精品解析：四川南充市2026年春季九年级第二次诊断性考试数学试题

2026年春季九年级第二次诊断性考试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查了名学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图，则这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. －4 7. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，直线分别交，于点D，E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 8. 小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（ ） A. 7瓶 B. 8瓶 C. 9瓶 D. 10瓶 9. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形中，连接．，，且，则小正方形与大正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线与抛物线关于y轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若的一个平方根为，则的值为______． 12. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______． 祖冲之 13. 如图，在中，，过A、B、C三点的与相交于点E，连接，则的度数为______． 14. 已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 15. 如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 16. 如图，为等边三角形，点P为边上一点（不与点B重合），点D为的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，连接并延长交于点F．下列结论：①；②；③点F为的中点；④若，则长度的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中a与b互为倒数． 18. 如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19. 为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校开展了以“劳动淬炼成长，实践创造幸福”为主题的系列劳动教育活动．学校为了解学生每周家务劳动的时间（单位：小时），采用随机抽样的方式获取了若干名学生的数据，整理后得到下列不完整的统计图表： 学生每周家务劳动的时间频数统计表 类别 劳动时间（小时） 频数 类 类 类 类 请根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）表中______，______；扇形统计图中，类所对应扇形的圆心角是______度； （2）已知在类的学生中有名八年级学生，其中有两名男生和两名女生．现从这名学生中随机抽取两人参加学校劳动成果展示活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两名性别相同学生的概率． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式； （2）将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 22. 如图，在中，直径与非直径弦交于点，，点在的延长线上，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 小强坚持体育锻炼，并用软件记录，周日进行了两组运动：第一组：10个深蹲、10个开合跳，共消耗热量11千卡；第二组：20个深蹲、30个开合跳，共消耗热量25千卡． （1）求小强每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量； （2）小强计划进行15分钟的深蹲和开合跳锻炼组合．深蹲用时6秒/个，开合跳用时3秒/个，深蹲个数不超过开合跳个数且不少于开合跳个数一半．设小强做深蹲x个，总消耗热量Q千卡，求Q的最大值； （3）实际上，由于连续做深蹲会导致疲劳，每个深蹲实际消耗的热量与深蹲个数x有关．若每个深蹲消耗的热量为千卡，每个开合跳消耗的热量不变．在（2）的条件下，求小强安排多少个深蹲时总消耗热量Q最大，并求Q的最大值． 24. 如图，在边长为的正方形中，点为边上一点（不与重合），于，交于，延长到点，使，延长交的延长线于． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）如图，连接，当面积最大时，求的值． 25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为抛物线上第二象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图，经过点的直线分别与抛物线在第二、三象限交于，两点，连接、，分别交轴于、两点．探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季九年级第二次诊断性考试 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每个小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂均记0分． 1. 已知：，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相反数的定义解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 2. 如图，将直角三角板绕点B顺时针旋转得，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由旋转可知：， ∵，， ∴， ∴． 3. 某校为了解学生在校体育锻炼的时间情况，随机调查了名学生一周平均每天的锻炼时间，统计结果如图，则这些学生锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由折线统计图可知，锻炼时间为小时的人数最多，有人， ∴众数为， ∵调查的总人数为（人）， ∴中位数是排序后第个和第个数据的平均数， ∵锻炼小时的有人，锻炼小时的有人， ∴第至第个数据均为小时， ∴第个和第个数据均为， ∴中位数为， ∴众数、中位数分别是，． 