陕西镇安中学2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

000000000 ● 88 ● ● ● ● ● 数学 oo ● oo 0 注意事项： ●● 88888 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 000000.0O 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需 学 校 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效， 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理：试卷不回收， 0 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 姓 名 目要求的. 杯 布 1.(2+i)(1-i)= A.3+i B.3-i C.1+3i D.1-3i 0 2.若集合A={xy=lnx},B={-3,-2,0,1,4},则A∩B= 班 级 A.{1 B.{1,4} C.{0,1,4 D.{-3,-2,0,1,4 3.如图，在△ABC中，点M是△ABC的重心，若BM=AB+uBC,则A+μ= A.-1 B. c号 D.1 D M 考 4.已知等差数列{an}的公差d>0,若a5a6=28,a2+a,=11,则公差d等于 号 A.4 B.3 C.2 D.1 (第3题图) 翻 御 5.已知2cos(m-a)=cos(受+a),且an(a-p)=3,则1amB的值为 A.7 B.-7 C.-1 D.1 试 场 0 6.规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P(单位： mg/L)与过滤时间t(单位：h)之间的函数关系式为：P(t)=P。e“(e为自然对数的底数，P。为污 染物的初始含量)，过滤2h后检测，发现污染物的含量为原来的6，要使污染物的含量不超过初 25 ●● 始含量的， ,则至少需要过滤（参考数据：lg2≈0.3）》 100 A.20h B.10h C.40h D.30h ● 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=bcos A,b=6,则△ABC面积的最大值为 ● ● A.9 B.18 C.18 D.6 ● 1-(共4页) ● ●● 8.如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的 几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为 A.42m B.22m 9 3 C n智 (第8题图) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的 选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩X~ N(70,100),则下列说法正确的是 参考数据：若随机变量专~N(u,2),则P(u-0≤≤μ+σ)≈0.6827，P(μ-2o≤≤μ+2o)≈0.9545， P(u-3σ≤5≤u+3o）≈0.9973. A.E(X)=70 B.D(X)=100 C.P(X<60)=P(X≥90) D.P(X≥60)<0.85 0.已知双曲线C1(b>0)的右焦点为P,直线1：x+y=0为双曲线C的一条渐近线，P为直 线1上一点，则下列命题为真命题的有 A.双曲线C的虚轴长为22 B.双曲线C的离心率为6 C.|PF的最小值为2 D.直线PF的斜率不可能为- 2 I1.已知函数x)和g()都是定义在R上的奇函数，且g(x)为单调函数，g(x)=(©-e) ,若对 6 任意xeR,都有g((x)-x)=m(m为常数)，则 A.m=0 B.f(x)在R上是增函数 C.g(2)>g(1) D.函数y=f(x)-x3是周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.在(2-x)5的展开式中，x3的系数为 13.若圆C:x2+y2-6x-2y+1=0上恰有三个点到直线l:kx-y=0的距离为2，则实数k的一个取值 为 14.若三个非零且互不相等的实数1，，名成等差数列且满足上+上=2，则称1，，、成一个“公 x1 x2 X3 等差数列”.已知集合M={x|x|≤2026，x∈Z},则由集合M中的三个元素组成的所有数列 中，“α等差数列”的个数为 2-(共4页) 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)》 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术，并迅 速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用A!技术辅助教学的情 况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并 将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为 不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表. 是否喜欢使用AI技术 年龄 合计 喜欢 不喜欢 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 (1)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄 有关； (2)现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求 此人年龄不超过45岁的概率 n(ad-bc)2 附X=(atb)(c+a+e)(6+d其中n=ab+ctd a 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}的前n项和S,满足Sn=2an-1,neN. (1)求数列{an}的通项公式： (2)记b,=n+1,求数列{6，}的前n项和T a 3-(共4页) 17.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=msinx+(1-m)cosx,m∈R (1)当m=之时，解方程x)=0: (2)若函数f八)在(0，受)上有唯一的极值点，求m的取值范围，并判断这个极值点是极大值点 还是极小值点， 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形，满足AD∥BC,M为棱BP 的中点，AM∥平面CDP,且AB=AP=AD=1. (1)求证：BC=2AD; 燕 (2)求二面角C-PB-A的余弦值 蠕 球 (第18题图) 世 哦 0 19.(本小题满分17分)》 已知椭圆C+1(a>b>0)和抛物线C:2w(p>0),在G,G,上各取两个点，这四个点 学 的壁标为2，，(-2,0)，，(-44. 0 (1)求椭圆C,抛物线C2的方程； (2)若直线l过椭圆C,的左焦点F,与椭圆C,交于A,B两点，设点A关于x轴的对称点为C, 直线BC与x轴交于点D,当△DAF的面积最大时，求直线l的方程； (3)设M是抛物线C,在第一象限上的点，抛物线C2在点M处的切线'与椭圆C,交于P,Q两 点，线段PQ的中点为N,过原点O的直线ON与过点M且垂直于x轴的直线交于点R证明：点 R在定直线上 $ 4-(共4页) 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.B2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分；有选错的得0分 9.ABD 10.AD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.-40 13.子（或0） 14.1012 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)零假设H。:该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关， 计算X=120x46x28-32x14)-280≈7.18>6.635， 78×42×60×60 39 依据小概率值α=0.01的独立性检验，推断H。不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用A技术与年龄有关.…(6分) (2)设事件A为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用AI技术的教师， 事件B为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄不超过45岁， 由题意，P(A)=0P(AB)=0 78 46 46 则P(BA)=P4B)120_23 (13分) P(A)78391 120 16.解：(1)当n=1时，S1=2a1-1,解得a1=1, 当n≥2时， S,=2an-1 →an=2an-2an-1→an=2am-1, Sn-1=2an-1-1 所以数列{a.是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以数列{an}的通项公式为an=2-.… (7分) (2)由(1)可得b.=n+1_-n+! 02-1, ·7n=2+3+4 22++1 2-1, 2m-128, 两武相减得号。=2++之克t,是n13-+3 212223 2n-12n 2 ..T=6-n+3 21 (15分) 17解：(1当m=时到分n+宁=受n(e+. 答案-1（共3页） 令)=0，得号(+7)=0，即n(+平)-0， “+年=m,keZ,解得x=km平kEZ, 故方程尺=0的解集为{k=m牙，keZ (6分) (2)由题意得f'(x)=mcos x-(1-m)sinx=m(sinx+cosx)-sinx, inx一）， 在区间(0,7)上，simx+cosx>0,f"()=(sinx+cosx)(minx+os 令g(x)Finx+cosX sinx—,则g'(x)= 1 (sin +cos>, “g(x)在(0,2)上单调递增，且g(x)e(0,1), 若函数yx)在(0,2)上有唯一的极值点，则∫'(x)=0在该区间有唯一解， 即m=g(x)有唯一解，故m的取值范围为(0,1)，… (12分) 设x。为该极值点， 则当x∈(0，xo)时，g(x)<mf'(x)>0,f(x)单调递增； 当xe(,)时，g(x)>mf'(x)<0,x)单调递减， 所以这个极值点为极大值点。…。 (15分) 18.解：(1)取棱PC的中点N,连接MW,ND, 因为M为BP的中点，所以MN=LBC,MN∥BC, 2 因为AD∥BC,所以AD∥MN,所以M,N,D,A四点共面. 因为AM∥平面CDP,平面MNDA∩平面CDP=DN,所以AM∥DN, 所以四边形MNDA为平行四边形， 所以MN=AD,所以BC=2AD. (8分) (2)连接AC,底面ABCD是一个等腰梯形，AD∥BC,BC=2AD,AB=AP=AD=1, .∠ABC=60°，AC=√5，则AC2+AB2=BC2, ∴.∠BAC=90°，即AB⊥AC, 又PA⊥平面ABCD,·AP,AB,AC两两垂直， 故建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),P(0,0,1),C(0,3,0),B(1,0,0), .B元=(-1,5,0)，P=(1,0,-1),4元=(0,3,0)， （n.B元=0n-x+3y=0 设平面P8C的法向量为A=(k,y,则n·成-0即=0 ,即{ 令x=√5，则y=1,z=√3，∴.n=(5,1,3), 由题知，A元=(0,5,0)为平面PAB的一个法向量，cos<A元，n>= A花.n-万 A花1.n7 由图可知，二面角C-PB-A的平面角为锐角， 故二面角C-PB-A的余弦值为7 (17分) 答案-2（共3页） 19.解：(1)抛物线C2:x2=2py满足x2与y成正比，将四个点代入验证： 点(2,1)和(-4,4)满足22=4=2p·1,(-4)2=16=2p·4,得p=2, 故抛物线C2:x2=4y;…(3分) 利余两点(-万，0).(1，号)在椭图C上， 将(-2,0)代人得-2）=1→a2=2,再代人1,2得1( a 262 -=1→b2=1, 故椭圆C少…《⑤分】 (2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则C(x1,-y1),由题意可知直线1的斜率存在，F(-1,0), 设直线l的方程为：y=k(x+1), (y=k(x+1), 由{x2 (2+y=1, 得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,此时△>0， 所以名+=-，4然 1+2k2,x2 2k2-2 1+2k2, 由直线BC的方程：y%-(x-),得y=2出x2+4 x2-x1 x2-x1x2一1 42-442 令y=0,则x=2t_2k+h(xt)_241+(xt)_1+2k1+2 2、4k2 =-2, y2+y1k(x1+x2)+2k（x1+x2)+2 1+2k2 所以D(-2,0),此时Sw=2|DF1·x=2x, 所以当|y1最大时，△DAF的面积最大，而|y1lmm=1,即A(0,±1)， 所以当△DAF的面积最大时，直线l的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0.…（11分) （3)设点Mm,学(m>0),由=4y得y子， 所以切线'的方程为：？=(x-m)月 设P(x3,y3),Q(x4,y4）, 由 2y=1, 得(m+2-nm学4=0， +2得wm 由4>0，年+，=m -m2 2幸2)，代人×公=受xm,得y=2（2) 所以kw==-,所以lowy=-1。 XN m m (x=m 由 1得：y=-1, y=- m 所以点R在定直线y=-1上.…(17分) 答案-3（共3页）