精品解析：四川省成都市第四十三中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试题

成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下）半期考试试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版2024八年级数学下册第1-4章． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 4. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　） A. m2﹣2m+1 B. m2+1 C. m2+m D. （m+1）2+2（m+1）+1 5. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（     ）米． A. B. C. D. 6. 如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A. B. C. D. 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ） A. B. 10 C. D. 第Ⅱ卷（共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9. 分解因式：___________． 10. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 12. 如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 13. 如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、，边的中垂线，分别与、边交于点、，连接、．若的周长为16，，则的长为__________． 三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 15. 学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对“作一个角等于已知角的两倍”有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，并注明其中蕴含的数学依据：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线分别交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）． 求证：． 证明：是的垂直平分线， ①__________（依据：②__________）， ③__________（依据：等边对等角）． 是的外角， ④__________（依据：⑤__________）， ． 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 17. 要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有： ．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题： （1）分解因式：． （2）当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ （3）若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的面积． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19. 若，则m — n的值为_______． 20. 已知，则代数式________． 21. 关于x的不等式组恰有两个整数解，m的取值范围为______． 22. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 23. 如图，等腰中，，D是上一点，，E是边上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连，则的最小值是 _____． 二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 25. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 26. 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______． （2）【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数． （3）【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长． ②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市第四十三中学校2025—2026学年度（下）半期考试试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：北师大版2024八年级数学下册第1-4章． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）． 1. 神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段，下列航天图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义：如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义逐项分析即可解答． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形不是中心对称图形，不符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 2. 若，则下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：， ，，，，故A、C、D选项错误， B选项正确， 故选：B． 3. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 4. 下列多项式中，能分解出因式m+1的是（　　） A. m2﹣2m+1 B. m2+1 C. m2+m D. （m+1）2+2（m+1）+1 【答案】C 【解析】 【分析】根据提公因式法和运用公式法分解每一个多项式，即可得到结论． 【详解】A．m2﹣2m+1=（m﹣1）2； B．，不能分解； C．=m（m+1）； D．=（m+1+1）2=（m+2）2． 故选C． 【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法分解因式，熟练掌握提公因式法和运用公式法是解题的关键． 5. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（     ）米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， 米，米， 米， 米， ， ， 故这根木头需要长度可能是米， 故选：C． 6. 如图，已知，以点B为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线于 点M，N，分别以点M，N为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点P；在射线上取点H，以点H为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点D；点E，F分别在射线上，，射线交于点G，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，三角形外角的性质， 利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由基本作图得到平分，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 7. 如图，将直角三角形沿方向平移得到，交于点，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平移的性质可知，，，进而得出，，最后根据面积公式得出答案． 【详解】由平移的性质可知，，， ∴． ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键． 8. 如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（ ） A. B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理等知识点，连接，延长交于点，可证得，求出，即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点，如图所示： 由题意得： ， ∴是等边三角形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴ 故选：C 第Ⅱ卷（共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 9. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 10. 某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为______ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可． 【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道， 根据题意，． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x的不等式组的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据得，结合直线与直线交于点，利用数形结合思想解答即可，本题考查了一次函数与不等式的关系，熟练掌握解集的思想是解题的关键． 【详解】根据得， ∵直线与直线交于点，， ∴， 故答案为：． 12. 如图，在的斜边上截取，过点作交于点．若，，则的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．先证明，从而推出，最后利用求得答案． 【详解】解：连接，如图， ，，， ， ， ，， ， ∴． 故答案为：3． 13. 如图，在中，边的中垂线，分别与、边交于点、，边的中垂线，分别与、边交于点、，连接、．若的周长为16，，则的长为__________． 【答案】14 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质得出，，再利用线段的和差关系即可解决问题． 【详解】解：是线段的中垂线，是线段的中垂线， ，， 周长为16， ， ， ， ， ， ， 故答案为：14． 【点睛】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 三、解答题 （本大题共5小题，其中14题12分，15-16题，每题8分，17-18题，每题10分，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 14. 解不等式（组）： （1）； （2），并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2），见解析 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集是基础，熟知几个不等式的解集的公共部分的找法是解题关键． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解：去括号，得， 移项得：， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【小问2详解】 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 15. 学习了等腰三角形后，小明发现等腰三角形顶角顶点处的外角正好是其底角的两倍，于是他对“作一个角等于已知角的两倍”有了新的思路，请根据他的思路完成以下作图与推理证明填空，并注明其中蕴含的数学依据：用直尺和圆规，作线段的垂直平分线分别交于点，交于点，连接（只保留作图痕迹）． 求证：． 证明：是的垂直平分线， ①__________（依据：②__________）， ③__________（依据：等边对等角）． 是的外角， ④__________（依据：⑤__________）， ． 【答案】作图见解析①；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③；④；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键． 先利用基本作图作出的垂直平分线得到，则根据线段垂直平分线的性质得到，则，然后根据三角形外角性质可得到结论． 【详解】解：作答如图； 证明：∵是的垂直平分线 ∴，（依据：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）； ∴，（依据：等边对等角）． ∵是的外角 ∴（依据：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和）； ∴． 故答案为：①；②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；③；④；⑤三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 16. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移4个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，请直接写出旋转中心的坐标． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了根据平移作图、作已知图形的中心对称图形、根据旋转的性质确定对称中心等知识． （1）根据平移的要求确定点、、三个点，即可做出； （2）根据中心对称的性质确定、、三个点，即可做出； （3）如图，观察图形得到和关于某点中心对称，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 【小问1详解】 解：解：如图，即为所求作的三角形： ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求作的三角形： 【小问3详解】 解：如图，连接，，交于点，即可得到旋转中心为． 17. 要把二次三项式分解因式，我们可以在中先加上一项4，使它与成为一个完全平方式，然后再减去4，整个式子的值不变，于是有： ．像这种先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，这种方法不只是用于分解因式，还用于其他如求值、方程转化等；请利用“配方法“解决下列问题： （1）分解因式：． （2）当a，b为何值时，有最小值？最小值是多少？ （3）若a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）当时，有最小值，最小值为2021； （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，再利用平方差公式分解即可； （2）配方得，利用非负数的性质求解即可； （3）配方得，求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴当时，有最小值，最小值为2021； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， 解得：，，， ∵， ∴是直角三角形． 18. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，与交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的位置关系，并说明理由； （3）若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）BE⊥AB，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，因此，得到，即可证明平分； （2）由余角的性质推出，由等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质，即可证明； （3）作于，由三角形内角和定理，得到，得到，是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：绕点顺时针旋转得到， ，， ， ， 平分； 【小问2详解】 解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：作于， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的面积． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求三角形面积等知识，关键是掌握旋转的性质． B卷（共50分） 一、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 19. 若，则m — n的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m-n的值． 【详解】解：∵（x+3）（x+n）=x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n， ∴， 解得：m=-2，n=-5， 则m-n=-2+5=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20. 已知，则代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】把所求式子因式分解为，再把已知条件整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，正确把所求式子因式分解为是解题的关键． 21. 关于x的不等式组恰有两个整数解，m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否含等号． 可先用m表示出不等式组的解集，再根据有两个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①可得， 解不等式②可得， 由题意可知原不等式组有解， ∴原不等式组的解集为， ∵该不等式组恰有两个整数解， ∴整数解为2，3， ∴ ∴m的取值范围为． 故答案为：． 22. 如图第一象限内有两点，，将线段平移，使点、分别落在两条坐标轴上，则点平移后的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．分两种情况进行讨论：①P′在y轴上，Q′在x轴上；②P′在x轴上，Q′在y轴上． 【详解】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′． 分两种情况： ①P′在y轴上，Q′在x轴上， 则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0， ∵0-（n-3）=-n+3， ∴n-n+2=3=3， ∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）； ②P′在x轴上，Q′在y轴上， 则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0， ∵0-m=-m， ∴m-4-m=-4， ∴点P平移后的对应点的坐标是（-4，0）； 综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（-4，0）． 故答案为：（0，3）或（-4，0）． 【点睛】此题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 23. 如图，等腰中，，D是上一点，，E是边上的动点，若点E绕点D逆时针旋转30°的对应点是F，连，则的最小值是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】将逆时针旋转30°得到，连接，作射线，过点A作于Q，过点C作于H，设交于G，交于K，过点G作于N，证明，推出点F在射线上移动，进而得到当时，的值最小，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，将逆时针旋转30°得到，连接，作射线， 过点A作于Q，过点C作于H， 设交于G，交于K，过点G作于N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点F在射线上移动，当且仅当时，的值最小， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理．本题的综合性质强，难度大，属于压轴题．解题的关键是熟练掌握相关知识点，得到点的运动轨迹． 二、解答题 （本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 24. 灵蛇献瑞，已蛇呈祥.新年之际，探亲访友，都会提上新春礼盒，缤纷美食，满载幸福与甜蜜.重庆某百货超市计划主推两款礼盒：坚果礼盒“锦然秋鸿”和糖果礼盒“甘饴冬藏”．已知4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元． （1）求每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是多少元？ （2）超市决定用不超过66600元资金购进坚果礼盒和糖果礼盒共500盒，其中坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，且两种礼盒的进价保持不变，在运输过程中，有5件坚果礼盒外包装破损，3件糖果礼盒外包装破损，销售时每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，外包装破损的产品均按售价的六折出售，若本次购进的两种礼盒全部售出，请问坚果礼盒购进多少件时，可使本次销售获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元 （2）坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是13470元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，不等式，是解题的关键． （1）设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元，根据4件坚果礼盒和5件糖果礼盒进价1200元，7件坚果礼盒和2件糖果礼盒进价1290元，列出方程，解方程即可； （2）设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件，根据坚果礼盒的数量不少于糖果礼盒数量的，列出不等式，解不等式求出a的取值范围，设利润为w元，根据每件坚果礼盒售价为175元，每件糖果礼盒售价为150元，列出关系式，根据一次函数性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是x元，y元， 根据题意得：， 解得， 答：每件坚果礼盒和糖果礼盒进价分别是150元，120元； 【小问2详解】 解：设坚果礼盒购进a件，则糖果礼盒购进件， 根据题意得：， 解得：， 又， 解得：， ， 设利润为w元，根据题意得： ， ， 随a的增大而减小， 当时，w最大，最大值为， 答：坚果礼盒购进220件时．可使本次销售获得最大利润，最大利润是15740元． 25. 如图，与都是等边三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，，． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）如图，与都是等腰直角三角形，连接，，点，分别是，的中点，连接，．若点恰好也是的中点，且，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得； （2）由，，且，证明，而，，可证明，得，，可推导出，则是等边三角形； （3）由等腰直角三角形的性质得，，，可推导出，进而证明，得，，而，，所以，可证明，得，，推导出，因为，点是的中点，所以，则，所以，． 【小问1详解】 证明：∵与都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵点，分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【小问3详解】 解：∵与都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，且点也是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】此题是三角形综合题，重点考查等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，此题综合性强，难度较大，证明是解题的关键． 26. 在数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题： （1）【问题初探】如图1，在等腰中，，点在其内部，，，，求的长； 经过同学们的观察、思考、交流，对上述问题形成了如下想法：将绕点按逆时针方向旋转，得到，连接，探究三边之间的数量关系，…根据以上分析过程______． （2）【类比分析】如图2，在等边中，点在其内部，且，，．求的度数． （3）【拓展应用】①如图3，在中，，点在其内部，是等腰三角形，且．若，，求的长． ②如图4，在中，，，点为平面内一点，若，，请直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） （3）①；或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，结合等腰直角三角形的性质即可求解； （2）将绕点逆时针旋转，得，是等边三角形，是直角三角形，由此即可求解； （3）①将绕点顺时针旋转，得，连接，可证，过点作于点，可得，运用勾股定理即可求解；②分类讨论，第一种情况，如图所示，点在外面，将绕点顺时针旋转，得，可证是直角三角形，即，根据锐角三角形函数的计算方法即可求解；第二种情况，如图所示，点在内部，将绕点顺时针旋转，得，连接，可证，可得是直角三角形，结合三角形函数的计算方法即可求解． 【小问1详解】 解：已知将绕点按逆时针方向旋转，得到， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，则， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示，将绕点逆时针旋转，得， ∴， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：已知是等腰三角形，， ∴， ①如图所示，将绕点顺时针旋转，得，连接， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，且， ∴， 如图所示，过点作于点， 在中，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②已知中，， ∴， 第一种情况，如图所示，点在外面，，，则，将绕点顺时针旋转，得， ∴，， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，点在内部，，，，则，将绕点顺时针旋转，得，连接， ∴， ∴，，，， ∴，则， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即是直角三角形， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，含的直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算，掌握旋转的性质，合理作出辅助线，图形结合分析，分类讨论思想结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $