精品解析：陕西师范大学附属中学2025-2026学年高三第五次模考数学试题

陕西师大附中2025—2026学年度高三年级 第五次模考数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数纯虚数，则实数（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列方程求即可. 【详解】∵复数为纯虚数， ，， . 故选：B. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以或. 3. 已知和为非零向量，且，与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积的定义和运算律可得方程，求得，由此可得结论. 【详解】，， 即，解得：，， 即与的夹角为. 故选：C. 4. 若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】分为偶数和为奇数两种情况，分析二项式系数最大的项，结合题意求出的可能值. 【详解】当为偶数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项， 令，得； 当为奇数时，的展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 令，得； 令，得. 所以结合选项可知的值不可能是. 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（ ）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆台的体积公式求得天池盆的体积，即可求得盆中积水的体积，根据平地降雨量的含义即可求得答案. 【详解】由题意可知天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸， 则天池盆体积为（立方寸） 故盆中积水体积为（立方寸）， 故平地降雨量约为（寸）， 故选：C 6. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为 A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题可知，， 因此 ，故选B． 考点：圆锥曲线综合题． 7. 已知，函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得，，从而利用即可求解. 【详解】解：令，，则或， 令，，则， 又，， 所以，，，， 因为，， 所以，， 所以， 故选：B. 8. 已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】变换得到，，构造函数，确定函数单调递增，得到，化简得到答案. 【详解】，故，，即； ，故，即. 设，，，函数单调递增， ，故，即， 整理得到，即. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某学校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人，学校希望获得全体学生的身高信息，按比例分层抽取了容量为50的样本.经计算，男生样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为.下列说法中正确的是（ ） A. 男生应当抽取30人 B. 每个女生被抽到的概率均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 【答案】AC 【解析】 【分析】由分层抽样可判断A；根据被抽到的概率等于抽样比可判断B；利用均值、方差公式，结合男、女的样本的均值和方差求样本总体均值方差判断C、D. 【详解】对于A：抽样比为，所以男生应当抽取人，故A正确； 对于B：每个女生被抽到的概率等于抽样比，故B错误； 对于C：由分层抽样知，样本中男生有人，女生有人， 所有的样本均值为：，故C正确； 对于D：设男生样本为，女生样本为， 男生方差，女生方差， ，， 所有样本的方差 ，故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 满足为直角三角形的点有且仅有2个 B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C. 若在直线上的射影为，则 D. 若直线的倾斜角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线和圆的交点个数判断A，分斜率是否存在设直线联立方程组应用判别式判断B，数形结合根据三点共线判断距离和的最小值判断C，设直线联立方程组结合焦半径公式计算判断D. 【详解】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误； 对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得， 当时，方程为，此时直线与抛物线只有一个交点； 当时，则，解得. 综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确; 对于C，如图所示，抛物线的焦点为， 当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确； 对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得，解得， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是抛物线定义，距离和的转化是解题的关键，的判断关键也是定义的应用. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数研究函数单调性，可以依据导函数的正负情况判断；函数的极值，即判断导函数是否有变号的零点. 【详解】对于选项A，当时，， 则， 当时，， 当时，则， 故当时，，故函数在上单调递增.故A正确； 对于选项B，当时，， 令=0，即， 而，， ， 故的函数图象在上有两个不同的交点， 如图： 可知，则函数在上有2个极值点.故B正确； 对于选项C，，使得函数在上递增，在上递减， 则函数在取最大值， 由为指数型函数在上不存在最大值，为有界函数， 故没有最大值.故C错误； 对于选项D，函数在上单调递增， 则恒成立，故在上恒成立， 若即或（）时，， 若，则， 则， 其中， 令，则， 令，则，得，. 当时，，时，， 故在为增函数， 在为减函数， 故的极大值为，其中， 诸极大值中最大值为，故即的最小值为.故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化简题干条件可得，进而结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，对于， 由正弦定理得， 即， 由余弦定理得， 又，所以. ，故. 13. 已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 【答案】 【解析】 【分析】分析出数列前项由的前项和的前项组成即可求解. 【详解】由题可得集合，是正奇数集，通项为， 集合，是的整数次幂集，通项为， 由于集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为， 则数列前项由的前项和的前项组成； 则 14. 在棱长为1的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为______. 【答案】 【解析】 【分析】当小球的半径最大时，8个角上的球都与正方体的3个面相切，且它们均与中间的1个球相切，根据圆心距列方程求解，几何法或向量法求解均可. 【详解】当小球的半径最大，设为r时，8个角上的球都与正方体的3个面相切，且它们均与中间的1个球相切， 由正方体和球的对称性可知，这些球心在正方体的对角线上. 方法一：设对角面上5个球的球心分别为，作出对角面，如图， 则球与的交点，即为球与底面的切点， 所以，所以， 所以，因为正方体的棱长为1，所以， 所以，解得，同理， 又，即，解得. 方法二：以A为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 设角A处小球的球心为，中间小球的球心为，则， 由球与球相切可知，即，解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数m，n的值； （2）记曲线在点处的切线为l，若直线l经过点，求b的最大值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，1和2是方程的两个根，由韦达定理得到方程组，求出，，检验后得到答案； （2）得到切线方程，令，可得．设，求导，得到的单调性，从而求出函数的最大值，得到b的最大值． 【小问1详解】 的定义域为， 依题意，得， 由题意知，1和2是方程的两个根， 则解得 检验，，时，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 故1为极大值点，2为极小值点，故，； 【小问2详解】 由（1）可知，，， 所以直线l的方程为， 令，可得． 设，则，， 令，可得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以时，，即b取得最大值，为． 16. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 等腰梯形中，，则， 则，所以，．又， 由，得到， 又，平面， 因此平面，又因为平面， 故平面平面 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直判定定理即可证得平面平面； （2） 法一，先确定出直线与平面所成的角，再求得的值即可求得的值；法二，建立空间直角坐标系，依据题给条件列出关于的方程即可求得的值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）知平面，面，则面面． 作于点，则有面． 则即为直线与面所成角， 在直角三角形中，由，，得到 由，可得，又，所以存在． 方法二：过点作平面于， 以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立如图所示空间直角坐标系． 其中 得到， 设平面的一个法向量为 由，得， 不妨设，则，，则， 又， 则， 解之得（舍去）或，所以 17. 2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1） （2）该顾客选择第二种抽奖方案更合算，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求出顾客享受到免单优惠的概率，再根据独立事件的概率乘法公式求解即可. （2）结合离散型随机变量及二项分布的期望公式分别求出方案一、方案二的数学期望，比较即可. 【小问1详解】 选择方案一若享受到免单优惠，则需摸出2个红球和1个白球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则. 所以两位顾客均享受免单优惠的概率为. 【小问2详解】 若选择方案一，设实际付款金额为，则的可能取值为0，500，700，1000. ，， ，. 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则. 由题意知，，故. 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第二种抽奖方案更合算. 18. 已知函数定义在区间内，时，恒有. （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性的定义即可证明； （2）（i）根据得到，进而得到是等比数列，从而得到数列的通项公式； （ii）再利用错位相减法得到．代入恒成立求解. 【小问1详解】 证明：由题意知的定义域为，关于原点对称．且， 令，则，故． 再令，则， 所以，故为奇函数． 【小问2详解】 （i）由题意得， 又， 所以，即， 所以， 故是首项为，公比为2的等比数列， 所以； （ii）因为， 所以， 所以， 两式相减得， 所以． 所以对恒成立， 即恒成立，即恒成立． 设，则， 所以数列单调递增． 当n为奇数时，，当时，有最大值，故； 当n为偶数时，，当时，有最小值，故． 综上，的取值范围是． 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，直线交曲线于，两点，点在轴上方，点在轴下方，直线与交于点.平面内是否存在一个定点，使得当变化时，始终为等腰三角形； （3）在（2）的条件下，已知点，点，分别为线段，的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，记和的面积分别为，，则当时，求面积的取值范围. 【答案】（1）； （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】第一问考查直接法求轨迹方程；第二问利用设而不求，整体代入消参得点在定直线上运动是关键；第三问需要把已知条件转化为，得坐标关系，表示三角形面积是关键.分析片段 【小问1详解】 由题意：，化简得，所以动点的轨迹方程; 【小问2详解】 设，，联立，代入化简整理得：，， 由根与系数关系得：，， 直线：，直线：，联立，消得，把，代入，得， 解得，则，所以点的横坐标为定值，即点在定直线上， 只需找出关于定直线的对称点，即可保证始终为等腰三角形， 由关于定直线的对称点为那么所求点的坐标即为; 【小问3详解】 由点，分别为线段，的中点，为的中点， 直线交直线于点，直线交直线于点， 则，分别为,的重心，所以， ， 由，得， 而，，所以 即,可得，由，得， 由，即，随着的增大，即也增大， 从而也增大，变小，变大，点的纵坐标变大，横坐标变小， 从而直线斜率变大，点的纵坐标变大， 所以当时，即，，时， 的面积取最大值， 当时，联立，，即，，时， 的面积取最小值， 面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2025—2026学年度高三年级 第五次模考数学试题 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 复数纯虚数，则实数（ ）. A. 0 B. C. 1 D. 2 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. 已知和为非零向量，且，与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 若的展开式中第7项的二项式系数最大，则的值不可能是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水体积为盆体积的一半，则平地降雨量约是（ ）寸.（结果四舍五入取整数）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为 A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 7. 已知，函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b满足，，其中e是自然对数的底数，则ab的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 某学校高一年级有500名学生，其中男生300人，女生200人，学校希望获得全体学生的身高信息，按比例分层抽取了容量为50的样本.经计算，男生样本均值为170cm，方差为；女生身高样本均值为160cm，方差为.下列说法中正确的是（ ） A. 男生应当抽取30人 B. 每个女生被抽到的概率均为 C. 所有样本的均值为166cm D. 所有样本的方差为 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 满足为直角三角形的点有且仅有2个 B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C. 若在直线上的射影为，则 D. 若直线的倾斜角为，则 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上单调递增 B. 若，则函数在上有2个极值点 C. ，使得函数在上单调递增，在上单调递减 D. 若函数在上单调递增，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，则______. 13. 已知集合，，集合，将集合中的所有元素从小到大依次排列为一个数列，记为，是数列的前项和，则______. 14. 在棱长为1的正方体内放入9个半径相等的小球，8个角各放1个，中间放1个，则小球半径最大为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的极值点分别为1和2． （1）求实数m，n的值； （2）记曲线在点处的切线为l，若直线l经过点，求b的最大值． 16. 已知四棱锥中，四边形为等腰梯形，，，，，为等边三角形． （1）求证：平面平面； （2）是否存在一点，满足，使直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 2026年春节假期期间，某百货商场举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元（含600元）均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种，每位顾客抽奖结果相互独立. 方案一：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球.其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球，则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折. 方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球（其中红球3个，黑球7个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元. （1）若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满1000元，试从付款金额期望的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18. 已知函数定义在区间内，时，恒有. （1）证明：为奇函数； （2）若数列满足，，. （i）证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； （ii）设，若对恒成立，求的取值范围. 19. 在平面直角坐标系中，已知点，，，动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数. （1）求动点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，直线交曲线于，两点，点在轴上方，点在轴下方，直线与交于点.平面内是否存在一个定点，使得当变化时，始终为等腰三角形； （3）在（2）的条件下，已知点，点，分别为线段，的中点，直线交直线于点，直线交直线于点，记和的面积分别为，，则当时，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $