精品解析：河北石家庄精英中学2025-2026学年第二学期第二次调研考试高二数学试题

石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第二次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，令，有，可得. 2. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，时，时， 所以不等式的解集为. 故选：A 3. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 【答案】D 【解析】 【详解】7位同学排成一排准备照相时，共有种排法，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则有种排法. 4. 若 的展开式中的系数为，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由. 其中展开式中的系数为， 展开式中项的系数为 则原式展开式中的系数为 ， . 5. 有5个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【详解】给五个座位从左到右编号. 所以两个空位可以为或或或，然后余下个位置个人全排列. 则不同坐法有种. 6. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.“杨辉三角”如图所示，则 （ ） A. 160 B. 165 C. 168 D. 170 【答案】B 【解析】 【详解】由，有. 7. 2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A. 120种 B. 360种 C. 420种 D. 540种 【答案】C 【解析】 【分析】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色，然后对使用的颜色种数进行分类讨论，分别求出方案数，再运用分类加法计数原理求出最后结果. 【详解】要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则涂5块区域至少需要种颜色， 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，相对的直角三角形必同色， 此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则颜色的选法有种，其中一对相对的直角三角形必同色， 余下的两个直角三角形不同色，此时不同的涂色方案有种； 若块区域只用种颜色涂色，则每块直角三角形都不同色，此时不同的涂色方案有种； 综上，不同的涂色方案有：种. 故选：C. 8. 设函数，若，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的单调性以及恒成立得出，，进而得到，令 ，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】因为函数在上均为增函数， 且当时，可得，当时，， 若，则，即，又，则，， 令 ，有， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则 ，即的最大值为1. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段 B. 从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法 C. 将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法 D. 将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，利用组合知识得到答案；B选项，按照选出的女生人数，分三种情况，进行求解，再相加得到答案；C选项，5名工人分为2,2,1或3,1,1，结合部分平均分组的方法求出两种情况下的分配方法，相加得到答案；D选项，采用隔板法进行求解. 【详解】A选项，平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成条线段，A错误； B选项，从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动， 其中选出1名女生，2名男生的选法有种， 选出2名女生，1名男生的选法有种， 选出3名女生的选法有种， 故至少一名女生被选中共有种选法，B正确； C选项，将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人， 故5名工人分为2,2,1或3,1,1， 若5名工人分为2,2,1，则有种分配方法， 若5名工人分为3,1,1，则有种分配方法， 综上，共有种分配方法，C正确； D选项，可考虑隔板法，由于每个盒子至少放1个球， 所以5个相同的小球排成一排，5个小球之间共有4个空，插入2个挡板， 故有种方法，D错误. 故选：BC 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式 的解集为{9， 10， 11} C. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成240个没有重复数字，并且比400000大的正整数 D. 从0，2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7中任取2个数字一共可以组成6336个没有重复数字的五位数 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A：根据组合数计算判断即可；对于B：结合排列数解不等式即可；对于C：由比400000大，则首位是4或5，剩下5个数字全排列即可；对于D：结合分类计数原理及排列组合求解判断即可. 【详解】对于A，由，故A选项正确； 对于B，由可得，解得 ，又由，可得不等式的解集为，故B选项错误； 对于C，最高位是4的时候共有个数，最高位是5的时候，共有个数，可得满足条件的整数有个，故C选项正确； 对于D，这个5位数中没有0，可能组成没有重复数字的5位数的个数为 种；这个5位数中有0，可能组成没有重复数字的5位数的个数为 种，则一共可组成 个没有重复数字的5位数，故D选项正确. 11. 已知函数 ，则（ ） A. 的减区间为，增区间为 B. C. 不等式的解集为 D. 若，则 的最小值为4 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据函数的奇偶性及导数与单调性的关系判断即可；对于B：结合函数的单调性及求解即可；对于C：根据函数的单调性解不等式即可；对于D：求出，结合得到，结合偶函数得到，即，结合基本不等式求解即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 又 ，所以为偶函数. 当时，，则 ，所以函数在区间上单调递增， 又为偶函数，故的减区间为，增区间为， A正确； 对于B，，又的减区间为，增区间为，故有， B正确； 对于C，偶函数的减区间为，增区间为， 则不等式可化为，解得或或， 故不等式的解集为，C错误； 对于D， ，所以. 由，得，又 ，所以， 又为偶函数，且在上为增函数，所以，可得， 所以（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为4，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 【答案】 【解析】 【详解】由分步计数原理可知，不同的选法种数为种. 13. 在 的二项式展开式中，系数最大的项是______.(写出具体的项) 【答案】和 【解析】 【分析】结合二项式展开式通项公式列不等式组求解即可. 【详解】（其中）， 假设第r+1项的系数最大，则，解得， 故系数最大的项是第4项和第5项，分别为和. 14. 对于任意的，恒有，则实数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】转化问题为对于任意的恒成立，结合在上单调递增，可得，令，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】由，则， 即对于任意的恒成立， 由在上单调递增，且 ， 可得 ，即，， 令，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，即，则实数的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 班上每个小组有8名同学，现要从每个小组选3名同学代表本组与其它小组进行辩论赛. （1）每个小组有多少种选法? （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? （3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三辩手，那么每个小组有多少种选法? 【答案】（1）56 （2）168 （3）336 【解析】 【分析】（1）为组合问题，只需从8人中选出3人，不考虑顺序； （2）组合问题结合分步乘法原理，第一步从8人中选出3人，第二步从选出的3人中选1人当替补； （3）为排列问题，可以用先组合，再排列的思路. 【小问1详解】 选法种数为种. 【小问2详解】 选法种数为 种. 【小问3详解】 选法种数为 种. 16. 已知 的展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项. 【答案】（1）6 （2） （3）64，，， 【解析】 【分析】（1）根据二项式展开式通项公式列方程求解即可. （2）由展开式的二项式系数的性质求解即可. （3）根据二项式展开式通项公式求解即可. 【小问1详解】 由（其中） 取，可得第1项的系数为. 取，可得第2项的系数为. 由展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍，得，解得. 故的值为6. 【小问2详解】 由，展开式中共有7项，则第4项的二项式系数最大. 取，可得， 故展开式中二项式系数最大的项为. 【小问3详解】 由（其中） 若求展开式中的有理项，则. 当时， . 取时， . 取时，. 取时，. 展开式中的有理项为64，，，. 17. 4名男生和4名女生排成一排.(用数字作答) （1）如果女生全排在一起，有多少种不同的排法? （2）如果女生都不相邻，有多少种不同的排法? （3）这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 【答案】（1）2880 （2）2880 （3）30960 【解析】 【分析】（1）根据相邻问题捆绑法求解即可； （2）根据不相邻问题插空法求解即可； （3）根据特殊元素法求解即可. 【小问1详解】 （捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样和4个男生合在一起有5个元素，排成一排有种排法， 而其中每一种排法中，4个女生间又有种排法， 因此共有（种）不同排法． 【小问2详解】 （插空法）先排4个男生，有种排法， 这4个男生之间和两端有5个位置，从中选取4个位置排女生，有种排法， 因此共有（种）不同排法． 【小问3详解】 （特殊元素法）当甲排在最右端时，该情况同时满足“甲不站左端”和“乙不站右端”两个条件，此时其余7人全排列，有种； 当甲不在最右边时，由于甲也不能在最左端，所以甲可从余下6个位置中任选一个，有种， 而乙不能在最右端，也不能在甲已选位置，所以乙有6个位置可选，有种， 其余人全排列，有种，共有种． 由分类加法计数原理，共有（种） 18. 已知函数. （1）讨论单调性 （2）当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】（1）时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对函数求导并因式分解得，以、、、分四类，比较极值点与的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间. （2）再分别对、、三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到时函数有且仅有一个零点. 【小问1详解】 函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 【小问2详解】 ①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得 .当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在上的单调性； （2）若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）求导后，根据的正负即可确定的单调性； （2）（i）将问题转化为与有两个不同交点，利用导数可求得的单调性，进而得到的图象，采用数形结合的方式可求得的范围； （ii）令，，根据的取值范围可得到的范围，采用比值代换的方式，将问题转化为已知函数的值域，求解定义域的问题. 【小问1详解】 当时，，， 令，则， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，，又， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （i）由题意知：， 存在两个极值点，存在两个变号零点， 令，即，显然不是方程的根， 有两个不等实根， 设，则与有两个不同交点， ，当时，；当时，； 当时，；当从负方向趋近时，； 当从正方向趋近时，；当时，；； 由此可得图象如下图所示， 若与有两个不同交点，则. （ii）由（i）知：，，， 令，，且， 则，， ， 设，则，， ，，， 设，则， 令，则， 令，则， 在上单调递增，， 在上单调递增，，即， 在上单调递增， 又，，， ，即的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点（极值点）个数问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x轴的交点问题； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）分离变量法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄精英中学2025~2026学年第二学期第二次调研考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 3. 某4位同学排成一排准备照相时，又来了3位同学要加入，如果保持原来4位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为（ ） A. 150 B. 160 C. 180 D. 210 4. 若 的展开式中的系数为，则（ ） A. 10 B. 15 C. D. 5. 有5个座位连成一排，安排3个人就座，恰有两个空位相邻的不同坐法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. “杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发起一批又一批数学爱好者的探究欲望.“杨辉三角”如图所示，则 （ ） A. 160 B. 165 C. 168 D. 170 7. 2002年第24届国际数学家大会在北京召开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可供使用，则不同的涂色方案有（    ） A. 120种 B. 360种 C. 420种 D. 540种 8. 设函数，若，，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 平面内有任意三点不共线的6个点，可以组成30条线段 B. 从3名男生，4名女生中选出3名参加一项活动，至少一名女生被选中共有34种选法 C. 将5名工人分配给甲乙丙三个车间，每个车间至少分一名工人，共有150种分配方法 D. 将5个相同的小球，放入编号为1，2，3的盒子中，每个盒子至少放1个球共有25种放法 10. 下列选项正确的是（ ） A. B. 不等式 的解集为{9， 10， 11} C. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成240个没有重复数字，并且比400000大的正整数 D. 从0，2，4，6，8中任取3个数字，从1，3，5，7中任取2个数字一共可以组成6336个没有重复数字的五位数 11. 已知函数 ，则（ ） A. 的减区间为，增区间为 B. C. 不等式的解集为 D. 若，则 的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 书架的第1层放有5本不同的计算机书，第2层放有6本不同的文艺书，第3层放有7本不同的体育书.从书架的第1层，第2层，第3层各取1本书，共有不同的取法种数为_______. 13. 在 的二项式展开式中，系数最大的项是______.(写出具体的项) 14. 对于任意的，恒有，则实数的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字声明、证明过程及演算步骤. 15. 班上每个小组有8名同学，现要从每个小组选3名同学代表本组与其它小组进行辩论赛. （1）每个小组有多少种选法? （2）如果还要从选出的同学中指定1名作替补，那么每个小组有多少种选法? （3）如果还要将选出的同学分别指定为第一、二、三辩手，那么每个小组有多少种选法? 16. 已知 的展开式中第2项的系数是第1项的系数的倍. （1）求的值； （2）求展开式中二项式系数最大的项； （3）求展开式中的有理项. 17. 4名男生和4名女生排成一排.(用数字作答) （1）如果女生全排在一起，有多少种不同的排法? （2）如果女生都不相邻，有多少种不同的排法? （3）这8名学生中有甲、乙两人，若将他们排成一排，其中甲不站左端，且乙不站右端，有多少种排法? 18. 已知函数. （1）讨论单调性 （2）当时，证明：函数有且仅有一个零点； 19. 已知函数，其中. （1）当时，求在上的单调性； （2）若存在两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $