精品解析：安徽六安市毛坦厂中学东部新城校区2025-2026学年高一下学期期中学情检测数学试题

毛中东校高一年级2026年春学期期中学情检测 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 9 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 6. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 8. 已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设A，B，C是三个不同的点，m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则m与n为异面直线 D. 若A，B，C是平面内不共线的三点，，，则 10. 已知，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为8 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数______． 13. 已知为虚数单位，且，则______. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 毛中东校高一年级2026年春学期期中学情检测 数学试题 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径05毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助向量运算法则计算即可得. 【详解】. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. 8 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【详解】，所以复数的虚部为. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以，所以. 4. 如图，用斜二测画法作出的直观图，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据斜二测画法可知，，又，所以，所以 5. 已知棱台的上、下底面面积分别是1，4，高为3，则该棱台的体积是（ ） A. 3 B. 7 C. 9 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合棱台的体积公式，准确计算，即可求解. 【详解】由棱台的体积公式，可得. 故选：B. 6. 如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则（ ） A. B. C. EI与BG共面 D. AF与BG异面 【答案】C 【解析】 【分析】画出该正方体的直观图，根据直线共面，异面直线和直线夹角进行判断，得到答案. 【详解】根据题意，画出该正方体的直观图， A选项，，为等边三角形，AF与CH所成的角为，A错误； B选项，CH与BD异面，B错误； C选项，直线EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确； D选项，，直线AF与BG共面，D错误. 故选：C. 7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与，现测得米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ） A. 80米 B. 100米 C. 112米 D. 120米 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意表示出，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得，而， 得到，在中，，， 由余弦定理得，解得，故B正确. 故选：B. 8. 已知圆O的半径为2，弦，C是圆O上的一个动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】取的中点D，则，， 所以， 因为，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设A，B，C是三个不同的点，m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则m与n为异面直线 D. 若A，B，C是平面内不共线的三点，，，则 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，，而，A错误； 对于B，由，，，，得，B正确； 对于C，，，若相交，则m与n为平行直线或相交直线或异面直线， 若平行，则m与n为平行直线或异面直线，C错误； 对于D，由A，B，C是平面内不共线的三点，，，得， 若，则与矛盾，因此，D正确. 10. 已知，设，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为8 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，根据条件求出即可得解；对于C，先求出，进一步得即可判断；对于D，由复数的几何意义即可判断. 【详解】设，显然满足，但，A错误； 由，得，所以， 则解得或，所以，B正确； 由，得，所以，C正确； 若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆， 表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D错误． 故选：BC． 11. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦化简判断A；利用余弦定理推理判断B；利用余弦定理及三角形面积公式求解判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，由及正弦定理得，即， 则或，即或，是等腰或直角三角形，A错误； 对于B，由，得，则是的最大内角， 又，则，为锐角，是锐角三角形，B正确； 对于C，由，及余弦定理得， 当且仅当时取等号，因此，C正确； 对于D，取，满足，而，则，即，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为向量，，所以，即，解得； 考点：向量垂直的充要条件 13. 已知为虚数单位，且，则______. 【答案】-1 【解析】 【详解】由得，即， 所以解得，所以. 14. 如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【解析】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，． （1）若，求； （2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知：，，进而可求和其模长； （2）整理可得，结合复数的几何意义运算求解. 【小问1详解】 由题可知：，，则， 所以． 【小问2详解】 由题意可知：， 因为复数z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 故实数m的取值范围为． 16. 在中，角、、的对边分别为、、，且. （1）求的大小； （2）已知，证明：是等腰三角形. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理得出，结合余弦定理可得出，即可证得结论成立. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 整理得， 由余弦定理得， 又，所以. 【小问2详解】 由及正弦定理得， 由（1）知，所以，即， 所以是等腰三角形. 17. 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为，高为，内部挖去一个高的圆柱体. （1）当时，求该艺术品的体积； （2）当为何值时，该艺术品的表面积最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出圆柱的半径，然后求出体积. （2）利用圆柱的侧面积公式列出侧面积表达式，然后根据二次函数的性质求出最大值. 【小问1详解】 当时，设圆柱的半径为，则，解得， 此时该艺术品的体积为. 【小问2详解】 设圆柱的半径为，则，解得， 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， ， 当时，取得最大值， 故当时，该艺术品的表面积最大. 18. 如图，在等腰梯形中，为线段的中点，与交于点为线段上的一个动点. （1）用基底表示； （2）求的值； （3）设，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）设，，从而可得，联立方程组，求得，即可得解； （3）设，代入中，可得，从而得，结合二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 因为， ， 所以. 【小问2详解】 设，① 设，可得， 即，② 由①②得，，解得 所以， 所以. 【小问3详解】 由题意，可设， 代入中，可得. 又， 故，可得， 因为，且函数在上单调递减， 所以， ， 因为函数在上单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 19. 已知是锐角三角形，内角的对边分别为，且. （1）求； （2）求的取值范围； （3）若，求边上的中线的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简即可得解； （2）根据三角形内角和定理及三角恒等变换化简，再结合三角函数的性质即可得解； （3）易得，两边同时平方将用表示，再利用正弦定理求出，再根据三角函数的性质即可得解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， ， 因为，所以， 即， 所以，即， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 ， 因为是锐角三角形，且， 所以，所以， 所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由余弦定理得，，即， 由边上的中线为，得， 两边平方得， 由正弦定理可知，， 所以， 所以 ， 由（2）知， 所以， 即，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $