精品解析：吉林长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

汽开三中2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（ ） A. 是不可能事件 B. A，B是互斥事件 C. 是必然事件 D. B，C是对立事件 【答案】D 【解析】 【分析】1 号卡片只能分给甲、乙、丙中的一个人，因此事件 A、B、C 之间存在明确的互斥关系，我们可以据此逐一判断每个选项的正误. 【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此 是不可能事件，A正确. B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确. C选项： 表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确. D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 3. 对于一组数据，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为5，方差为2 B. 中位数为5，方差为 C. 众数为6，标准差为 D. 极差为3，方差为3 【答案】B 【解析】 【分析】由给定数据，结合平均数、方差、中位数、众数、极差的定义求对应值，判断各项的正误. 【详解】由题设，数据平均数为， 方差为， 标准差为，中位数为5，极差为，众数为6. 故选；B 4. 如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用线段比例转化向量，再统一向量基底，最后根据“三点共线时，向量分解的系数和为1”的性质求解即可. 【详解】， ， ， ， ， 是线段上一点， 三点共线， ， 解得. 故选A. 5. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由计算得到，再结合投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由，可得，即，解得：. 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：D. 6. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为，列举出所有情况，和至少有一个在八月的情况，从而求出概率. 【详解】设立秋、处暑、白露、秋分四个节气分别为， 4个节气中任选2个节气，有以下情况，， 共6种情况， 其中这2个节气至少有一个在八月的情况有， 共5种情况，所以这2个节气至少有一个在八月的概率为. 故选：C 7. 若复数，则下列选项正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. 的共轭复数为 C. 为正数 D. 【答案】D 【解析】 【详解】 . 选项A. 在复平面内对应的点位于第四象限，A错误； 选项B.，B错误； 选项C. ， 因此 ，是负数，C错误； 选项D.，D正确. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到，再结合为内心，得到，即可求解. 【详解】由题意可得． 又因为为三角形内心时，，，， 所以． 故可设，，，， 故三角形为直角三角形．为直角边，为斜边， 由三角形面积 得，又． 故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，判断出与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确；B选项，，由模长公式进行求解；C选项，计算出，；D选项，由夹角余弦公式进行求解. 【详解】A选项，，， 故与不平行，所以与可以作为所在平面的一组基底，A正确； B选项，，故，B错误； C选项，， 所以，故，C正确； D选项，，D错误. 故选：AC 10. 下列说法正确的有（ ） A. 数据的分位数是23 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据百分位数的求法按步骤求解即可；对于B，明确事件，根据古典概型即可求解；对于C，根据对立事件的定义判断即可；对于D，根据平均数与方差的性质可判断. 【详解】对于A，将按从小到大的顺序排列为，因为，所以分位数是第7和第8个数据的平均数，即，故A错误； 对于B，由题意知事件“向上的点数为奇数或4”，所以，故B正确； 对于C，从中任选2名同学参加演讲比赛，有“两名男生”“一名男生一名女生”“全是女生”三种情况，而“至少一名男生”包含“两名男生”“一名男生一名女生”，所以“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件，故C正确； 对于D，根据平均数与方差的性质可知，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：BCD. 11. 如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（ ） A. B. 之间的距离为海里 C. 之间的距离为海里 D. 两岛间的距离为海里 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角形的内角求得判定A；利用正弦定理求得判定B；利用等腰直角三角形性质求得判定C；利用余弦定理求得AB判定D. 【详解】由题意可知，，，，， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得，得 (海里)，故B正确； 在中，因为，，所以 (海里)，故C错误； 在中，， 由余弦定理 (海里)，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义直接计算. 【详解】由分层抽样可得应从书法类兴趣小组抽取人， 故答案为：. 13. 衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】设，，，，，， 则全班学生成绩的平均数为， 全班学生成绩的方差为， 故答案为： 14. 设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果； 【详解】设，因为即， 所以的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 所以， 其表示上述圆上的点到的距离， 所以其最大值为圆心到的距离加半径， 所以最大值为； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. （1）求的值； （2）求恰有一人通过体能测试的概率； （3）求至少有一人通过体能测试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． 【小问2详解】 记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. 【小问3详解】 记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 16. 已知． （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接将展开计算即可； （2）利用展开计算即可； （3）存在实数使，列方程求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以，又， 所以与的夹角为； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 因为， 所以存在实数使，所以， 解得. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）由面积公式求出，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， ∴， ∴， 在中，，得， ，， ，. 【小问2详解】 ，又， ，所以，得， 又∵，∴或， 由余弦定理得， 所以. 18. 近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： （1）求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； （2）根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； （3）学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 【答案】（1），平均数为73； （2）87.5； （3）. 【解析】 【分析】（1）由频率求出，利用频率分布直方图各小矩形面积和求出，再估计平均数. （2）利用第85百分位数的意义，结合频率分布直方图列式求解. （3）求出给定两组的人数，再利用列举法求出概率. 【小问1详解】 由成绩在的频数是30，得成绩在的频率为，则， 由，得， 这100名学生成绩的平均数为. 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本数据在的频率为， 在的频率为，则样本数据的第85百分位数， 由，解得， 所以样本数据的第85百分位数为87.5. 【小问3详解】 竞赛成绩在和的频率分别为0.3和0.2，则按分层抽样抽取5人中， 成绩在中的有人，记为，成绩在中的有2人，记为， 从这5人中随机抽取2人的样本空间，共10个， 这2人来自不同组的事件，共6个， 所以所求概率. 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为BC中点，的面积为，求AD的长度； （3）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由正弦定理边化角，再由两角和与差的正弦公式即可分析求解； （2）先由和余弦定理求出、，再由两边平方即可计算求解； （3）先由正弦定理边化角，再结合三角恒等变换公式得到，再由三角函数性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理可得， 因为， 所以， 因为，则，故，即， 所以，而，则， 故，解得； 【小问2详解】 由，可得， 又由余弦定理可得，即， 则， 因为为边的中点，所以，即， 所以 ， 故； 【小问3详解】 根据正弦定理得， 所以，， 可得 ， 由为锐角三角形可得，解得， 所以，可得，， 所以的周长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2025-2026学年度第二学期期中试卷 高一数学 注意事项： 试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页，总分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（ ） A. 是不可能事件 B. A，B是互斥事件 C. 是必然事件 D. B，C是对立事件 3. 对于一组数据，下列结论正确的是（ ） A. 平均数为5，方差为2 B. 中位数为5，方差为 C. 众数为6，标准差为 D. 极差为3，方差为3 4. 如图，在中，，P是上一点，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如八月有立秋、处暑，九月有白露、秋分.现从立秋、处暑、白露、秋分这4个节气中任选2个节气，则这2个节气至少有一个在八月的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 若复数，则下列选项正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第二象限 B. 的共轭复数为 C. 为正数 D. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．已知O是的内心，且．设的内切圆半径为，外接圆半径为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知向量，则下列结论中正确的是（ ） A. 与可以作为所在平面的一组基底 B. C. D. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 数据的分位数是23 B. 抛掷一颗质地均匀的骰子一次，事件“向上的点数为1或4”，事件“向上的点数是奇数”，则 C. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件 D. 数据的平均数为2，方差为3，则数据的平均数为11，方差为27 11. 如图所示，为了测量两岛的距离，小明在D处观测，分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶30海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则下列结论正确的是（ ） A. B. 之间的距离为海里 C. 之间的距离为海里 D. 两岛间的距离为海里 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校书法类､公益类､音乐类兴趣小组的报名人数分别为，，.根据兴趣小组的报名人数，采用按比例分层随机抽样的方法，从这些报名的学生中抽取人作为兴趣小组策划人员，则应从书法类兴趣小组抽取__________人. 13. 衡阳市一中高一某班45名学生成立了A、B两个数学兴趣小组，A组25人，B组20人，经过一个月的强化培训后进行了一次测试，在该次测试中，A组的平均成绩为82分，方差为8，B组的平均成绩为86.5分，方差为2，则在这次测试中全班学生成绩的方差为________. 14. 设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. （1）求的值； （2）求恰有一人通过体能测试的概率； （3）求至少有一人通过体能测试的概率． 16. 已知． （1）求与的夹角； （2）求； （3）若，求实数k的值． 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知. （1）求角； （2）若的面积，，求边的大小. 18. 近日，“滇超”联赛（云南省城市足球联赛）正如火如荼进行．某校团委组织了一次“足球知识问答”竞赛，现从全校参赛的1000名学生中随机抽取了100名统计他们的竞赛成绩（单位：分，满分100分），并绘制了如图所示的频率分布直方图： 已知成绩在的频数是30，则： （1）求图中的值，并估计这100名学生成绩的平均数； （2）根据频率分布直方图，估计样本数据的第85百分位数； （3）学校拟从竞赛成绩在和两组内的学生中，按分层抽样抽取5人进行详细访谈，再从这5人中随机抽取2人进行“全民健身”主题演讲，求这2人来自不同组的概率． 19. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若为BC中点，的面积为，求AD的长度； （3）若为锐角三角形，，求的周长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $