精品解析：安徽亳州市利辛高级中学2026届高三5月高考模拟数学试题

利辛高级中学5月高考模拟（数学） 出题人：侯晓虎 审题人：赵传庆 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】由已知得集合，由题意得，所以集合， 若，则，所以，解得． 2. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算这组数据的平均数，由平均数可得这组数据的中位数只可能是m或7，分两种情况分别求解即可. 【详解】因为这组数据的平均数为， 所以这组数据的中位数只可能是m或7， 若这组数据的中位数是m，则，即， 若这组数据的中位数是7，则，即， 综上所述，m的取值范围为. 故选：B. 3. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 4. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ） A. 100米 B. 2500米 C. 5000米 D. 7500米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，设大气压强增加1倍，则海拔高度降低米，列式求解即可. 【详解】由题意可得， 所以，， 设大气压强从250百帕增加1倍到500百帕，海拔高度降低米， 则，所以， 所以，即， 所以，所以. 故选：C. 5. 对于事件A、B，，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.9 【答案】A 【解析】 【详解】由条件概率公式，可得， 故 又因，则. 6. 无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先将利用等差数列的通项公式进行化简，再结合充分、必要条件即可判断出结果． 【详解】设正项等差数列的首项为，公差为. 则，， 两式作差得. 充分性：若，即. 若，则，即，无法推出结论，充分性不成立. 必要性：若​，即. 因为，所以，即，必要性成立. 因此，""是""的必要不充分条件. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件得出函数的对称性与单调性，再利用函数性质化简不等式求解. 【详解】由题意可得：，， 则关于对称，， 所以在上单调递增，等价于， 所以，即，所以． 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 在同一坐标系中作出和的图像： 令，由相邻交点的性质可得， 解得, 分别令，得到相邻三个交点的坐标， ，， 此时等边底边，高为， 又正三角形中，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 【答案】BD 【解析】 【分析】应用线性相关系数、残差图与独立性检验的知识，决定系数一一检验即可. 【详解】利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量相关，因此A错误； 在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高，因此B正确； 线性相关系数的范围在到之间，有正有负，相关有正相关和负相关， 相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，因此C选项错误； 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，D选项正确； 故选：BD. 10. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是圆上一点，则的最大值是 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最小值是 D. 直线与圆相交 【答案】AB 【解析】 【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD. 【详解】设圆的圆心为． 因为圆关于直线对称的圆的方程为， 圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2， 两圆的圆心关于直线对称，则解得 所以，故圆的方程为． 对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率， 如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得， 故由图可知的最大值是，故A正确； 对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确； 对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误； 对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误． 故选:AB． 11. 为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B. 若是“2-数列”，则可以是常数列 C. 若是"2-数列”，则对任意的正整数， D. 对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 所以，即是“数列”，故A正确； 对于B，当时，，成立， 即是“数列”时，可能为常数列，故B正确； 对于C，若是“数列”，则，且， 所以， 则， 故，由题意知当，， 结合，得，C正确； 对于D，取，，满足， 则，，而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件结合正态分布的性质求出，再利用赋值法求出系数和. 【详解】因为，所以，解得， 代入可得， 令，可得展开式各项系数和为. 故答案为：. 13. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先联立方程计算求解的坐标，再求出所在直线斜率，可得的倾斜角，最后应用两角和的正切公式计算即可． 【详解】设所在直线方程为， 联立，得． 设，准线交x轴于点M，则， 又，，即， 联立 ，过的直线（倾斜角为锐角），解得（舍)或， 则，即， 设的倾斜角为，则， 由，， ， 可得； 故答案为：2． 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得在上有且仅有一个根，讨论、，导数研究区间单调性并确定右侧的值域，即可得参数范围. 【详解】令有且仅有一个根，且， 由，显然不可能是零点，则有且仅有一个根， 当或，则， 令， 当，则， 令，则，即在上单调递增， 由， 即使，则， 所以上，即，则在上单调递减， 上，即，则在上单调递增， 而在上恒成立， 所以在上恒成立，且其最小值， 此时，时，在上无解，即不存在， 时，在上有1或2个解，与或唯一性矛盾， 当，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，，趋向于1时，，则； 当，则， 令在上单调递减，且，趋向于时，， 所以； 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． （1）若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． （2）记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出次轮障碍穿越成功的概率； （2）先求出挑战成功的概率，利用独立事件的性质得出挑战成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【小问1详解】 设事件为“首轮悬停定位成功”，事件为“次轮障碍穿越成功”， ， 根据全概率公式，次轮障碍穿越成功的概率为： ， 随机抽取一名参赛学生，次轮障碍穿越成功的概率为． 【小问2详解】 挑战成功需要两项任务均成功，即为事件，其概率为： ， 不同学生的首轮成功相互独立，并且次轮成功概率仅依赖于自身首轮结果， 各学生的挑战成功事件相互独立， 记为名学生中挑战成功的人数，则服从二项分布， 数学期望：， 方差：． 16. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求角B； （2）若边上的点D满足，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，结合化简可得：，从而得出答案； （2）由已知得，两边平方，结合数量积的运算性质及余弦定理求出，然后利用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得： ∵，∴ ∴ ∵，∴ ∴，化简可得：∴， ∵，∴ ∴，又∵，∴. 【小问2详解】 ∵，∴ 两边平方得：，即 则，∴① 在中，由余弦定理得：，化简得：② 由①②可得：，即，∴或 当时，，∴； 当时，，，∴． 