陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三下学期第九次模考数学试题

数学试题 注意事项： 1．本考试满分150分，时间120分钟． 2．答卷前将答题纸上的个人考试信息填写完整． 3．本试卷答案均写在答题纸上，答卷必须使用0．5mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效． 4．只交答题纸，不交试题卷． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若全集，集合，，则（ ） 2．已知复数满足，则（ ） 3．的展开式中的系数为（ ） 4．已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） 5．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） 6．若用长为，宽为的矩形纸片卷成一个圆柱筒，则这个圆柱筒的最大体积为（ ） 7．已知椭圆的左、右焦点分别是，点是椭圆上一点，直线的斜率为2，直线的斜率为，则的离心率是（ ） 8．若，则（ ） 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知甲组样本数据，由这组数据得到乙组样本数据，其中，则（ ） 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍 乙组样本数据的中位数是甲组样本数据中位数的3倍 乙组样本数据的平均数是甲组样本数据平均数的3倍 乙组样本数据的标准差是甲组样本数据标准差的3倍 10．记正项等比数列的前项积为，若，则下列结论正确的是（ ） 当取得最小值时， 是递增数列 使的的最小值为17 11．已知曲线与坐标轴交于两点，点在上，则（ ） 为轴对称图形 直线与有两个公共点 使得的面积为的点恰有2个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 13．在直三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为________． 14．设，函数的极小值为，则的取值范围是_______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若，求． 16．小李和小张大学毕业后到西部创业，投入5千元（包括购买设备､房租､生活费等）建立了一个直播间，帮助山区人民售卖农产品．在直播间里，他们利用所学知识谈天说地，跟粉丝互动，集聚了一定的人气，试播一段时间之后，正式带货．他们统计了第一周的带货数据如下： 第天 1 2 3 4 5 6 7 销售额（万元） 1．5 1．8 2 2．5 3．2 4 4．6 （1）求样本的相关系数（精确到0．01； （2）用最小二乘法求出关于的回归方程（系数精确到0．01，并用精确后的的值计算的值），并预测第8天的销售额（预测结果精确到0．01）． 附：①相关系数； ②回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为； ③ 17．已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直． （1）求双曲线的标准方程； （2）若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程． 18．已知函数． （1）曲线在点处的切线方程为，求实数的值； （2）当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：． 19．在三棱锥中，已知均是边长为的正三角形，棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字的八个标签中的四个，表示顶点所贴数字，为侧棱上一点． （1）求事件“”的概率； （2）求事件“为偶数”的概率； （3）若，求“二面角的平面角大于”的概率 陕西师大附中高三年级第九次模考答案 选择填空答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C D A B D A D AD ACD ABD 12． 13． 14． 一、选择题详解 1．【答案】B 【详解】因为，所以，又， 所以。 2．【答案】C 【详解】因为，则，所以． 3．【答案】D 【详解】对，有， 令，则， 故的展开式中的系数为108． 4．【答案】A 【详解】因为是周期为2的函数，所以． 因为是奇函数，当时，， 所以，故． 5．【答案】B 【详解】法1：设的公差为，由，得，即． 由，得，所以． 所以，所以． 6．【答案】D 【详解】若圆柱的底面周长为，则底面半径， 此时圆柱的体积， 若圆柱的底面周长为，则底面半径， 此时圆柱的体积 圆柱的最大体积为． 7．【答案】A 【详解】因为直线的斜率之积为，所以， 由直线的斜率为2，可知，所以， 因为，所以， 因为，所以，即，所以． 8．【答案】D 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以． 二、多选题详解 9．【答案】AD 【详解】A选项，甲组数据的极差为， 则乙组样本数据的极差是 乙组样本数据的极差是甲组样本数据极差的3倍，故A正确； B选项，设甲组数据的中位数为，则乙组数据的中位数为，故B错误； C选项，设甲组数据的平均数为，则乙组数据的平均数为，故C错误； D选项，甲组数据的标准差为，则乙组数据的标准差为，故D正确． 10．【答案】ACD 【详解】设的公比为， 对于A，由题意可得， 解得，故A正确； 对于B，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以当时，取得最小值，选项C的表述未包括“”，故B错误； 对于C，，故是递增数列，故C正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为17，故D正确． 11．【答案】ABD 【详解】对于A，不妨设与轴交于点，与轴交于点， 令，则，解得，即， 令，则，解得，即，易得直线， 则，故A正确； 对于B，当时，在第一象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，在第四象限内有图象（圆的一部分）， 当时，在第三象限内有图象（双曲线的一部分）， 当时，，此时等式不成立，故在第二象限内没有图象， 设在上，因为关于的对称点也在上， 所以关于直线对称，为轴对称图形，故B正确； 对于C，联立，得，无解，故C错误； 对于D，若的面积为，且，则到的距离为， 若在第四象限，此时的轨迹是圆心为，半径为1的圆在第四象限的部分图像， 圆心到的距离为， 则到的距离的最大值为， 则面积的最大值为， 因为，所以不存在满足条件的点， 因为曲线的渐近线为， 直线与直线的距离为， 若的面积为，且， 则到直线和渐近线的距离都为， 如图，满足题意的点恰有两个，故选项D正确． 三、填空题详解 12．【答案】 【详解】． 13．【答案】 【详解】作，因为，所以是的中点， 过作，由直三棱柱性质得面， 如图，作出符合题意的图形，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，所以，由勾股定理得， 则， 可得， 设异面直线与所成角为， 则． 14．【答案】 【详解一】因为的极小值为0，令，则或，故或为的极小值点． 若，即为的极小值点． 由题设， 令，则， 当时，，当时，， 故在上递减，上递增， 而且，故时时， 而时，时， 故时，时， 此时不是的极小值点，与题设矛盾； 若，若为的极小值点，故， 由题设， 因，故必有，故即，与矛盾； 若为的极小值点， 因为，且时，时， 故在的附近总有， 由局部保号性可得即．综上，． 【详解二】 由得，。由于是方程的二重根，所以可以分为三类。 当时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 观察图像，不满足极小值为0，故舍去。 当时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 观察图像，不满足极小值为0，故舍去。 当时，由数轴标根法，可画出函数简易图像如图 观察图像，满足极小值为0，故。 综上，． 四、解答题详解 15．【详解】（1）变形为：， 所以， 因为，所以； （2）因为，且，所以， 由正弦定理得：，即，解得：． 16．【详解】（1）由题意，得， ． ． 所以， 所以样本的相关系数约为0.98． （2）因为， 所以 又， 所以， 所以回归方程为， 当时，，所以预测第8天的销售额为4.92万元． 17．【详解】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）法一：根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 设点 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为． 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或 法二：根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 联立，得， 设点 所以且， 所以，且， 由， 所以 ． 解得，所以， 所以直线的方程为或 18．【详解】（1）， 则，则． （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则 （3）由（2）可知，当时，， 令，则，因为， 令，则， 即， 累加得：， 即成立． 19．【详解】（1）由于、是从8个数字中选取两个不同的数字， 若，则有7种；若，则有7种；依此类推， 可得样本空间的个数为56个． 又因为满足的基本事件有（1，3），（3，1），（2，4），（4，2），（3，5），（5，3），（4，6），（6，4），（5，7），（7，5），（6，8），（8，6），共12个样本点， 根据古典概率知识得： （2）用表示“、均为奇数”的事件， 若，则有3种；若，则有3种；依此类推， 可知事件包含12个样本点， 用表示“均为偶数”的事件， 同上可知，事件也包含12个样本点， 又从个数字中任取两个数字标签贴在、顶点的样本空间有56个样本点， 根据古典概率知识得：， 记“为偶数”为事件，则， 故； （3）如图，取边的中点，连结， 因为、均是边长为的正三角形， 所以， 因平面，因此平面， 因平面，则，从而是二面角的平面角， 又，则， 在中利用正弦定理得，则， 同理在中利用正弦定理得，， 当二面角的平面角大于时，，则， 则， 当时，，则可取3，4，5，6，7，8共六个值； 当时，，则可取6，7，8共三个值； 当时，，则不存在， 从个数字中任取两个数字标签贴在顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角的平面角大于的样本点有9个，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $