精品解析：广西壮族自治区梧州市2025-2026学年高一下学期4月阶段测试数学试题

2026年4月高一阶段测试 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 是（ ） A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第一象限角 D. 不能确定 2. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 5. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 6. 曲线与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 8. 关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若角的终边过点，则 D. 10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2024个零点 11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的最小正周期是_____. 13. 已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 14. 已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 16. 已知. （1）求的值； （2）若，，，求的值. 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； （2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数 （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）若且，求的最大值． 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年4月高一阶段测试 数学 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写在答题卡上. 2．考生请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 是（ ） A. 第三象限角 B. 第二象限角 C. 第一象限角 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【详解】与终边相同的最小正角为位于第三象限，所以是第三象限角. 2. 已知角终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】角终边上一点，设原点为O，则, 则. 3. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据弧长公式及扇形面积公式计算求解. 【详解】弧所对的圆心角为，设扇形所在圆的半径为，则弧长为，所以 该弧所在的扇形面积为. 故选：A. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 5. 已知，若，则＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为，所以，， 所以. 6. 曲线与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用导数探讨在区间上的单调性，再利用零点存在性定理确定零点个数即可. 【详解】函数在R上单调递减，当时，；当时，， 由，得，因此曲线与直线的交点横坐标必在上， 令，，求导得， 由，得，存在，使得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 又， ，因此函数在上各有一个零点， 所以曲线与直线的交点个数为3. 故选：C 7. 已知函数．设甲：，乙：是偶函数，则（ ） A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由推出，即得，再分和两种情况分析函数均为偶函数推得充分性成立，易得必要性成立，故得结论. 【详解】若，则，则或， 由可得，显然不成立； 由，解得，此时， ①当时，， 由，即函数是偶函数； ②当时，， 由，即函数是偶函数. 综上可得充分性成立； 若是偶函数，因函数的定义域为，则必有，必要性成立. 故甲是乙的充要条件. 故选：C. 8. 关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式和二次函数的性质计算即可. 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：A． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. B. 若是第三象限角，则 C. 若角的终边过点，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据弧度制与角度制之间的转化分析判断；对于B：根据象限角三角函数值的正负性分析判断；对于C：根据任意角三角函数值的定义运算求解；对于D：根据倍角公式分析判断. 【详解】对于选项A：，故A正确； 对于选项B：若是第三象限角，则，故B正确； 对于选项C：若角的终边过点，则，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 10. 大自然中充满了各种声音，有的美妙无比，有的尖利嘈杂，那是因为声音中包含着正弦函数，一个纯音的数学模型是函数为非零常数，为变量），而我们平时所听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图像关于点对称 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上有2024个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期的定义即可计算求解A，根据即可求解B，根据整体法即可求解C，根据函数的周期性即可求解D. 【详解】函数， 对于A:，故A错误； 对于B： ， 故的图像关于点对称，B正确， 对于C，当，则， 故均在单调递增， 故函数在单调递增，C正确， 对于D，令，故或， 在故在区间,上有,共2个零点， 而均为周期为的周期函数，故在区间上有2024个零点， 又，故在有2025个零点，D错误， 故选：BC 11. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处．如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是（ ） A. 关于的函数是偶函数 B. 若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30 C. 摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟 D. 若甲、乙两游客分别坐在两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，先根据题意确定各参数的值，再根据三角函数的奇偶性判断即可；对B，根据代入解析式可得，或，进而可判断；对C，求解即可；对D，由题意每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，进而可得劣弧的弧长. 【详解】对A，由题意，， 所以，当时，可得，所以， 故，所以是非奇非偶函数，故A错误； 对B，由题意，即， 即，所以，或， ，即或，，故B正确； 对C，由题意，即，即， 所以，，解得. 所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确； 对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为， 因为两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是， 故（m）.故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的最小正周期是_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题可根据三角函数周期计算公式得出结果. 【详解】函数的最小正周期， 故答案为：. 13. 已知在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】求出零点表达式，结合零点个数及零点与区间的关系可得答案. 【详解】令得，，即； 当时，，不合题意；当时，；当时，；当时，；当时，； 因为函数在区间上有且仅有3个零点，所以，解得的取值范围是. 14. 已知，是关于x的方程的两个根，则________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理，结合三角函数的平方关系求解. 【详解】，是关于x的方程的两个根， ，解得或， 且， ，， ，，， 或，， . 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知中，，，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点． （1），表示向量，； （2）判断M，N，C三点的位置关系，并证明． 【答案】（1）， （2），，三点共线．证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则计算可得； （2）首先表示出，即可得到，从而得证； 【小问1详解】 ， 因为． 所以. 【小问2详解】 ，，三点共线．证明如下; 由于， 所以， 所以， 因为为公共点， 所以，，三点共线． 16. 已知. （1）求的值； （2）若，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据齐次式代值即可求解； （2）先根据同角三角函数的基本关系，结合题设求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由，则. 【小问2详解】 因为，，所以，且， 由，且，解得， 而，则， 所以 . 17. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 （1）请求出表格中，，的值，并求函数的解析式； （2）将函数的图象上的每个点向右平移个单位长度，得到函数，求函数成立的的取值集合． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用五点法的性质可知是正弦函数的三个零点和最高点及最低点，从而可求得振幅，周期及初相，即可求得函数的解析式，进而求出m，n，p的值； （2）利用平移可得函数解析式，再利用余弦函数的性质来求解即可. 【小问1详解】 由表格中函数最大值为，最小值为，得振幅； 五点法中，对应的，对应的， 两者间隔为半个周期：，可得周期，因此； 将，，代入得：，解得，满足， 因此函数解析式为：， 则；；； 【小问2详解】 将向右平移个单位，可得：， 令，因此，即得， 即， 函数成立的的取值集合为. 18. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数 （ⅰ）求的单调区间； （ⅱ）若且，求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）答案见解析，（ⅰⅰ） 【解析】 【分析】（1）设的最小正周期为，过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期，且，，解得，结合正弦函数的图像可得，计算出的值，从而得到的表达式； （2）（ⅰ）利用图像的变换求出，利用正弦函数的图像和性质求出单调性；（ⅱ）由得到或，由得到取最大值和取最小值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 设的最小正周期为， 过点和，这两个点之间的图像大于1个周期且小于2个周期， 且，，解得， 结合图像可得 ，故 ， 又,故， 故取，，则, 【小问2详解】 （ⅰ）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数， 则， ，解得， 则的单调递增区间为； ，解得， 则的单调递减区间为； （ⅱ），， 或， 当时，，解得， ，，， 当时，取最大值，且最大值为， 当时，取最小值，且最小值为， 故的最大值为， 当时，，解得， ，，， 当时，取最大值，且最大值为， 当时，取最小值，且最小值为， 故的最大值为， 综上可知，的最大值. 19. 已知函数. （1）当，时，求在上的最小值； （2）当时，方程在内有两个不相等的实数根，. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用余弦函数的单调性求解； （2）（i）利用三角恒等变换化简得，令，问题转化为存在两个不相等的满足，利用二次函数的单调性求解；（ii）由（i），，即，利用反证法证明. 【小问1详解】 当时，， ， ，， 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 【小问2详解】 （i）当时，， ， 若，则，令，则， 方程在上有两个不相等的实数根， 即存在两个不相等的满足，其中， 因为的对称轴为，在上单调递增，在上单调递减， 当或1时，，当时，， ，且. （ii）由（i），，即， 不妨设，则，即， 又，所以，则，故， 假设，则，即， ， ，又， ，即，这与前面矛盾，故假设错误， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $