精品解析：江苏扬州市扬州中学文昌集团2025-2026学年九年级下学期期中数学试卷

扬州中学文昌教育集团2025－2026学年第二学期期中考试试卷 初三年级 数学学科 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的数是 A. 1 B. 0 C. D. 2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 4 3. 若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 极差 D. 中位数 5. 下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 6. 多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 7. 如图，中，，若以点为旋转中心，将旋转角到的位置，使点恰好落在边上，则角等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数可能是无理数 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 我国南海资源丰富，其面积约为3500000平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海的总面积的3倍，其中用科学记数法表示3500000，应表示为________平方千米． 10. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 11. 某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 13. 如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 14. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为______． 15. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 16. 如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 17. 在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 18. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，若一条光线从点射出，先到达点，再经反射后经过点，则的值为______． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组：并求它的所有整数解的和． 21. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为__________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 22. 学校在八年级进行物理实验考查，设置有A、B两个实验，并规定由学生自己抽签决定参加其中的一个实验考查，小明、小丽和小亮都参加了本次考查. （1）小明参加实验A考查的概率是 ； （2）用树状图求小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率. 23. 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 24. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 25. 如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，． （1）求证：AC是的切线： （2）若，，求BF的长． 26. 如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图（2）中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）若时，求解下面问题． （1）求的值； （2）写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． 27. 如图，在中，，点到两边的距离相等，且． （1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由； （2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积； （3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由． 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴正半轴、轴分别交于两点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）如图，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，其中、旋转后的对应点分别记为，，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①的最大值是_____，的最小值是_____； ②在的图象上有、两点，当时，总有，的取值范围是_____； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，当为线段的三等分点时，的值_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扬州中学文昌教育集团2025－2026学年第二学期期中考试试卷 初三年级 数学学科 友情提醒：本卷中的所有题目均在答题卷上作答，在本卷中作答无效． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列四个数中，最小的数是 A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析： 1＞0＞＞-3，故C正确， 故选C． 考点：实数大小比较． 2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（ ） A. -4 B. -2 C. 0 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵点A，B表示的数的绝对值相等， ∴ A、B到数轴的原点的距离相等． ∵AB=4， ∴点A表示的数是﹣2． 故选B． 3. 若，为一次函数图像上两点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据一次函数的增减性，得到的符号，进行求解即可． 【详解】解：∵，为一次函数图像上两点，且， ∴随着的增大而减小， ∴， ∴； 故选D． 4. 某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 极差 D. 中位数 【答案】B 【解析】 【分析】店主根据不同尺码衬衫的销量调整进货量，需要多进销量最高的尺码，只需根据各统计量的意义判断即可 【详解】解：∵这组销售数据中，41码的平均日销量最高，销售数量最多，是这组数据的众数，因此影响该店主决策的统计量是众数； ∴答案选B 5. 下列水平放置的四个几何体中，主视图与其它三个不相同的是【 】 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分别找到四个几何体从正面看所得到的图形比较即可： ∵A．主视图为长方形；B．主视图为长方形；C．主视图为长方形；D．主视图为三角形， ∴主视图与其它三个不相同的是D．故选D． 6. 多边形的每个内角的度数都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于，根据边数等于求解即可； 【详解】解：根据题意，得多边形的每个外角的度数都等于， 故边数为：； 7. 如图，中，，若以点为旋转中心，将旋转角到的位置，使点恰好落在边上，则角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，继而得到于是得到，解答即可． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，， ∴， ∴． ∴， 故选：A． 8. 已知、是两个连续的偶数（），且，，，则下列对的表述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数可能是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．由题意将，和代入的代数式，再根据二次根式的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵、是两个连续的偶数（）， ∴， ∴ ， ∴总是偶数， 故选：A． 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 我国南海资源丰富，其面积约为3500000平方千米，相当于我国的渤海、黄海和东海的总面积的3倍，其中用科学记数法表示3500000，应表示为________平方千米． 【答案】 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故答案为：． 10. 若分式有意义，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义时分母不等于零，即可求解． 【详解】解：若分式有意义， 则， 解得， 故答案为：． 11. 某圆锥的母线为，底面半径为，则圆锥的侧面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式，其中是底面半径，是母线长，计算即可得出结果． 【详解】解：圆锥的侧面积为． 12. 如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色小正方形的数量除以小正方形的总数即可得到答案． 【详解】解：由题意得，任意投掷飞镖一次，击中黑色小正方形的概率为． 13. 如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 14. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：30 15. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，．夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角（即平行于的光线与的切线所成的锐角）的大小为_______°． 【答案】43 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，读懂题意并熟练掌握知识点是解题的关键．设与交于点K，先由三角形内角和定理求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点K， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图是二次函数的图象，若关于的方程总有一正一负两个实数根，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用数形结合思想，根据交点的坐标意义求解即可； 【详解】解：根据题意，得当时，此时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为零， 当时，与抛物线的交点坐标中一个为负，一个为正， 故答案为：； 17. 在中，，．若为钝角，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、正弦函数、直角三角形的性质等知识点，灵活运营相关知识成为解题的关键． 如图，过A作， 则，由三角形的内角和定理可得，则，即，然后求得的取值范围即可． 【详解】解：如图：过A作， 则 ∵为钝角，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在菱形中，，点是边的中点，点是边上一点，若一条光线从点射出，先到达点，再经反射后经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，作于，作于，设菱形的边长为，点是边的中点，表示，，可得，，，设，可得，，证明，再进一步利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，作于，作于， 设菱形的边长为，点是边的中点， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，属于跨学科的题，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算和化简 （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）根据整式的混合运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组：并求它的所有整数解的和． 【答案】，3 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 故所有整数解的和． 21. 国家卫生健康委员会宣布将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：__________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为__________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）24 （2）见解析 （3） （4）960人 【解析】 【分析】此题考查了扇形统计图和条形统计图的关联，样本估计总体等知识，读懂题意，准确计算是关键． （1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生数的百分比即可得到答案； （4）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， 故答案为： 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人），补全条形统计图如下： 【小问3详解】 “足球”对应扇形的圆心角为， 故答案为： 【小问4详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 22. 学校在八年级进行物理实验考查，设置有A、B两个实验，并规定由学生自己抽签决定参加其中的一个实验考查，小明、小丽和小亮都参加了本次考查. （1）小明参加实验A考查的概率是 ； （2）用树状图求小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率. 【答案】（1） （2），图见解析 【解析】 【分析】本题考查画树状图法求概率，概率公式： （1）直接利用概率公式求解； （2）通过画树状图表示出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：小明参加实验A考查的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 由图可知，共有8种等可能的情况，其中符合要求的情况有3种， 因此小明、小丽、小亮三人中恰好有两人参加实验A考查的概率为． 23. 2026年春节联欢晚会的吉祥物由“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马组成，与晚会主题“骐骥驰骋势不可挡”相呼应，有马到成功、前程似锦的寓意，深受大家喜欢．某商场第一次用2400元购进一批“骐骥驰骋”四骏马玩具套装，很快售完；该商场第二次购进该玩具套装时，进价提高了，同样用2400元购进的数量比第一次少10套，求第一次购进的玩具套装每套的进价是多少元？ 【答案】第一次购进的玩具套装每套的进价是40元 【解析】 【分析】设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是元，根据第二次购进该玩具套装，用2400元购进的数量比第一次少10套，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第一次购进的玩具套装每套的进价是x元，则第二次购进的玩具套装每套的进价是元， 由题意得， 解得， 经检验是方程的解， 答：第一次购进的玩具套装每套的进价是40元． 24. 【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 （1）该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． （2）若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，以的边AB为直径作，交BC于点D，点E是弧BD的中点，连接AE与BC交于点F，． （1）求证：AC是的切线： （2）若，，求BF的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接AD，根据题意证明∠BAC=90°，根据切线的判定定理证明； （2）过点F作FG⊥AB于点G，过点F作FG⊥AB于点G．根据角平分线的性质得到GF=DF，根据正弦的定义计算即可． 【小问1详解】 证明：连接AD． ∵E是弧BD的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵AB为⊙O直径， ∴， ∴． ∴． ∴AC是⊙O的切线； 【小问2详解】 解：过点F作FG⊥AB于点G． ∵， ∴， 在中，，， 即， 解得，． 【点睛】本题考查的是切线的判定定理、角平分线的性质、正弦的定义，掌握切线的判定定理、角平分线的性质定理是解题的关键． 26. 如图（1），一小球从斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加；然后在水平地面上继续滚动，呈匀减速运动状态，滚动速度每秒减小．速度与时间的关系如图（2）中的实线所示．（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）若时，求解下面问题． （1）求的值； （2）写出滚动的路程（单位：）关于滚动时间（单位：）的函数解析式． 【答案】（1）28 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，小球滚落到水平面上，此时速度为，根据图象，得运动时，速度为0，列式求解即可； （2）根据时间分类计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：当时，小球滚落到水平面上，此时速度为， 根据图象，得运动时，速度为0，根据题意，得， 解得； 【小问2详解】 解：根据题意，得当时，，， 故， ； 当时，，， 故， 故； 综上所述，； 27. 如图，在中，，点到两边的距离相等，且． （1）先用尺规作出符合要求的点（保留作图痕迹，不需要写作法），然后判断△ABP的形状，并说明理由； （2）设，，试用、的代数式表示的周长和面积； （3）设与交于点，试探索当边、的长度变化时，的值是否发生变化，若不变，试求出这个不变的值，若变化，试说明理由． 【答案】(1)作图见解析；ΔABP是等腰直角三角形. 理由见解析；（2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意作出∠ACB的角平分线和线段AB的垂直平分线可求出点P，然后证明Rt△APE≌Rt△BPF即可； （2）由PA=PB，PA=m，可得出 ，由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF，可得CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，在Rt△PCE中， PC=n，可知 ，即 ，最后求出周长和面积； （3）由平行线分线段成比例定理得到 , 是解答本题的关键． 【详解】（1）依题意，点P既在∠ACB的平分线上，又在线段AB的垂直平分线上. 如图1，作∠ACB的平分线，作线段AB的垂直平分线，与的交点即为所求的P点． 是等腰直角三角形. 理由：过点P分别作PE⊥AC、PF⊥CB、，垂足为E、F如图2. ∵PC平分∠ACB，PE⊥AC、PF⊥CB，垂足为E、F， ∴PE=PF. 又∵ PA=PB， ∴Rt△APE≌Rt△BPF， ∴∠APE=∠BPF. ∵∠PEC=，∠PFC=，∠ECF=， ∴∠EPF=， 从而∠APB=，. 又∠PEC=， ∴是等腰直角三角形. （2）如图2，在Rt△PCE中，∠PEC=，PA=PB，PA=m， ∴AB=. 由Rt△APE≌Rt△BPF，△PCE≌△PCF， 可得AE=BF,CE=CF, ∴CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE，. 在Rt△PCE中，∠PEC=，∠PCE=，PC=n, ∴, ∴. 所以△ABC的周长为：AB+BC+CA=. 因为△ABC的面积=△PAC的面积△PBC的面积△PAB的面积= == （3）过点D分别作DM⊥AC,DN⊥BC，垂足为M、N如图3. ∵. 由DN∥AC得 ① 由DM∥BC得 ② ①+②，得，即. ∴， 即 28. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数与轴正半轴、轴分别交于两点，顶点为． （1）求点和点的坐标； （2）如图，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，其中、旋转后的对应点分别记为，，求四边形的面积； （3）在（2）的条件下，定义：为较小函数，即，为较大函数，即． ①的最大值是_____，的最小值是_____； ②在的图象上有、两点，当时，总有，的取值范围是_____； ③较大函数与组成新的图形，直线与图形只有三个交点时，交点从左向右依次为，当为线段的三等分点时，的值_____． 【答案】（1）点D的坐标为，点B的坐标为 （2） （3），；；或 【解析】 【分析】（1）把化为顶点式即可求得点的坐标，令即可求得点的坐标； （2）过点作轴，过点作，过点作，由题意得到，，根据面积公式计算即可； （3）根据图象即可求得和的函数解析式，利用图象即可得的最大值和的最小值；由图象可得时，的最小值为，根据的函数解析式可得与轴的交点的坐标为，则轴，连接并延长交于点，可求得，由总有，则，据此即可得结论；设，则，可得或，结合点在抛物线的图象上，再解方程即可； 【小问1详解】 ， 顶点的坐标为， 令，则， 解得：，， 点在轴正半轴， 点的坐标为； 【小问2详解】 过点作轴，过点作，过点作， ，， ，， ； 【小问3详解】 如图，设两条抛物线相交于点，， 设， 把代入中，， 解得， ， 由，解得或， 则点，， ，， ， 则的函数图象如下： 则的函数图象如下： 的最大值为，的最小值为； 如图，设抛物线交轴于点， ， ， 轴， 连接并延长交于点，则点的纵坐标为， 当时，， 解得：，， ， 由题意可得：， ； 由题意可得新的图形如图， 设，则， 为线段的三等分点， 或， 或， 在抛物线的图象上， 或， 解得：，（舍去），或，（舍去）， 当时，， 当时，， 或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $