湖南衡阳市衡阳县一中等校2025-2026学年高二下学期3月测评数学试题

高二年级3月测评 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹 签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.在空间直角坐标系Oxyz中，P(1,2,一3)关于y轴的对称点为Q,则Q的坐标为 A.(1,-2,-3) B.(1,2,3) C.(1,3,-2) D.(-1,2,3) 2.直线1：ax+(2a-1)y-1=0与直线l2:x十y-2=0垂直，则a= A号 B.1 C.0 D.-2 1 3.已知数列{a.}满足a1=1一0。a=2,则a0= A.-1 B司 C.2 D.- 4.如图，在三棱锥P-ABC中，E为PA中点，F为BC中点，则EF= A.7PA+7PB+7PC B.-2Pi-2pi+P心 C.-2PA+7PB+7PC D.-zPA+2PB-2PC 5.已知双曲线二一义=1的一条渐近线为y=5x,m=3,则该双曲线的方程是 A-y=1或--1 B-苦-1或号-=1 D.x2-y=1 3 【高二数学第1页（共4页）】 6.已知抛物线C:y=4x,过其焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点，点A在第一象限， 且满足A户=4FB,则直线1的方程为 A.2x-y-2=0 B.x-2y-1=0 C.3.x-4y-3=0 D.4x-3y-4=0 7.已知数列{an}满足an十(-1)+1am+1=2",记{an}的前n项的和为Sn,则S4o= A.21-2 3 B.21+2 D.20-2 3 c 15 8.已知椭圆C后+芳-1a>0,b>0)的左，右焦点分别为F,,椭图C上存在一点P使 ∠PF2F=2∠PFF2,且△FPF2为锐角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 1(9) A(竖) C.(2-1,/3-1) D.(o,号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法中，正确的有 A.直线x-By一1=0的倾斜角为罗 B.直线4：x3y-5=0,直线43x一3y-6=0,则4和，之间的距离为5 C.直线2x一3y一6=0与坐标轴围成的三角形的面积为3 D.直线(m+2)x-(3+m)y+6=0恒过的定点在圆x2+y2=72上 10.已知圆C1:x2+y2=1,C2:(x一4)2+y2=1,下列说法正确的是 A.C,C2是外离的关系 B.P是圆C1上的动点，Q是圆C2上的动点，则PQ∈[2,6] C.已知圆C与C,C2均有交点，则C3的面积的最小值是4π D号。2是G,C的公切线 3 11.已知点列A(xnyn)在函数f(x)=√反上，点列Bn(xn,0)在x轴上，如图所示，以 AnBn|为边长作正方形，依次向右排列，即AnBn=BnBm+1,已知x1=1,数列{yn}的 前n项的和为Sn,则 B A.y2=√2 B.xm十1=xm十Wxm C.Sn=y+1-1 D.S3n 4 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.双曲线-兰=1的右顶点与抛物线=2px(p>0)的焦点重合，则p= 13.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高 窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共层，每 上层的“浮雕像”数量比下层少的个数是定值，记最上层浮雕个数为α1，依次往下每层 的浮雕个数组成数列{an},其前n项的和为Sm,若Sm=90,Sm-1=70,Sm-2=52,则n= 14.如图所示，已知一正四面体P-ABC,P在平面a内，点A,B,C 均在α同侧，A,B,C三点到平面a的距离分别是3,3,4，则正四 面体的边长是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知正项递增数列a.}为等比数列，满足a,十a,=9a2,a,=81,数列6，}满足 bn=10gsan. (1)求{am},{bn}的通项公式； (2)数列{cm}满足cn=anb,求{cn}的前n项的和Sn. 16.