精品解析：山东济南西城实验中学2025-2026学年高一下学期阶段性学情质量监测数学试题

济南西城实验中学 高一阶段性学情质量监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知是不共线的向量，且，则（） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 3. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 4. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选定在同一水平面上的三处（垂直于平面），如图．已知在处测得该建筑顶部的仰角分别为 是的中点，米，则该建筑的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（ ） A. B. C. D. 8. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台 D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 的内心为，那么 B. 若，则点是的外心 C. 已知，若面积为8，则的面积为16 D. 为的垂心，且，则 11. 在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（ ） A. ＋i B. ＋i C. ＋i D. ＋i 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且有两解，则的取值范围是______． 13. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 14. 如图，在内有一点P满足，称P为的布洛卡点，为布洛卡角，若，，则________，________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当实数为何值时，复数满足下列条件？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 16. 已知两个单位向量与的夹角为，设． （1）求最小值： （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 17. 在中，已知边上的两条中线相交于点 （1）求长 （2）求的余弦值． 18. 在中，内角对应边分别为的面积为，且． （1）求角的大小； （2）设点是线段上靠近的三等分点，，求的面积的最大值． （3）设点是三角形内一点，且，过点作直线分别交（或延长线）于点，求的最大值． 19. 已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的最值； （3）若，，求的面积S的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南西城实验中学 高一阶段性学情质量监测数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将二维码贴在答题卡指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】 . 2. 已知是不共线的向量，且，则（） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加法求出，再观察与的线性关系，得出，两向量成倍数关系即共线，又有公共点，即可判定三点共线，其余选项向量无倍数关系，不满足三点共线条件. 【详解】. 选项A：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项B：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项C：，，不存在实数使等式成立，不共线. 选项D：计算， ，存在，故与共线， 又两向量有公共点，因此三点共线. 3. 已知向量，为单位向量，，则，的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直列方程，由此求得，进而确定正确答案. 【详解】因为，所以 ， 由于， 所以. 4. 某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形，利用三角形和正方形的面积公式，计算即得. 【详解】该几何体的棱长为，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形， 所以该几何体的表面积为， 5. 已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件作图可得为等边三角形，表示出所求投影即可 【详解】 所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径， 如图： 又，所以为等边三角形， ，， 向量在向量上的投影为：． 故投影向量为， 故选：． 6. 某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选定在同一水平面上的三处（垂直于平面），如图．已知在处测得该建筑顶部的仰角分别为是的中点，米，则该建筑的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【详解】平面，在平面内，，，； 在处测得该建筑顶部的仰角分别为， ，，； 设米，则，，； 是的中点，，，； ，即； 由余弦定理得，； ，得，解得； ，，即米. 7. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，则范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理对已知式化简变形可求得，再利用正弦定理表示出，，从而可得，求出的取范围，可求得范围． 【详解】因为 所以由正弦定理得，， 所以， 因为，所以． 因为，所以，， 所以 ． 因为，所以，． 故． 故选：C． 8. 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上运动．若．其中，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，利用平面向量的坐标运算可得出、关于的表达式，利用辅助角公式可求得的最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则点、，设点， 由于，即， 所以，为锐角，且. ，则，当时，取得最大值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B. 等底面积、等高的两个柱体，体积相等 C. 有两个面是平行的相似多边形，其余各面都是梯形的几何体是棱台 D. 用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，菱形的直观图还是菱形 【答案】AB 【解析】 【分析】利用棱柱、棱台的定义，分别进行判断，即可得出结论． 【详解】由直棱柱的定义和性质可知A正确；由柱体体积公式得B正确；如果侧棱延长线不共顶点，也可能不是棱台，C错误；菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，也可能是矩形，D错误． 故选：AB 10. 在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 的内心为，那么 B. 若，则点是的外心 C. 已知，若面积为8，则的面积为16 D. 为的垂心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，延长交于点，根据内心的定义及角平分线性质结合向量运算得，进而得解；对B，取的中点，由向量运算可得，同理取的中点，可得，得解；对C，取的中点，由经向量运算可得，进而可得中边上高与中边上高的比为，即，得解；对D，由条件结合向量运算可得，进而可得，，利用向量夹角公式求得，得解. 【详解】对于A，如图，延长交于点， 因为是的内心，所以由角平分线定理得， ，即，则； 又，所以，则，所以，所以， 所以，设，， 所以， 所以，解得， 所以内心的坐标为，故A正确； 对于B，如图，取的中点，连接，则， 因为，所以，即， 所以，即得，所以，所以， 同理，取的中点，由，可得， 所以点是边，垂直平分线的交点，即是的外心，故B正确； 对于C，如图，取的中点，的中点，连接，，则， 由，得，所以， 所以，即三点共线，且，， 连接交于点，则，所以中边上高与中边上高的比为， 所以，又，所以，故C错误； 对于D，因为是的垂心，所以，即 ，所以， 同理，可得，所以， 设， 由，得， 所以，即，所以， 又由，所以，即，所以， 所以， 又，所以，即， 而，所以，故D正确. 11. 在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（ ） A. ＋i B. ＋i C. ＋i D. ＋i 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，得到对应的复数为，得到对应的复数为或，结合＝＋，即可求解. 【详解】由正的顶点对应的复数为，可得对应的复数为， 则对应的复数为，或， 所以对应的复数为或， 即或. 故选：CD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，且有两解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形有两解的充要条件建立不等式求解. 【详解】如图所示，过点作边上的高，高为， 以为圆心、为半径画弧，要使弧与边（的同侧）有两个交点，需满足： 半径大于高，且小于的长度，即：. 代入得. 13. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出圆弧所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形的面积，求出直角的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设，由题意，，所以， 因为,所以， 因为，所以， 因为与圆弧相切于点，所以， 即为等腰直角三角形； 在直角中，，， 因为，所以， 解得； 等腰直角的面积为； 扇形的面积， 所以阴影部分的面积为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针. 14. 如图，在内有一点P满足，称P为的布洛卡点，为布洛卡角，若，，则________，________. 【答案】 ①. ②. . 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式结合诱导公式可得第一空；由图中角的关系结合两角差的正弦展开式和同角的三角函数以及余弦定理可得第二空. 【详解】，， ，所以， ，，，， ， 所以， 在中，，同理可得， 在中由正弦定理可得，在中，， 所以，① 又，，代入①中， 可得，上下同除并化简可得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 当实数为何值时，复数满足下列条件？ （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【答案】（1） （2）且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数是实数列式计算求参； （2）根据复数是虚数列式计算求参； （3）根据复数是纯虚数列式计算求参. 【小问1详解】 当即时，复数是实数． 【小问2详解】 当，且，即且时，复数是虚数． 【小问3详解】 当即时，复数是纯虚数． 16. 已知两个单位向量与的夹角为，设． （1）求最小值： （2）若与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用模长公式将所求转换为关于的函数的最小值即可； （2）由题意得且与不共线，由此可列出关于的不等式组，从而求解. 【小问1详解】 由题可得， ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由题，可得 ， 若与共线，设， 即， 又向量与不共线，所以，解得，. 当时，与共线反向； 若与的夹角为钝角，则，且， 解得且， 所以的取值范围是. 17. 在中，已知边上的两条中线相交于点 （1）求长 （2）求的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解，进而结合三角形重心性质和余弦定理求解； （2）由余弦定理求解，进而结合余弦定理和三角形重心性质建立关于的关系式求解即可. 【小问1详解】 已知，由余弦定理得： ， 故. 是中线，交点是的重心，重心分中线比为，，延长到点，使，连接： 因为是中点，，，， 所以，得，且. 在中由余弦定理： 故，又，所以. 由重心性质，得：. 【小问2详解】 如图所示，是中点，所以，在中， 已知，由余弦定理得： 故. 由重心性质得：， 又分别是中点，由中位线性质得. 在中，由余弦定理：， 代入数值计算：， ， 所以. 18. 在中，内角对应边分别为的面积为，且． （1）求角的大小； （2）设点是线段上靠近的三等分点，，求的面积的最大值． （3）设点是三角形内一点，且，过点作直线分别交（或延长线）于点，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理及三角形面积公式化简求解. （2）利用数量积的运算律，结合基本不等式求出的最大值，进而求出三角形面积最大值. （3）设，利用正弦定理求出，再利用和差角的正弦化简即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理、三角形面积公式及， 得，则，而， 所以. 【小问2详解】 由点是线段上靠近的三等分点，得，则， 两边平方得，则， 当且仅当时取等号，因此， 所以的面积的最大值为. 【小问3详解】 设，则，则， 在中，由正弦定理得，即， 则， 由，得，且， ， 在中，由正弦定理得，即， 则， 则， 当且仅当，即时取等号，所以取得最大值. 19. 已知内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且. （1）证明：； （2）求的最值； （3）若，，求的面积S的取值范围. 【答案】（1）证明见解析. （2）最小值，无最大值. （3）. 【解析】 【分析】(1)根据和差化积公式的证明构成做答即可. (2)根据半角公式，题干条件化简为余弦,通过两角和差的余弦公式带入解方程,得内角三角函数关系式,带入求得最值. (3)根据正弦面积公式,和正弦定理,将面积公式转化为函数问题,利用对钩函数单调性,求出面积范围. 【小问1详解】 因为， ， 两式相加得，得证. 【小问2详解】 当时，，满足. 令，，故无最大值， 因为 ， ， 则， ， ， 则或， 由，有，则. ①时，，时取等号， ②时， ， 时取等号， 因为，则的最小值是， 综上，有最小值，无最大值. 【小问3详解】 ①时，， 则. ②时， 在中，由正弦定理有，则，， 则， 由函数在上单调递减，有， ∴ 综上，的面积的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $