点M，N的位置； （3）先根据格点画出正方形，再根据格点的性质，确定，在线段上到点分割点，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求点的位置， 【小问2详解】 解：如图所示， ∴，，且点在格点上， ∴四边形是平行四边形， ∵，即， ∴平行四边形即为所求图形； 【小问3详解】 解：如图所示，作正方形，与交于点， ∴，， ∵，， ∴，且， ∴， 解得，， ∴， ∴矩形即为所求图形． 21. 如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处，点E落到点F处． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BD＝4，DF＝4，求AC的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）由平移的性质得：AE∥DF，AE＝DF，则四边形AEFD是平行四边形，再证∠AEF＝90°，即可得出平行四边形AEFD是矩形； （2）由勾股定理求出BF＝8，再由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2，AC⊥BD，AB＝BC＝CD，设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x，在Rt△CDF再，由勾股定理得（8﹣x）2＋42＝x2，解得x＝5，则AB＝5，然后由勾股定理求出OA，即可求解． 【详解】（1）证明：由平移性质得：AE∥DF，AE＝DF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：由（1）得：四边形AEFD是矩形， ∴∠DFE＝90°， ∴BF＝＝＝8， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD＝BD＝2， AC⊥BD，AB＝BC＝CD， 设AB＝BC＝CD＝x，则CF＝8﹣x， 在Rt△CDF再，由勾股定理得：（8﹣x）2＋42＝x2， 解得：x＝5， ∴AB＝5， 在Rt△AOB中，由勾股定理得： OA＝＝＝， ∴AC＝2OA＝2． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，平移的性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形AEFD为矩形是解题的关键． 22. 学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． （1）根据上述规律，__________； （2）请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； （3）按此规律，若（为正整数），求的值． 【答案】（1） （2） （3）71 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简二次根式即可得到答案； （2）根据题意得出规律，进行计算即可； （3）根据规律计算求出a，b的值，代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，证明如下： ； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由条件可知， ∴， ∴． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． （1），两款的进货单价分别是每盒多少元？ （2）小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 【答案】（1）A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）共有3种购买方案． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【小问1详解】 解：设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ∴， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； 【小问2详解】 解：设购进B款盒，则购进A款盒， ∵款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ， 解得：， 根据题意得：， 解得：， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 共有3种购买方案，即购进A款50盒，则购进B款50盒；购进A款49盒，则购进B款51盒；购进A款48盒，则购进B款52盒． 24. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）； ，，；，，；，，； （2）若关于的分式方程的解与关于的方程的解与构成“快乐三数组”，求的值； 【答案】（1）； （2）的值为或． 【解析】 【分析】（）根据“快乐三数组”的定义进行验证即可得出结论； （）解分式方程得，解方程，得，然后根据“快乐三数组”的定义分三种情况进行讨论： ，，，根据每一种情况列出关于的方程，解方程求出即可； 此题主要考查了解分式方程，解一元一次方程，二次根式的运算，理解题意，熟练掌握解分式方程，解一元一次方程，分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，不是“快乐三数组”； ， ∴，，是“快乐三数组”； ，， ∴， ∴，，是“快乐三数组”， 故答案为：； 【小问2详解】 解：对于方程， 去分母，将方程两边同时乘以得：， ∴， 解方程得依题意得：，，是“快乐三数组”，∴有以下三种情况： 当时，则， 解得：， 经检验是该方程的解， 当时，则， 解得：， 经检验：是该方程的解， 当时，不符合“快乐三数组”的定义，舍去； 当时，则解得：， 经检验：是该方程的解， 综上所述：的值为或． 25. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）是直角三角形，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据中位线定理即可求出，利用等腰三角形的性质即可证明； （2）根据中位线定理即可求出和，通过第（1）问的结果进行等量代换即可证明； （3）根据中位线定理推出和从而求出，证明是等边三角形，利用中点求出，从而求出度数，即可求证的形状. 【详解】证明：（1）的中点，是的中点， . 同理，. ， . . （2）的中点，是的中点， ， . 同理，. 由（1）可知， （3）是直角三角形，证明如下： 如图，取的中点，连接，， 是的中点， ，. 同理，，. ， . . ， ， . ， . 又， 是等边三角形， . 又， . ， . 是直角三角形. 故答案为：是直角三角形. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及直角三角形的判定，解题的关键在于灵活运用中位线定理. 26. 综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． （1）操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， （2）探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 （3）拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 【答案】（1） (或) （2）是定值；17 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质证明四边形是正方形，然后利用正方形的性质即可得出结论； （2）周长为定值．连结，先证明四边形是矩形，可得，，由折叠性质并结合为的中点可得到，，，然后证明可得到，最后计算可知是一常数，结论得证； （3）分两种情况计算：①当点为的三分点且靠近点时，②当点为的三分点且靠近点时，利用勾股定理和折叠的性质即可得出结论． 【小问1详解】 解： 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图1折叠，使点落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 的角有（或或或； 【小问2详解】 解：是定值，理由如下： 连结，如图2， 四边形是矩形，，，，， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 由折叠性质得：，，， 为的中点， ， ， 在与中， ， ∴， ， ∴ ， 的周长为； 【小问3详解】 解：①如图3，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， ， 在中，， ； ②如图4，当点为的三分点且靠近点时，连接， ， 在中，， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 靖城中学2024-2025学年度第二学期阶段质量监测调研 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列调查中，适宜全面调查的是（ ） A. 调查某品牌汽车的抗撞力 B. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 C. 调查某批白板笔的使用寿命 D. 调查某架隐形战斗机各零部件的质量情况 3. 下列分式从左到右变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，都是实数，且，则的值是（ ） A. 0 B. 4 C. 2 D. 不能确定 5. 如图，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）． A. 22 B. 18 C. 14 D. 11 6. 已知分式，其中为实数，且．则下列结论：①若，则；②若则常数；③若，则；④不存在实数，使得．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分） 7. 函数中，自变量x的取值范围是______． 8. 一组数据共有50个，分成四组后其中前三组的频率分别是0.25、0.15、0.3，则第四组数据的个数为______． 9. 若是反比例函数，那么的值是________． 10. 用反证法证明命题：“同位角不相等，两直线不平行”时，第一步应假设____________________． 11. 关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是______． 12. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则______． 13. 规定=+，，则＝___． 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，、，菱形的顶点C在y轴正半轴上，则点D的坐标为________． 15. 如图，正方形边长为6，，M、N分别是和的中点，则长为_________． 16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点G为边BC的中点，点D从点C出发沿CA向点A运动，到点A停止，以GD为边作正方形DEFG，则点E运动的路程为_______． 三、解答题（本大题共10题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 （1）计算： （2）解方程：． 18. 先化简，再求值，请你从中找一个合适的a值代入求值． 19. 某校为了进一步丰富学生的课外阅读，准备购买一批课外书，为此对学校部分学生进行了“你最喜欢的书籍”问卷调查(每人只选一项)．根据收集到的数据，绘制成如下统计图(不完整)： 请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)在这次问卷调查中，一共调查了_____名学生，并将上面的条形统计图补充完整； (2)扇形统计图中______，“体育”所对圆心角的度数为______度； (3)如果全校共有学生人，请通过计算估计该校最喜欢“文学”类的学生比最喜欢“天文”类的学生多多少人． 20. 如图，在的方格纸中，点是方格纸中的两个格点，记顶点都在格点的四边形为格点四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图①中画出线段的中点O； （2）在图②中画出一个平行四边形，使，且平行四边形为格点四边形． （3）在图③中画一个矩形，使得矩形面积为． 21. 如图，在菱形ABCD中对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，将△ABE沿BC方向平移，使点B落到点C处，点E落到点F处． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BD＝4，DF＝4，求AC的长． 22. 学习二次根式时，小昆发现一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的变化，竟然可以“跑”到根号的外面，好像“穿墙”，数字2称为“穿墙数”．类似的“穿墙”现象还有许多，例如：等． （1）根据上述规律，__________； （2）请你用一个正整数（为“穿墙数”，）表示含有上述规律的等式__________（不需要证明）； （3）按此规律，若（为正整数），求的值． 23. 《哪吒2魔童闹海》票房大卖，哪吒卡片风靡小学校园，小洋打算购进一些卡片在小学门口摆摊．小洋调查发现：每盒款哪吒卡片的进货单价比款哪吒卡片少5元，花500元购进款哪吒卡片的数量与花750元购进款哪吒卡片的数量相同． （1），两款的进货单价分别是每盒多少元？ （2）小洋计划一共购买100盒哪吒卡片，款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元，请通过计算说明共有几种购买方案？ 24. 若任意三个正数满足：的关系，则称这三个正数为“快乐三数组”． （1）下列三组数是“快乐三数组”有______（填序号）； ，，；，，；，，； （2）若关于的分式方程的解与关于的方程的解与构成“快乐三数组”，求的值； 25. （1）用数学的眼光观察． 如图，在四边形中，，是对角线中点，是的中点，是的中点，求证：． （2）用数学的思维思考． 如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：． （3）用数学的语言表达． 如图，在中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明． 26. 综合与实践，数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动．如图1．已知矩形纸片，其中． （1）操作判断 将矩形纸片按图1折叠，使点B落在边上的点E处，可得到一个的角，请你写出一个的角， （2）探究发现 将图1的纸片展平，把四边形剪下来如图2，取边的中点M，将沿折叠得到，延长交于点N，判断的周长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由 （3）拓展应用 改变图2中点M的位置，令点M为射线上一动点，按照(2)中方式将沿折叠得到，所在直线交于点N，若点N为的三分点，请直接写出此时的长， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$