(本小题满分15分) 如图，已知正四棱台ABCD-AB,C,D,AB=AB,=2,四棱台的高为2. (1)证明：CC1∥平面AD1B1; (2)求平面BB,C1C与平面ABB1A,夹角的正弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值 λ（入>0，入≠1）的点的轨迹是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆. 已知在平面直角坐标系0中A(台0)，B(2.0),若点P满足路-立记P的轨迹 为圆C. (1)求圆C的方程； (2)已知动点Q(xo,y),y>1,过Q作圆C的两条切线（两条切线的斜率都存在），分别 交x轴于M,N两点，求△QMN的面积的最小值. 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:号+茶-1(。>6>0)，其中焦距与短轴长相等，左右顶点分别为AB,动 直线I:x=t(-a<t<a)与C相交于M,N两点，直线AM,BN的交点为P,P的轨迹 记作C2,当l经过C1的右焦点时，|MN=2. (1)求C1,C2的方程； (2)过A点分别作两条直线11，l2,直线11交C1,C2于D,Q两点（异于点A),直线l2交 C,C2于R,S两点（异于点A),证明：直线DS与直线QR的交点在一定直线上. 19.(本小题满分17分) 已知数列{an}满足a1=2,对于Hn,k∈N*,都有am+1十am+1+.=2(an十am+). (1)证明：a4=4a1十a3； (2)求{an}的通项公式； (3)数列{c,}满足cn=loa,是否存在正整数p,g,r,p<q<r,使得c,GG,成等差数 a 列，若存在，请求出p,q,r;若不存在，请说明理由. 【高二数学第4页（共4页）】 高二年级3月测评·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 5 6 7 8 答案 D A C C B D A 题号 9 10 11 答案 BCD ABD ABC 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案D 【解析】点P(1,2,一3)关于y轴的对称点为(-1,2,3)，故选D. 2.【答案】A 【解析】由4上可知，a十2a-1=0,解得a=了，故选A 3.【答案】C 1 【解析】由a=2,a2=一1，a=之a=2,故{a.}是周期为3的数列，则aw=a=2,故选C 4.【答案】C 【解析】E萨=p亦-p它=之pB+P心-之pA,故选C 5.【答案】B 【解析】若焦点在x轴上，则=5，mn=3,m=1,n=3,则双曲线的方程为x2一兰=1，若焦点在y轴上，Y Vm n=-3,m=-1,则双曲线的方程为兰一x2=1,故选B. 6.【答案】D x=my+1 【解析】设A(x1y),B(x2y2),:F(1,0),设直线I的方程为x=my十1，则 y2-4my-4=0,:A市= y2=4x 4成∴y十4=0，又“y为=-4，为=-1y=4十为=4m=3,m=是l:x=是y十1，即4x-3y-4=0,故 选D. 7.【答案】A 【解析】当n为奇数时，可得a1十a2=2,a十a4=23,a5十aB=2i,…,S0=(a1十a2)十(ag十a1)+…十(a十a0)=21十 2十2+…十2”=2X04=2,2,故选A 1-4 3 8.【答案】C 2c FF, sin(元-38) =sin(0+28) 【解析】设∠PF,F=0,e=2a=pF十PF-sim0计sin20-sin叶sin20 3sin 0-4sin0 4cos20-1 sin 0+2sin 0cos 6 1+2cos 6 =2cos0-1, 因为△RPF,是镜角三角形，放20受0D受→号<<子，故EE-1,w厅-1D.放选C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分 选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解析】A选项，斜率为，倾斜角为三，故A错误： 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 选项，子=5≠一3，故1儿2，Bx一3y-3=0,两直线间离为=3十9=乞，故B正确： B选项， √3+9 C选项，2x-3y-6=0与x轴，y轴的截距为3，-2，故围成三角形的面积为×2×3=3，故C正确： 2x-3y+6=0 D选项，直线(m十2)x一(3十m)y十6=0可以化为2x一3y十6十m(x-y)=0,恒过的定点为 方程组的 x-y=0 解，即为(6,6)点，满足圆的方程x2十y2=72,故D正确.故选BCD. 10.【答案】ABD 【解析】A选项，圆心距是4，两个圆的半径的和为2，故为外离关系，故A正确： B选项，2=d-m1-r≤|PQ|≤d十n十r2=6,故B正确； C选项，圆C与C,C2均有交点，则C的最小直径为d-r一r2=2,面积为π，故C错误； 23 D选项，C,圆心到直线y=5x-25的距离为 3 3 3 =1,C,圆心到直线y=x-25的距离也为1，故y= 3 3 31 2是G,C的公切线，放D正确，放选AD, 11.【答案】ABC 【解析】A选项，将x1=1代入可得y=1,则x2=2,y=2,故A正确； B选项，xn+1一xn=ya,.=√，za+=xm十√，故B正确； C选项，由B知y+1=y2十yn→ym=y片+1一y后，S=y十y2十…十y.=y吃-yi+y一y十…十y+1一y%=y后+1一1，故C 正确； D选项，由C知1=十以→<（十）广→<，十子→<1+子m-1D="m>2<"空. S.≤2=心十3m,故D错误，故选ABC 2 4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】2 【解析】该双曲线的右顶点为(1,0)，则号=1，p=2. 13.【答案】6 【解析】由已知条件可得{a}为等差数列，由等差数列前n项和的性质， 各为等光数列，则有5气-各+吉即 9-9十品解得=5=15当0=15时a=20au=18,得a=一8<0，放=15（会）.故=6. 14.【答案】3√2 【解析】设正四面体的边长为t,设平面a的法向量为n=aPA+bP方十cP亡，由于A,B,C均在同侧，设a,b,c>0,PA· PA·n n =3 [af+2+c2=3n① P成=p成.P心-i.p心=，由题意 PB·n 1 =3→ n a+be+合=3到n@,0+②+@可得arf+e zaf+2e2+ad=4nl③ (at=nl +ct=5n④，故得bt=n,则a:b:c=1:1:3,令a=m,b=m,c=3m,则有|n=√(aPA+bPB+cPC)2 ct2=3n =√mt十mt十9mt十mt十3mt+3mt=3W2mt,代入④得mt十mt十3mt=15v√2mt→t=32,故正四面体 的边长为3√2. 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.【答案1)a,=3,6=n(2)s,=(分-子)31+是 【解析】(1)a+a,= 10 3a2a十a1q=3a1q3g-10g十3=0,9=3，g=3（舍)，…3分 a⅓=@1…3=81，a1=3,……4分 所以an=3”,bn=log3”=n5… ………5分 (2)cn=nX3", Sm=1×3+2×32+…+n×3m①， …6分 3Sm=1X32十2X33+…十nX3m+1②，… …7分 ①一②得， -28.=3+3++-…gl,25.-33"）-m31, 1-3 …10分 25.=-2-(n-2)31,s.=(份-)31+￥ 13分 16.【答案】1)详见解析(2)2 5 【解析】(1)连接AC1交BD于点O,连接AO, ABCD-A1B1CD1为正四棱台，AB=2,AB=4,∴AC∥OC,… 2分 .四边形ABCD和四边形AB1CD为正方形，AC=2W2,AC1=4W2,…4分 AC=OC=2√E,……………5分 四边形ACC1O为平行四边形，AO∥CC,…………6分 :AOC平面ADB,CC寸平面ADB,CC∥平面ADB;…7分 (2)如图所示，设上底面的中心为O,以OA,O1B,OO所在直线分别为x,y,之轴建 立空间直角坐标系， A1(2√2,0,0)，B1(0,22,0),C(-2√2,0,0)，B(0W2,2),……8分 设平面ABBA的法向量为m=(x1y,之)，AB=(-2VE,22,0),BB=(0,N2, -2), [x1一y1=0 则有 ,令y=√2，则m=(2w2,1), 10分 W2y1-2x=0 设平面BBCC的法向量为n=(x2,y,2),BC=(-2√2，-2W2,0), 一x1-y1=0 则有 ,令y2=√2，则n=(-√2W2,1),…12分 V2y2-2x=0 设平面BB:CC与平面ABB1A1的夹角为B, 则|cos|= m·n m 51 …………14分 则-V-(分）-26 5 15分 17.【答案】(1)x2+y2=1(2)2 【解析】(1)设P(x,y),由已知2PA=|PB|, 2√(x-7）)厂+y=x-2y+寸→x2+y=1,… …4分 即圆C的方程为x2十y2=1;…5分 (2)Q(x0,%)(y0>1),设M(x1,0),V(x2,0),…6分 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 设过Q与圆相切的直线为y一y%=k(x一x), 利用点到直线的距离公式必二=1>（后-1）一2k十-1=0.……8分 √+1 由书达定理可得名十4一红产6：一号司 ……………9分 k1,k2分别表示两条切线，2的斜率，故可得x1=xo一 yo ,……10分 则N=-=为老 √(k1十k2)一4k1 2y√6十-1 ………………11分 y6-1 故△QMN的面积表示为Saew=名|MN-可站巨-过 y6-1 y8-1 ,…13分 √6-1 令√6-1=t→y8=+1,t>0, 放5a==什>214分 √-It 当t=1,即yo=√2，x0=0时，等号成立，故△QMN的面积的最小值为2.…15分 18.【答案11C号+苦-1，C号-苦-1x≠士2)(2)详见解析 【解析】(1)对于椭圆G,2c=2b,当1经过右焦点时，MN=2 =2,…1分 a 又d-8+2,解得a=2,6=Ec=巨，故椭圆C的方程为千+兰 2 3分 M (xo,yo),N(xo,-yo),P(x,y), 则子+号=1.AM:=牛2十2》）①，BN:y=2红-2）@，…5分 ①×@得=是-4)， 化简得天一号三1(x≠士2)即为C2的方程；……… (2)设l:x=1y一2，l2:x=2y-2,……9分 「x=my-2 联立 +2n=2m-4 三，解得yn=4m 2y…] (x=my-2 联立 m2,. 22,解得yQ=20=十4 ……11分 观察到：xnxo=4,也=m-2型 %22,……………………“12分 m十2a-24 同理可得欢=2。 m+2=m2=2大4 号-2y …13分 设直线DS的方程为：y=kx十m③， 则有%=十m兴=十婴咨=+ ……14分 4 同理可得：受=+，故QR的直线方程为学=+"平→2)=十mx ④，……………………………… 4 15分 联立③④得， 2kx十2=4k十m.x,x(2k-m)=4k-21x=2,…16分 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 即直线DS与直线QR的交点在x=2上.…………17分 19.【答案】(1)详见解析(2)an=2”(3)存在p=1,q=3,r=4或p=2m-m,g=2m-m十1，r=2m(m≥2，m∈N”) 【解析】(1)令n=1,k=1,则有a2十a3=2(a十a2）①，.a3-a2=2a1,…1分 令n=1,k=2,则有a2十a,=2(a1十a）②，…………2分 ②-①得：a4-@3=2(a3一a2)=4a1……3分 a4=4a1十a;……4分 (2)令k=1,am+1十am+2=2(an十an+1)③，故{an十am+1}是公比为2的等比数列，…5分 令k=2,an+1十Qm+3=2(an十am+2)④，…6分 由③得an+g十a+3=2(a+1十an+2)⑤，……7分 ⑤-④得a+2-an+1=2(an+1-am)⑥，… 8分 ③-⑥得2a+1=4an→am+1=2an,即{an}是公比为2的等比数列，…9分 故an=2"… 10分 (3)假设存在p,g,r,使得cpCg心，成等差数列，……11分 已知6=是，则有多+安-兴， 因为6一G=),所以《6}从第二项开始单调递减，……12分 1 4=2q 1当p=1时，2+2=23 所以经>2，即头>-，且{6.}(m≥2)单调递减，因为=弓4=名n≥46<，所以g=2或g=3。 1 当g=2时则5-士=6，即=2，此时9=，不符合题意，合去。 当g=3时，则安=子=4，故r=4 所以p=1,9=3,r=4符合要求.… …14分 IL.当p≥2时， 当g≥2时，则9≥4，可得号>=8>兴， 所以多十分>多>温，所以号十子-是不成立.15分 当g一p=1时，则5-是多=，所以r=2 令r-p=1,则r=2m. 又因为r≥4，所以m≥2，m∈N”, 所以p=r一m=2m一，q=2m-m十1.…16分 综上，存在p=1,q=3,r=4或p=2m一m,9=2m-m十1，r=2m(m≥2，m∈N*)满足要求.…17分 【高二数学参考答案第5页（共5页）】