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数在区间上的单调性，即可求出函数在区间上的最小值和最大值； （2）由题意得在上有且只有一个变号零点，由可得，设，其中，分析函数在上的单调性，并求其值域，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，， 当时，，则，可得， 当时，，则，可得， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，，故. 因此在区间上的最大值为，最小值为. 【小问2详解】 由题意得在上有且只有一个变号零点， 由可得， 设，其中， 因为 ， 因为，则， 因为内层函数在上单调递减，外层函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，，故，即实数的取值范围是. 18. 已知为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点. （1）证明:； （2）若，点G在三棱锥的表面上恒有，试求G的轨迹长度； （3）在绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）结合（1）可知点必定在平面的平行平面内，取点，使得，连接，先证明平面平面，可得点的轨迹为线段（不包括点）组成，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）设为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角，利用空间向量表示出平面AKC与平面SEB所成角的余弦值，进而求解即可. 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为为等腰直角三角形，， 所以，，由，得， 则为的中点，又F为BC的中点，所以，， 又，则，因为平面， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，平面，而， 则点必定在平面的平行平面内，取点，使得， 连接，因为，则， 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 因此点的轨迹为线段（不包括点）组成， 因为，，，，则， 所以，则，而， 以为原点，以所在直线为轴，以垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 其中为平面绕直线AC向上旋转至平面的旋转角， 则， 因为，所以，则，即， 则，所以，则， 所以，则， 则点的轨迹长度为. 【小问3详解】 由（2）及题意知，， 且平面绕直线AC向上旋转至平面时，则， 而，则， 而， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面AKC与平面SEB所成角为， 则 ， 令，，则， 因为函数在上单调递减，则， 即，则，所以， 则平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围为. 19. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）或或 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式和通径公式求解即可； （2）根据直线与双曲线相交的弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）先根据直线与双曲线的交点情况得到直线的斜率的范围，并结合条件得到点的坐标关于的表达式，接下来一种方法是通过消去得到点的坐标满足，再结合得到，最后验证对应的斜率不在范围内，另一种方法是将点的坐标直接代入得到关于的方程，最后验证该方程无范围内的解，从而得出结论. 【小问1详解】 过右焦点且与轴垂直的直线为，代入双曲线方程得， 依题意有，又由离心率为，得，联立得， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，由（1）得，所以，因为关于原点对称， 所以，可知直线的斜率不能为 （否则不存在），故可设其方程为，与双曲线方程联立， 整理得，可得且， 以及，所以， 解得或，所以直线的方程为或或. 【小问3详解】 若直线斜率不存在，则直线与双曲线右支无交点，不合题意， 故可设直线方程为，与双曲线方程联立， 整理得，设， 则有且，以及， 其中，所以，结合其它不等式解得， 设，由得，即， 变形得到，将代入， 解得①，代入得②， 解法一： 由①有③，代入②得到④，再由 得，将④代入，整理得， 解得，再由③可得， 因为，， 所以不存在满足条件的点. 解法二： 由得即， 将①②代入该方程得到， 整理得，即， 令，则在区间上单调递减， 又，故当时，恒成立， 即方程在内无解， 所以不存在满足条件的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 利辛高级中学5月高考模拟（数学） 出题人：侯晓虎 审题人：赵传庆 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，若，则（ ） A. 4 B. 2 C. D. 1 2. 一组数据1，3，7，9，的中位数不小于平均数，则m的取值范围为（ ）． A. B. C. D. 3. 设复数是关于的方程的一个根，则（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 4. 在一定条件下，大气压强（单位：百帕）随海拔高度（单位：米）的变化满足如下函数关系式：为正常数）．已知海拔高度0米处的大气压强为1000百帕，海拔高度10000米处的大气压强为250百帕，那么，若大气压强增加1倍，则海拔高度降低（ ） A. 100米 B. 2500米 C. 5000米 D. 7500米 5. 对于事件A、B，，，，则（ ） A. 0.7 B. 0.75 C. 0.85 D. 0.9 6. 无穷数列为各项均为正数的等差数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 利用进行独立性检验时，的值越大，说明有更大的把握认为两个分类变量独立 B. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越窄，其模型拟合效果越好 C. 样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越弱 D. 用决定系数来比较两个模型的拟合效果，越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 10. 已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 若点是圆上一点，则的最大值是 B. 圆关于直线对称 C. 若点是圆上一点，则的最小值是 D. 直线与圆相交 11. 为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（ ） A. 若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B. 若是“2-数列”，则可以是常数列 C. 若是"2-数列”，则对任意的正整数， D. 对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为______． 13. 已知点为抛物线的焦点，过的直线（倾斜角为锐角）与交于两点（点在第一象限），交其准线于点，过点作准线的垂线，垂足为，若，则____________． 14. 若函数有且仅有一个零点，且，则实数的取值范围为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． （1）若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． （2）记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 16. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，． （1）求角B； （2）若边上的点D满足，，求的面积． 17. 已知函数，其中为常数. （1）当时，求在区间上的最值； （2）若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围. 18. 已知为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧.将绕直线AC向上旋转至，点F为BC的中点. （1）证明:； （2）若，点G在三棱锥的表面上恒有，试求G的轨迹长度； （3）在绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围. 19. 已知双曲线E：的右焦点为F，离心率为2，过F且与x轴垂直的直线被该双曲线截得的弦长为6. （1）求曲线E的方程； （2）A、B、C为曲线E上的三个点，且A、B关于原点对称，直线BC过点F，若的面积为12，求直线BC的方程； （3）已知，过点的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P、Q，则直线l上是否存在点T使得，？若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $