湖南衡阳市衡阳县第一中学2026届高三学情调研（一）数学试卷

2026届高三学情调研（一） 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知是虚数单位，若复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 平面向量，满足，，且向量，的夹角为，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 若点既是，所连线段的中点，又是直线与的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的值域为，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体ABCD的每个顶点都在球O（O为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，抛物线的焦点为F，P为E上一动点，当P运动到点时，，直线l与E相交于A，B两点，则（ ） A. B. 若，则直线PF与圆C相切 C. 若M为C上一点，则的最小值为1 D. 存在直线l，使得A，B两点关于对称 11. 已知定义在上的函数的导函数为，若对任意，都有，且．则（ ）． A. 为偶函数 B. C. 的周期为4 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 展开式中，含项的系数为______. 13. 设等比数列的各项均为正数，其前n项和为，若，，则______. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线l垂直于双曲线的一条渐近线，直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若，则双曲线C的离心率e为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，. （1）求的值； （2）若是边上一点，，，求的周长. 16. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别为边AB，AC的中点．将沿EF翻折至，得到四棱锥，P为的中点． （1）证明：平面； （2）若平面平面EFCB，求直线与平面BFP所成的角的正弦值． 17. 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A，B，C三个位置分别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）．在A，B，C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3分，总分不低于4分就可以获得奖品，已知甲在A，B，C三处的投篮命中率分别为，且在这三处的投篮相互独立． （1）求甲未获得奖品的概率； （2）甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投个球，若这n个球都投进，则训练结束，否则额外在C处投个球．试问n为何值时，甲投篮次数的期望最大？ 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右焦点分别为，直线过分别交于A,B两点．当的倾斜角为时，． （1）求的标准方程； （2）为线段AB（不含端点）上任一点，射线OE与交于点，与直线交于点． ①若，求的最小值； ②若为线段AB的中点，判断并证明与以AB为直径的圆的位置关系． 19. 已知函数，是的导函数. （1）当，时，讨论的单调性. （2）是否存在a，b，使得为的极值点？若存在，求a，b满足的条件；若不存在，请说明理由. （3）若，，为最小的零点，证明：当时，. 2026届高三学情调研（一） 数学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】## 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）当时，甲投篮次数的期望最大 【18题答案】 【答案】（1） （2）①； ②当直线的斜率为0时，重合，不合题意。 当直线的斜率不为0时，直线的方程设为， 因为为中点，所以， 又，所以， 所以，所以直线方程为， 令，得， 由①可知， 所以 ， 所以为锐角，所以点在以为直径的圆外． 【19题答案】 【答案】（1）在上单调递增 （2）不存在，理由见解析 （3）证明见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $