精品解析：湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二) 数学试卷

湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二)数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 函数与的图象（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于直线对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 4. 已知数列满足是数列的前n项和，则（ ） A. -7 B. -6 C. 6 D. 7 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 10. 设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 11. 若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 任意 B. 任意 C. 任意 D. 任意 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 13. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是__________． 14. 现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 16. 如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． （1）若为棱上动点，是AE的中点，证明． （2）若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）证明：； （2）当时，求四边形ABCD面积的最大值． 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4， F为其左焦点. （1）求C的方程; （2）设过点，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. ①若点A，B分别在C的左、右两支上，求k的取值范围; ②若x轴上存在一点M，使得点M是的外心，求点M的坐标. 19. 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若，求x的取值范围． （3）当时，若为函数的两个零点，试证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南衡阳县第一中学2026届高三学情调研(二)数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求. 【详解】已知复数， 则根据复数的运算可得， 则复数在复平面内对应的点的坐标为，所以位于第一象限. 故选： 2. 集合，，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，结合包含关系即可得结果. 【详解】因为，则， 又集合，，可得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 3. 函数与的图象（ ） A. 关于y轴对称 B. 关于直线对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴. 【详解】将函数进行指数变形，得， 设，代入，可得， 因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 4. 已知数列满足是数列的前n项和，则（ ） A. -7 B. -6 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】通过递推式求出，然后代入求即可. 【详解】由数列满足 ， 可得， 所以． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再结合切化弦计算两角和余弦值即可. 【详解】因为，所以，且， 所以，， 又因为，所以， 则. 故选：C. 6. 记O为坐标原点，已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与C交于A，B两点，若，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据椭圆的定义得，结合直角三角形的判定定理、椭圆的离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则， 因为， 所以， 因为， 所以是直角三角形， 在直角三角形中， 有 ， 所以， 在直角三角形中， 有 . 故选：A 7. 为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样均值、方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意得，总体均值为， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为 . 故选：B. 8. 函数在区间上的最大值与最小值之差的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将题目等价于在的最大值和最小值之差的取值范围，讨论的范围计算最大最小值，综合得到答案. 【详解】，， 原题等价于在的最大值和最小值之差的取值范围 不失一般性：设 当时：最大值最小值差为，满足： 当是取最大值1，当时取最小值 当时：最大值最小值差为，满足： 当时：最大值最小值差为，满足： 当时有最大值为，且 综上所述：最大值与最小值之差的取值范围是 【点睛】本题考查了三角函数的最值问题，分类讨论是一个常用的方法，需要熟练掌握，意在考查学生的计算能力. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 正方体中，M为中点，O为中点，以下说法正确的是（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AC 【解析】 【分析】设交于，利用线面平行的判定定理可判断A，由题可得进而可判断BD，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可判断C. 【详解】连接交于，连接，则为的中点， 所以，， 又M为中点，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面，故A正确； 因为，与平面相交且不垂直， 所以与平面不平行且不垂直，故BD错误； 由题可知平面，平面， 所以，由题可知， 又平面，平面， 所以平面，又， 所以平面，故C正确. 故选：AC. 10. 设抛物线的焦点为，直线交于两点（在不同的象限），交轴于点，且，过作的准线的垂线，垂足为，设点.则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. C. 直线的方程为 D. 直线与直线关于直线对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件结合抛物线的性质求出抛物线方程判断A选项；利用抛物线上任意一点到焦点与准线的距离相等判断B选项；利用抛物线点的坐标结合两点式直线方程判断C选项；利用两直线垂直的斜率关系与轴对称几何条件判断D选项. 【详解】如图，设与轴的交点为，过点作的准线的垂线，与轴的交点为， 因为，所以， 因为，所以，解得， 所以，A错误； ，B正确； 若在第一象限，由，得，所以， 同理， 所以直线的方程为； 同理若在第四象限直线的方程为 所以直线的方程为，C正确； ，由对称性不妨使在第一象限，由上可知， 所以，所以与垂直， 又因为垂直平分，所以与关于直线对称，D正确. 故选：BCD 11. 若数列满足，则下列说法正确的是（ ） A. 任意 B. 任意 C. 任意 D. 任意 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由可得；对B：由可得、，作差后因式分解，并借助反证法计算即可得；对C：结合B中所得与数列性质，可得；对D：结合C中结论可得，再利用计算即可得. 【详解】对A：由，得，故A正确； 对B：由，得，又因为， 则， 又，当时，则，即，显然与矛盾； 当时，则，即，显然与矛盾； 所以且，即递增，故B正确； 对C：由，根据B的结论知， 随的增大，无限趋近于0，则无限接近于1， 又 ，令 ，且递增， 则，即， 综上，，故C错误； 对D：由，根据C的分析可知，则， 又，所以， 所以 ，即， 综上，，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量均为单位向量，且，则和的夹角大小为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】把平方，利用向量的运算法则可得答案. 【详解】由于 ， ，  均为单位向量，故 ， ， . 给定 ，对两边取模的平方得： 代入 ，得： ， 解得： ，. 故答案为： 13. 已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义和正弦函数的值域求出切线斜率的范围，再由正切函数的性质求得切线倾斜角的范围. 【详解】由题意可得，即切线的斜率的取值范围为， 即，又， 故倾斜角的取值范围是. 14. 现有10个直径为4的小球，全部放进棱长为的正四面体盒子中，则的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先确定个直径为的小球按三层正三角紧排，相邻球外切、边缘球与正四面体内切；由球半径得球心构成棱长为的小正四面体，算出其高；结合正四面体高与内切球半径关系，求出大正四面体总高；利用正四面体高与棱长的换算公式，算出棱长最小值． 【详解】设正四面体的棱长为，是正的中心， BM的延长线交CD于，连接AM， 则平面，， 所以，， 因此正四面体的高． 令正四面体ABCD内切球的半径为， 由，得． 10个直径为4的小球放进棱长为的正四面体ABCD中，成三棱锥形状，有3层， 则从上到下每层的小球个数依次为， 当取最小值时，从上到下每层放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切， 底层的6个球还都与正四面体底面相切，任意相邻的两个小球都外切， 位于底层正三角状顶点的小球球心连线与位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线构成正四面体， 则正四面体EFGH的棱长为，其高为， 当以点为球心的最上方小球是以为顶点的某个正四面体的内切球时， 在某个正四面体，为的中点，球心在上， 过作于，则，设棱长为， 在中，，，，， 在中，，， 所以， 所以正四面体ABCD的高为， 所以正四面体棱长的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有，参加过计算机培训的有．假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望. 【答案】（1）0.9 （2）分布列见详解， 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式结合对立事件运算求解；（2）根据题意结合二项分布的概率和期望运算求解. 【小问1详解】 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B， 由题意可知：事件A与B事件独立，，则， 任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率， 故任选1名下岗人员，该人参加过培训的概率 【小问2详解】 由题意结合（1）可知：3人中参加过培训的人数服从二项分布，则， ，， ，， 的分布列： 0 1 2 3 0.001 0.027 0.243 0.729 的期望. 16. 如图，在等腰梯形ABCD中，，且，E是CD的中点．将沿AE折起到的位置． （1）若为棱上动点，是AE的中点，证明． （2）若平面平面ABCE，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠前后的量，角度不变，得到，，从而得到平面，即平面，则. （2）先证明面，以为原点建立空间直角坐标系，通过求两个面的法向量的夹角计算二面角. 【小问1详解】 证明：连接，如图所示． 因为，且， 所以四边形ABED和四边形ABCE均为菱形． 因为为AE的中点，所以， 因为为AE的中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 因为平面平面ABCE，平面平面， 所以平面ABCE， 以为坐标原点，分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， 所以，． 设平面的法向量为， 则有 取，所以． 设平面的法向量为， 则有 取，所以． 设二面角的平面角为， 则， 又因为为钝角，所以， 故二面角的余弦值为． 17. 如图，在平面四边形ABCD中，，． （1）证明：； （2）当时，求四边形ABCD面积的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，在与中分别表示公共边，联立两式消去参数，化简得到； （2）将四边形面积拆分为两个三角形面积和，结合第（1）问的结论，通过平方相加消元，求出面积的最大值． 【小问1详解】 如图，连接BD， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 则有， 因为，， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 如图，因为， 所以四边形ABCD的面积， 将两边平方，可得， 即①， 由（1）可知，平方可得②， 联立①②，解得 ， 则，当且仅当时，等号成立， 所以四边形ABCD面积的最大值为 18. 已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4， F为其左焦点. （1）求C的方程; （2）设过点，且斜率为k的直线l与C交于A，B两点. ①若点A，B分别在C的左、右两支上，求k的取值范围; ②若x轴上存在一点M，使得点M是的外心，求点M的坐标. 【答案】（1）； （2）①；② 【解析】 【分析】（1）运用渐近线公式，结合实轴长，构造方程组计算即可； （2）①设直线l方程为：，设，，将其与双曲线方程联立，借助韦达定理和根的判别式计算即得； ②设，的外接圆的方程为，将其与直线方程联立，得再将直线与双曲线方程联立得，由两方程同解推得，化简计算即可. 【小问1详解】 由题意可得， 解得，则C的方程为； 【小问2详解】 ①设直线l方程为：，设，， 联立，消去y可得 由点A，B分别在C的左、右两支上， 可得， 解得， 即k的取值范围为 ②设，的外接圆的方程为 由消y得 由消y得 上面两个方程的实数根均为，，故为同解二次方程，所以， 由可得. 即， 整理得 ①. 由可得. 即. 整理得 ②. 由①+②，整理得，故或 当时，代入②，可得，以上两方程不同解，应舍去； 当时，代入①，可得 即满足条件，所以点M的坐标为 19. 已知函数，其中． （1）当时，讨论函数的单调性． （2）若，求x的取值范围． （3）当时，若为函数的两个零点，试证明： 【答案】（1）在和上单调递减 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）得到函数定义域后，求导研究函数单调性即可得； （2）由题意可得，再分、及进行讨论，结合（1）中所得计算即可得； （3）设，结合函数单调性与零点存在性定理可得，则有，构造函数，结合函数单调性可得、，分别将两式相减并化简即可得证. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为， ， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 又，所以，即， 所以在和上单调递减； 【小问2详解】 由， 得， 当时，左边右边（舍）； 当时，， 当时，， 即当时，， 于是， 即当时，， 由（1）知，当时，在和上单调递减， 所以当时，， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以， 所以的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）可得时，在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 其中为的解，即， 所以不妨设． 由题意可得，即， 构造函数， ， 又，所以， 即， 两式相减得， 即， ， 又，所以， 即， 两式相减得， 即， 由，则，故， 所以， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $