安徽六安市毛坦厂中学东部新城校区2025-2026学年高一下学期期中学情检测数学试题

毛中东校高一年级2026年春学期期中学情检测 数学试题 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.BA-D元+AD-CB= A.0 B.2AC C.AD D.2 BD 2.复数≈=一i(9一8i)的虚部为 A.-8 B.8 C.-9 D.9 3.在△ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√6，则B= A.30° B.45° C.609 D.90 4.如图，用斜二测画法作出△ABC的直观图△A'B'C,若A'B'=A℃'=1，则BC= A.5 B.22 C.2 O'(A) n号 5.已知棱台的上、下底面面积分别是1,4，高为3，则该棱台的体积是 A.3 B.7 C.9 D.21 【高一年级期中学情检测·数学试题第1页（共4页）】 26-T-600A 6.如图是一个正方体的展开图，若将它还原为正方体，则 A.AF⊥CH D B.CH∥BD C.EI与BG共面 D.AF与BG异面 7.如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与 D,现测得c0s∠CBD-号.CD=10厄米，在点C处测得塔顶A的仰角为30，在点D处测 得塔顶A的仰角为45°，则铁塔的高度为 A.80米 B.100米 C.112米 D.120米 8.已知圆O的半径为2，弦AB=2√5，C是圆O上的一个动点，则O心·(CA+C方)的取值范 围是 A.[-12,-4] B.[-4,0] C.[-4,4] D.[0,8] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设A,B,C是三个不同的点，m,n是两条不同的直线，α，3是两个不同的平面，下列结论错误 的是 A.若la,A∈l,则A任a B.若A∈a,A∈B,B∈a,B∈B,则a∩B-AB C.若mCa,nCB,则m与n为异面直线 D.若A,B,C是平面a内不共线的三点，A∈B,B∈B,则C庄B 10.已知1，之2∈C,设1=1十i,x2=a十bi(a,b∈R),则下列说法正确的是 A.若1十2∈R,则2=-1-i B.若十场=0，则川2=√2 C若一女则-号+ D.若2=2，则之2十4的最大值为8 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若acos A=bcos B,则△ABC是等腰三角形 B.若a3+b=c3,则△ABC是锐角三角形 C.若A=60°，a=6,则△ABC面积的最大值为9√3 D若+京<是则C心 【高一年级期中学情检测·数学试题第2页（共4页）】 26-T-600A 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(x,4),b=(x一4,1)，若a⊥b,则x= 18已知i为虚数单位，且-a十ia,bER,则a十b= 14.如图，在正三棱锥A-BCD中，∠BAD=40°，从C点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱AB, AD回到C点，若细绳的最短长度为26，则该三棱锥的侧棱长为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知复数1，x2在复平面内对应的点分别为Z(0,1),Z2(2,一1). (1)若=一2，求z|: (2)若复数之=刘十m12在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围. 16.(本小题满分15分)》 △4BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c且n+8sin2-4十 sin C ac (1)求C的大小： (2)已知sinA=√3sinB,证明：△ABC是等腰三角形 【高一年级期中学情检测·数学试题第3页（共4页）】 26-T-600A 17.(本小题满分15分) 如图是3D打印技术打印的一个艺术品，该艺术品外部的圆锥底面半径为3cm,高为5cm, 内部挖去一个高acm的圆柱体. (1)当a=号时，求该艺术品的体积： (2)当a为何值时，该艺术品的表面积最大？ 18.(本小题满分17分)》 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=2BC=2CD=2DA,M为线段BC的中点，AM 与BD交于点N,P为线段CD上的一个动点， (1)用基底{AB,AD}表示AM; (2)求>的值， (3)设AC=xDB+yAP,求x(y-2)的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知△ABC是锐角三角形，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsin A十atan Acos B= 2asin C. (1)求A: (2)求cosA十cosB+cosC的取值范围； (3)若a=√，求边BC上的中线AD的取值范围. 【高一年级期中学情检测·数学试题第4页（共4页）】 26-T-600A 毛中东校高一年级2026年春学期期中学情检测·数学试题 参考答案、提示及评分细则 1,DBA-D元+AD-CB=BA+AD-(D心+C市)=Bd-D=2BD.故选D. 2.C之=一i(9一8i)=-8-9i,所以复数之的虚部为一9.故选C 4X③ 3.B因为品二所以mB4CA BC 2√6 ,又因为AC<BC,所以B<A,所以B=45.故 选B. 4.A根据斜二测画法可知，AB⊥AC,又A'B'=A'C=1,所以AB=1,AC=2,所以BC=/22+1=5.故 选A. 5.B依题意，棱台的上底面面积S=1,下底面面积S4,高为=3，放由公式可知，棱台的体积是V=号(S+ SS+S)h=7,故选B. 6.C根据题意，画出该正方体的直观图，易得AF与CH所成的角为，A错误；CH与BD异面，B错误；直线 EI与BG相交，所以直线EI与BG共面，C正确；AF∥BG,直线AF与BG共面，D错误.故选C. H(F GU 7.B设AB=x,由AB⊥BC,AB⊥BD,∠ACB=30°，∠ADB=45°，知BC=√3x,BD=x.在△BCD中， os∠CBD号，CD=100米，由余弦定理，得√5)+2-252×号=100反，解得x=100米.故 选B. 8.A取AB的中点D,则CA+C苏=2D,1ō方1=√2-(3)=1，所以O元· (CA+CB)=2O元.CD=2O元.(oi-O元)=2O元.0i-2O心=4cos∠C0D-8,因 为cos∠COD∈[-1,1]，所以O元·(CA+C第)∈[-12，-4].故选A 9.AC对于A,当l与a相交时，可能满足A∈a,A错误；对于B,由A∈a,A∈B,B∈a,B∈ B,可得a∩B=AB,B正确；对于C,若mCa,nC3,则m与n可能平行、相交或异面，C错误；对于D,因为A, B,C不共线，所以确定平面a,由A∈B,B∈B,可得ABC3,若C∈3，则平面a,3重合，与a,3是两个不同的平 面矛盾，故C￠β，D正确.故选AC 10.BC设2=2-i,显然满足≈十2∈R,但2≠-1-i,A错误；由号十号=0，得(1十i)2+(a+bi)2=0,所以 a2-62+2(1+ab)i=0,则 一行-0·解得a1,或2一所以=厄，B正确：由=得= 1+ab=0, b=-11b=1, 【高一年级期中学情检测·数学试题参考答案第1页（共4页）】 26-T-600A 子中子所以-立十C正确：若引=2，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心2 为半径的圆，|2+4|表示圆上的点与点（一4,0）的距离，则距离的最大值为4+2=6，D错误.故选BC 1l.BC若acos A=bcos B,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,所以2 sin Acos A=2 sin Bcos B,即sin2A= sin2B,所以2A=2B或2A十2B=π，所以A=B或A十B=交，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，即 △ABC可能不是等腰三角形，A错误；因为a3+b=c,所以a<c,b<c,所以C为△ABC的最大内角，又 d+=,所以ga+=<a2+,所以osC->0,又C∈0，，所以C<受，B正确： 2ab 若A=60°，a=6,由余弦定理得a2=十2-2 bccos60°，所以36=2十c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当a= 66=6时等号成立，所以5a=bsi血A<分×36×5=95，C正确：取a=6=2,c=1,则满足是十 2 京<号，此时C为△ABC的最小内角，必定是锐角且小于音，D错误故选BC 12.2因为a⊥b,所以a·b=x(x-4)十4=x2-4x+4=0,解得x=2. (3一b=a 2 1a-1由日a+i得2(3-1-D=a+i即323=a+i,所以 解得a=4,b=一5， 3+b=1, 所以a十b=-1. 14.2√2根据题意，把正三棱锥A-BCD侧面沿AC展开，连接CC,则线段CC就 是绳的最短长度，易得∠CAC=120°，设侧棱长为a,则CC= √a2+a2-2Xa×a×(-2)=26,解得a=2厄. 15.解：(1)由题知，名=i,2=2-i,…2分 所以之=必1一2=i一(2一i)=一2+2i,… 4分 故|x|=√/(-2)2+2=2√2. 6分 (2)之=1+m212=i+mi(2-i)=m+(2m+1)i, 8分 m0; 因为复数之在复平面内对应的点位于第二象限，所以 10分 2m+1>0, 解得-2<m<0, 。。。。。。。 12分 故实数m的取值范围为(-？，0)， 13分 16.1D解：在△ABC中，由mC+5smB_土世及正弦定理，得S+B6_2+ sin A sin C ，…3分 ac ac 整理得2=a2+?-√5ab, 由余弦定理得cosC=2士#二c- 2ab 2 …6分 又0<C<,所以C=吾 …8分 【高一年级期中学情检测·数学试题参考答案第2页（共4页）】 26-T-600A (2)证明：由sinA=√sinB及正弦定理，得a=√3b, 10分 由(1)知c2=a2+62-√3ab, 因此b=c2,即b=c,所以△ABC是等腰三角形.… 15分 10 17.解：1当a=9时，设圆柱的半径为则3号=哥解得一1， 3分 此时该艺术品的体积为V-子×xX3X5一X1×号-3cm。 7分 3 （2)设圆柱的半径为r,则3=号，解得r=3二分a(0Q≤5)，… 9分 要使该艺术品的表面积最大，则圆柱的侧面积取得最大值即可， 10分 Sw=2m=2x(3-子a)a=2x(3a-c） 12分 当a= 14分 2×(-3) 号时，S取得最大值， 故当a=号时，该艺术品的表面积最大. 15分 18.解：1)因为A应=A+成=AB+号硫， 分 B武=AC-A市=AD+D元-A市=AD+号Ai-AB=AD-号AB! 3分 所以AM=A访+？A市-A店=A访+2A立. 4分 (2)设A衣=tA成=(A市+号A市)=A店+号Aò，① 5分 设B亦=入B励，可得A-AB=A(AD-AB),即A衣=(1-A)AB+AAD,② 7分 =1- λ= 由①②得 解得 9分 =入， 所以爪=号动.所以器号 3 10分 (3)由题意，可设D市=m(0≤m≤2)， 代人AC=xDB+yAP中，可得AC-x(Ai-AD)+y(AD+DP)=(+ym)AB+(yx)AD. 又流-成士迹+成做+，立可得 /x=y-1, 13分 y 2(m+1)1 因为<分且函数y一23市在[0，]上单调递减，所以1<<号 3 z(y-2)=(y-10y-2)=(0-2)°-1 15分 因为函数f(y)=(y-号）-在[1，]上单调递减， 【高一年级期中学情检测·数学试题参考答案第3页（共4页）】 26-T-600A 所以fy)x=fD=0,f(y)n=f(号)=-子， 所以x(y一2)的取值范围为[-，0]， …17分 l9.解：(1)由bsin A+atan Acos B=2 asin C及正弦定理得，sin Bsin A+sin Atan Acos B=2 sin Asin C,… …1分 因为sinA>0,所以sinB+s0A.cosB=2sinC,即sin Bcos A-十sin Acos B=2 sin Ccos A, cos A 所以sin(B+A)=2 sin Ccos A,即sinC=2 sin Ccos A,… …3分 因为sinC>0,所以c0sA=7,因为A∈(0，x),所以A=号 …5分 3 (2)cos A+cos B+cos C=cos A+cos B-cos(A+B+cos B-cos(+B)+cs Bcos B+ 多如 =子+号nB+mB=m(B+答)+ ，……7分 0<B<5, 因为△ABC是锐角三角形，且A=号，所以 所以B∈（否，受，…8分 0<C-经-B< 所以B+吾∈（各，）m(B+吾)（停，1]m(B+吾）+∈(5，号]， 所以cosA+cosB计cosC的取值范周为(5中，多] 10分 （3油余弦定理得，sA公±场立-士然3=合，即+=c十3. 2bc 2bc 由2AD=AB+AC,两边平方得4AD12=AB12+AC2+2AB.AC-+c2+bc=2bc+3.….12分 由正孩定理可知，白BC叠=2，所以62a如5.一2a如C 2 所t以2a+3=8 sin Bsin C+3=8 sin Bsin(凭-B）+3=8sinB(5osB+2snB)+3 -4/3sin Bcos B+4sin B+3=2/3sin 2B+4X1-cos 2B+3 2 =25n2B-2os2B+5=4(sn2B.5-cs2B·号)+5=4sn(2B-吾)+5， …15分 由(2)知否<B<受，所以2B-否∈（答，），sim(2B-否)∈(2,1]，4sim(2B-吾)+5∈(7,9]， 即4d∈7,9]，则ADe(停，号] ………17分 【高一年级期中学情检测·数学试题参考答案第4页（共4页）】 26-T-600A