4. 下列计算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根式运算、零指数幂、同底数幂除法、积的乘方的运算法则，逐一判断即可找出计算错误的选项． 【详解】解：A、，该选项计算错误，故符合题意； B、，该选项计算正确，故不符合题意； C、，该选项计算正确，故不符合题意； D、，该选项计算正确，故不符合题意． 5. 已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用待定系数法先求出电流与电阻的函数关系式为，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， ∵当电阻R为时，电流为， ∴， ∴， ∴电流与电阻的函数关系式为， 当电阻为时，． 6. 已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，则m的值可以是（ ） A. 4 B. 3 C. 0 D. －4 【答案】A 【解析】 【分析】先通过加减消元法解出关于m的表达式，再根据得到m的取值范围，最后判断选项． 【详解】解：解方程组 ∵ 将 得 ，整理得 将 代入，得 整理得 ∵ 方程组的解满足 ∴ 移项得 解得 选项中只有， 故选项A符合题意． 7. 如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，直线分别交，于点D，E，连接．若，，则的长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题涉及了勾股定理，线段垂直平分线的尺规作图与性质，线段中点的定义． 【详解】解：在中， ， ． 由作图可知，是的垂直平分线， 、， ． 在中， ， ． ， ． 8. 小乐要用20元钱买A，B两种饮料，两种饮料必须都买，20元全部用完．若A种饮料每瓶3元，B种饮料每瓶2元，则小乐最多购买A，B两种饮料共（ ） A. 7瓶 B. 8瓶 C. 9瓶 D. 10瓶 【答案】C 【解析】 【分析】设未知数构造方程，求整数解即可． 【详解】解：设小乐购买A种饮料瓶，B种饮料瓶， 则， 得， ∵是正整数，是偶数， 则是偶数， 则时，，， 则时，，， 则时，，， ∴则小乐最多购买A，B两种饮料共瓶． 9. 第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形中，连接．，，且，则小正方形与大正方形的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，解直角三角形得到，，根据可推出，由勾股定理可得，则，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：设， 由题意得，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴小正方形与大正方形的面积之比为． 10. 已知抛物线与抛物线关于y轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先利用关于y轴对称的抛物线的坐标变换规律求出的解析式，再根据两点都在抛物线上得到关于的恒等式，利用恒等式对任意成立的条件，对应系数相等求解，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与关于y轴对称，关于y轴对称的抛物线横坐标变号纵坐标不变， ∴将中替换为，得的解析式： . ∵点在上， ∴ . ∵点也在上， ∴将Q坐标代入解析式得： ， 把代入等式左边，得：左边 . 展开整理等式右边得：右边 . ∵等式对任意实数都成立， ∴对应项系数相等，得， 解得， 代入常数项验证得 ，符合要求． 故． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答题卡对应的横线上． 11. 若的一个平方根为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵的一个平方根为， ∴， ∴． 12. 圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出的小数部分超过万亿位．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从的小数部分随机取出一个数字，估计数字是的概率为______． 祖冲之 【答案】##0.1 【解析】 【分析】从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：随着小数部分位数的增加，这个数字出现的频率趋于稳定接近相同， 从的小数部分随机取出一个数字共有种等可能的结果，其中出现数字的只有种结果， (数字是6)． 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 13. 如图，在中，，过A、B、C三点的与相交于点E，连接，则的度数为______． 【答案】 ##40度 【解析】 【分析】根据圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，利用邻补角的定义求出，再根据平行四边形对角相等的性质得出的度数，最后在中利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵四边形内接于  ∴ ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴， 在中， ． 14. 已知关于x的分式方程无解，则实数m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先转化成整式方程，分式方程无解，根据增根即可求解． 【详解】解：， 方程两边都乘以，得， 解得：， ∵分式方程无解， ∴是方程的增根， 则， 解得：． 15. 如图，在矩形中，点E是的中点，点F是的中点，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点F作，交于M，，交于，可先得的长，则，再证四边形为矩形， 可得，由勾股定理可得的长． 【详解】解：过点F作，交于M，，交于， 四边形为矩形， ，，． 点E是的中点， ． ． 点F是的中点， ． ， ，， ． ， 四边形为矩形， ． ． ． ． 16. 如图，为等边三角形，点P为边上一点（不与点B重合），点D为的中点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接，，连接并延长交于点F．下列结论：①；②；③点F为的中点；④若，则长度的最小值为．其中正确的结论是______．（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由旋转性质得，，结合等边三角形性质证明，可得；由全等可知线段绕点逆时针旋转可与线段重合，故两直线夹角为，即；取特殊位置点与点重合，此时为中点，通过计算与不相等，说明点不是的中点；利用三角形中位线定理确定点在线段上运动，进而点在线段上运动，再通过解直角三角形与勾股定理求出到线段的最短距离． 【详解】解：∵ 线段绕点逆时针旋转得到， ∴ ，， ∵ 为等边三角形， ∴ ，， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故①正确． ∵ ， ∴ 线段绕点逆时针旋转可与线段重合， ∴ 直线与直线的夹角为， ∵ 点在的延长线上，且点在上， ∴ ，故②正确． 当点与点重合时，点为的中点， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 为等边三角形，为中点， ∴ ，， 在中，，， ∴ ， ∴ ， 由①知， 在中，，， ∴ ， 在中，， ∵ ， ∴ ， ∴ 点不是的中点，故③错误． 取中点，中点，连接，， ∵ 为中点，为中点， ∴ ， 又∵ ， ∴ 点在线段上， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， 则点在线段上运动， ∵ ，，， ∴ ， 过作交延长线于， 则， 在中，，， ∴ ， 在中，， ∴ ， 连接，， ∵为等边的中线， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∵ ， 在中，， 过作于，则为中点， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴的最小值为，故④正确． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分） 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中a与b互为倒数． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，分式的约分进行化简，再加减，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵a与b互为倒数， ∴， ∴原式． 18. 如图，在四边形中，，点E是边上的一点，且，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）12 【解析】 【分析】（1）先求出，再证出，根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，根据勾股定理可得，再然后利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 19. 为贯彻落实《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校开展了以“劳动淬炼成长，实践创造幸福”为主题的系列劳动教育活动．学校为了解学生每周家务劳动的时间（单位：小时），采用随机抽样的方式获取了若干名学生的数据，整理后得到下列不完整的统计图表： 学生每周家务劳动的时间频数统计表 类别 劳动时间（小时） 频数 类 类 类 类 请根据图表中提供的信息解答下列问题： （1）表中______，______；扇形统计图中，类所对应扇形的圆心角是______度； （2）已知在类的学生中有名八年级学生，其中有两名男生和两名女生．现从这名学生中随机抽取两人参加学校劳动成果展示活动，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到两名性别相同学生的概率． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）由类的学生人数除以所占百分比得出此次调查共抽取的学生人数；然后用抽取的学生人数乘以类所占百分比得到，继而得到；最后由乘以B类所占百分比即可； （2）画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好抽到两名性别相同学生的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：此次调查共抽取的学生人数为：（名）， ∴， ∴， ∴扇形统计图中，类所对应扇形的圆心角是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好抽到两名性别相同学生的结果有种， ∴恰好抽到两名性别相同学生的概率为． 20. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）求k的取值范围； （2）若为整数，求整数k的值． 【答案】（1） （2）0或 【解析】 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，再求出，根据为整数，推出或，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴， ∴ ∵为整数， ∴为整数， 又∵k为整数， ∴或， ∴或（舍去）或或， ∴k的值为0或． 21. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求正比例函数与反比例函数的解析式； （2）将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 【答案】（1）正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 （2）， 【解析】 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即得点坐标，再代入正比例函数解析式解答即可求解； （）利用平移的性质可得，即得 ，再表示出点坐标，进而根据三角形的面积列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数的几何应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线是正比例函数的图象沿轴平移得到， ∴， ∴， 把代入 ，得， 解得， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， 又∵的面积为， ∴， 解得． 22. 如图，在中，直径与非直径弦交于点，，点在的延长线上，平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）连接，由垂径定理的推论得，即得，即得到，又由等腰三角形的性质得，得到，即得，即可求证； （）由锐角三角函数的定义可设，，可得，利用勾股定理解得，得到，，再利用求出即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 设，则 ， ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴， ， ∵ ，， ∴ ， ∴， 即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，等腰三角形的性质，切线的判定，锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 小强坚持体育锻炼，并用软件记录，周日进行了两组运动：第一组：10个深蹲、10个开合跳，共消耗热量11千卡；第二组：20个深蹲、30个开合跳，共消耗热量25千卡． （1）求小强每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少千卡热量； （2）小强计划进行15分钟的深蹲和开合跳锻炼组合．深蹲用时6秒/个，开合跳用时3秒/个，深蹲个数不超过开合跳个数且不少于开合跳个数一半．设小强做深蹲x个，总消耗热量Q千卡，求Q的最大值； （3）实际上，由于连续做深蹲会导致疲劳，每个深蹲实际消耗的热量与深蹲个数x有关．若每个深蹲消耗的热量为千卡，每个开合跳消耗的热量不变．在（2）的条件下，求小强安排多少个深蹲时总消耗热量Q最大，并求Q的最大值． 【答案】（1）每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量 （2）的最大值为 （3）安排个深蹲时总消耗热量最大，的最大值为 【解析】 【分析】（1）设每做一个深蹲消耗m千卡热量，每做一个开合跳消耗n千卡热量，根据10个深蹲、10个开合跳，共消耗热量11千卡； 20个深蹲、30个开合跳，共消耗热量25千卡建立方程组求解即可； （2）根据题意列出Q关于x的关系式，再根据深蹲个数不超过开合跳个数且不少于开合跳个数一半建立不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的性质求解即可； （3）根据题意列出Q关于x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每做一个深蹲消耗m千卡热量，每做一个开合跳消耗n千卡热量， 由题意得，， 解得， 答：每做一个深蹲消耗千卡热量，每做一个开合跳消耗千卡热量； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵深蹲个数不超过开合跳个数且不少于开合跳个数一半， ∴ ， 解得， ∵， ∴Q随x的增大而增大， ∴当时，Q有最大值，最大值为 【小问3详解】 解：由题意得 ， ∵，， ∴当时，Q有最大值，最大值为， 答：安排个深蹲时总消耗热量最大，的最大值为． 24. 如图，在边长为的正方形中，点为边上一点（不与重合），于，交于，延长到点，使，延长交的延长线于． （1）求证：； （2）当点是边的中点时，求的长； （3）如图，连接，当面积最大时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）证明得到，进而即可求证； （）过点作于，可证，得到，，进而可得，，即得，，再根据线段的和差关系即可求解； （）连接相交于点，以点为圆心、的长为半径画圆，则点在上，由得点在上，且在上，进而可证，得到，可知当点在的中点时，可知点到的距离最大，的面积最大，此时的面积最大，过点作于，由角平分线的性质和等腰直角三角形的性质得，又由全等三角形的性质，由勾股定理得，得到，进而根据（）即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点作于，则， 由（）知，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接相交于点，以点为圆心、的长为半径画圆，则点在上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴点在上，且在上， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在的中点时，可知点到的距离最大，的面积最大，此时的面积最大， ∵， ∴，即平分， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又由（）知，， ∴． 25. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为抛物线上第二象限内一点，若，求点的坐标； （3）如图，经过点的直线分别与抛物线在第二、三象限交于，两点，连接、，分别交轴于、两点．探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，该定值为．理由见解析 【解析】 【分析】（1）将点，代入得到关于、的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）确定，得，，，如图，延长交于点，过点作轴于点，设，继而得到，，，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质得，证明得，得，解得或（不符合题意，舍去），可得答案； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，，得，，，，，，联立得，继而得到，，证明，得，，继而得到，代入数据化简即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线与轴交于，两点， 当时，， 解得：或， ∴， 又∵，， ∴，，， 如图，延长交于点，过点作轴于点，设， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：是定值，该定值为．理由如下： ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线为． 如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，， ∵直线与抛物线在第二、三象限交于，两点， ∴， 整理得：， ∴，， ∵，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ， ∴是定值，该定值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $