河北唐山市第二中学2024-2025学年第二学期期中考试高二数学试卷

唐山二中2024一2025学年第二学期期中考试 高二数学学科试卷 考试时间120分钟 总分150分 出题人：高秀荣 一、单选题 1．已知函数满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导得，令，可得出关于的方程，解之即可. 【详解】因为，则， 所以，，解得. 故选：D. 2．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，，， 所以， 则，所以. 故选：A. 4．的展开式中的系数为（    ） A．10 B．-30 C．-10 D．-20 【答案】C 【分析】根据，再求解中与的项即可. 【详解】由题意，故展开式中的系数为. 故选：C． 5．某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对甲负责的任务数量进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】若甲负责两个任务，则甲还需从、、三个任务中挑选一个任务， 剩余两个任务排给乙、丙两人，此时有种分配方法； 若甲只负责任务，则需将、、三个任务分为两组，再分配给乙、丙两人， 此时，有种不同的分配方法. 由分类加法计数原理可知，不同的分配方法种数为种. 故选：B. 6．若函数单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后令导数小于等于零，分离参数再由基本不等式求解. 【详解】， 由函数单调递减可得恒成立， 又，当且仅当时取等号， 所以实数的取值范围为. 故选：D 7．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 【答案】B 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】解：令，得 ，即 ， 令，得 ， 即 ， 所以 . 故选：B. 8．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【分析】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【详解】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 二、多选题 9．将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 【答案】AC 【分析】对于A：可知头尾为女生，剩下5人全排列，结合排列数分析判断；对于B：利用间接法，先求男生不在头尾且相邻的不同排法，结合选项A分析判断；对于C：高度要求已经固定，现只需选人即可，结合组合数分析判断；对于D：分类讨论甲是否在头尾，结合排列数分析判断. 【详解】对于A：男生不在头尾，则头尾为女生，剩下5人全排列， 所以不同排法有种，故A正确； 对于B：若男生不在头尾且相邻的不同排法有种， 所以男生不在头尾且不相邻的不同排法有种，故B错误； 对于C：因为高度要求已经固定，现只需选人即可， 则左边从剩余6人选择3人即可，所以不同的排法有种，故C正确； 对于D：若甲在头尾，不同排法有种； 若甲不在头尾，不同排法有种； 所以2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有种，故D错误； 故选：AC. 10．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 【答案】ABC 【分析】应用展开式的性质判断A；利用展开式二项式系数的和公式求解判断B；令与，可求得的值判断C；求得中的系数即可计算判断D. 【详解】对于A，二项式展开式一共有6项，A正确； 对于B，在的展开式中，所有二项式系数的和为，故B正确； 对于C，令，可得， 令，可得，所以，故C正确； 对于D，二项式， 则， 令，得，则，故D不正确. 故选：ABC. 11．已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．当时，过点可作曲线的三条切线 【答案】ABD 【分析】利用导数求解极值点即可判断A；根据函数单调性以及极值的正负即可判断B；利用函数对称的性质即可判断C；设出切点，利用导数的几何意义求解切线的方程，结合条件把问题转化为函数图象的交点个数问题，即可判断D. 【详解】对于A，由题知，定义域为，则， 当时，令，得或， 令，得或， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以为极大值点，为极小值点，故A正确； 对于B，当时，当时，；当时，， 且， ， 因为，所以，， 所以，， 所以有三个零点，B正确； 对于C，若点是曲线的对称中心，则满足恒成立， 因为， ， 所以，其值不恒为0，C错误； 对于D，设过点的直线与相切的切点为， 则，且切线斜率为， 故切线的方程为，即， 因为切线过，则， 整理得，即， 构造函数与， 对于函数，， 令，得或2， 令，得或，即该函数在和上单调递增， 令，得，即该函数在上单调递减， 时，函数有极小值；时，函数有极大值， 当时，；当时，， 作出函数与的图象，如图，  因为，所以， 所以函数与图象有三个交点， 即方程有三个解， 即过点可作曲线的三条切线，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为_________． 【答案】 【分析】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以，由题意可求出，所以可求出． 【详解】因为离散型随机变量X服从两点分布，设，所以， 所以，代入有：， 解得：，， 因为离散型随机变量X服从两点分布，所以. 故答案为：. 13．在的展开式中，含的项的系数为_____________． 【答案】5 【分析】由二项式的展开式中项的公式求得结果. 【详解】由题意得， 则含的项为，所以含的项的系数为5． 故答案为：5. 14．已知恒成立，则正数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将原不等式同构为，即，令，分析单调性可得，令利用导数求出最值得解. 【详解】由，可得． 令，易知在上单调递增， 由，可得， 故，即. 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 所以，即， 故正数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．二项式展开式前三项的二项式系数和为22； (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的常数项． 【答案】(1)6 (2) (3)960 【分析】（1）根据前三项的二项式系数和得到方程，求出；（2）在第一问求出的基础上，求出展开式中二项式系数最大的项为第4项，根据通项公式求出答案；（3）根据展开式通项公式得到. 【详解】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22， ∴， ∴， ∴或（舍） 故的值为6 （2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为， ∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即 （3）设展开式中常数项为第项，即， 令，则， ∴， 故展开式中的常数项为第5项，即960 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)将代入函数中，得到函数解析式，再对其求导即可求出在的斜率，再利用点斜式即可求出切线方程. （2）首先对参数a进行讨论，分为和两种情况，再当时求出函数的极小值点为，由极小值小于0，得到，解这个不等式即可求出参数a的取值范围. 【详解】（1）依题意，函数的定义域为， 当时，，则， ， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由题意得，， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意. 当时，令，即，则. 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 所以函数在处取得极小值， 且. 又因为，则等价于， 令， 则，所以函数在上单调递减， 又，所以当时，， 即不等式的解集为， 故实数的取值范围是. 17．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 【答案】(1) (2) (3) 【分析】记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，. （1）分别求出第一次摸出红、黄、绿球的概率，以及第二次从红、黄、绿盒子里摸出红球的条件概率，再由全概率公式得到第二次摸出红球的概率； （2）由条件概率和（1）中的结果计算得出答案； （3）列出所有可能得情况，分别求出发生的概率再求和. 【详解】（1）记红球为1球，黄球为2球，绿球为3球，记事件分别表示第一次、第二次取到球，， 则，， 又由条件概率知，，， 由全概率公式知， （2）如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率为， （3）若小明获得4块月饼可能的情况有三种： ①第一次从红色盒子内抽到红球，第二次从红盒子内抽到绿球，其概率为， ②第一次从红色盒子内抽到绿球，第二次从绿盒子内抽到红球，其概率为， ③第一次从红色盒子内抽到黄球，第二次从黄盒子内抽到黄球，其概率为， 所以小明获得4块月饼的概率是. 18．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 19．已知函数，为的导数． （1）证明：在区间上不存在零点； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）． 【解析】（1）计算，然后从中提出函数，根据通过导数研究单调性，根据的值域，可知，最后可得结果. （2）化简式子，然后使用分离参数的方法，构建新的函数，利用导数研究新函数的单调性，计算新函数的最值并与进行比较，可得结果. 【详解】（1）， 令，则， 当时，，单增； 当时，，单减， ∵，，， 所以在上恒大于， 则在上恒成立， 所以在区间上不存在零点． （2）由， 得， ∵，故， 令，则， 令， 则恒成立， 在上单调递减， ∴， ∴在上恒成立，即在上单减， ∴，∴， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查导数的综合应用，第（1）问中，难点在于从中分离出函数来研究，第（2）问中，难点在于分离参数，且两次使用导数，考验分析能力，属难题. 试卷第12页，共15页 试卷第11页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山二中2024一2025学年第二学期期中考试 高二数学学科试卷 考试时间120分钟 总分150分 出题人：高秀荣 一、单选题 1．已知函数满足，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中的系数为（    ） A．10 B．-30 C．-10 D．-20 5．某校组织校庆活动，由甲、乙、丙三名志愿者负责、、、四个任务，每人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且任务由甲负责，则不同的任务分配方法种数为（    ） A． B． C． D． 6．若函数单调递减，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若，，则（    ） A． B．31 C． D．32 8．在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 二、多选题 9．将2个男生和5个女生排成一排，下列表述正确的有（    ） A．男生不在头尾的不同排法有2400种 B．男生不在头尾且不相邻的不同排法有600种 C．假设这7个学生身高均不相等，最高的人站在中间，从中间到左边和从中间到右边身高都递减，则不同的排法有20种 D．2个男生都不与女生甲相邻的不同排法有24000种 10．在下列关于二项式的命题中，正确的是（   ） A．的展开式中，一共有6项 B．在的展开式中，所有二项式系数的和为64 C．若，则 D．二项式，若，则 11．已知函数，则（    ） A．当时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．当时，过点可作曲线的三条切线 三、填空题 12．已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为_________． 13．在的展开式中，含的项的系数为_____________． 14．已知恒成立，则正数的取值范围为______． 四、解答题 15．二项式展开式前三项的二项式系数和为22； (1)求的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)求展开式中的常数项． 16．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数的极小值小于0，求实数的取值范围. 17．现有红、黄、绿三个不透明盒子，其中红色盒子内装有两个红球、一个黄球和一个绿球；黄色盒子内装有两个红球，两个绿球；绿色盒子内装有两个红球，两个黄球.小明第一次先从红色盒子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同色的盒子中；第二次从该放入球的盒子中随机抽取一个球.记抽到红球获得1块月饼、黄球获得2块月饼、绿球获得3块月饼，小明所获得月饼为两次抽球所获得月饼的总和，求下列事件发生的概率 (1)求第二次抽到红的概率 (2)如果第二次抽到红球，那么它来自黄色盒子的概率 (3)小明获得4块月饼的概率 18．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 19．已知函数，为的导数． （1）证明：在区间上不存在零点； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 试卷第2页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $