湖南衡阳市衡阳县第一中学2026届高三学情调研（一）数学试卷

2026届高三学情调研（一） 数学 (时量：120分钟 满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.设全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合M={1,2,3,5},则CuM= ( A.{6,7} B.{4,6,7} C.{1,6,7} D.{1,2,3,4,5,6,7} 2.已知i是虚数单位，若复数之满足(1一i)z=2十i,则乏在复平面内对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3平面向量a,6满足1a=2,(3a-2b)·a+b)=9,且向量a,b的夹角为，则1b1=（ A.1 B号 C.3 D.2 4.若点P(1,3)既是A(a1,b1),B(a2,b2)所连线段的中点，又是直线l1:a1x十b1y一10=0与 l2:a2x十b2y-10=0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是 () A.x+3y-10=0 B.3x+y-10=0 C.x-3y=0 D.3x-y=0 (2-a)x+2a,x<1, 5.已知函数f(x)= > x-1 的值域为R,则实数a的取值范围是 ( A.(-∞，2) B.[-2,2) C.[-1,1) D.[-2,+∞) 6.已知a=2cos73°，则2sin228°-1 a√4-a2 A.-2 B.-1 c- D- 7.在某道选词填空题中，共有3个空格、4个备选单词，其中每个空格只选一个备选单词且只 有备选单词中的一个是正确的（备选单词中有一个是多余的）.若随机选择3个备选单词分 别填人3个空格，则3个空格全部选错的概率是 () A贵 &号 c a昌 8.已知四面体ABCD的每个顶点都在球O(O为球心)的球面上，△ABC为等边三角形，AB =BD=2,AD=√2，且AC⊥BD,则二面角AOC-D的正切值为 () A号 B.1 C.2 D.3 2026届高三学情调研（一）·数学【第1页，共4页】 扫描全能王创建 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分！ 9.若6=2,6=3，则下列判断正确的是 A.a+6=1 Rab<号 ca2+b<号 nbK号 10.已知圆C:(x一5)2+y2=12,抛物线E:y2=2x(p>0)的焦点为F,P为E上一动点，当 P运动到点(1，t)时，|PF|=2,直线1与E相交于A,B两点，则 (.) A.p=2 B.若|PC引=4，则直线PF与圆C相切 C.若M为C上一点，则|PM的最小值为1 D.存在直线L,使得A,B两点关于x十y一4=0对称 11.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意x,y∈R,都有f(x+y)一 f(x-y)=2f(1-x)f(y),且f(1)=1,则 () A.f(x)为偶函数 B.f'(0)+f'(2)=0 C.f'(x)的周期为4 D.f2(x)+f2(1-x)=1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.在(1一x)(x+1)4的展开式中，含x2的项的系数为」 13.设等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn,若a1=1,S=5S3一4，则S5= 4已知双曲线C一总1a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F过R,作直线1垂直于 双曲线的一条渐近线，直线L与双曲线的两条渐近线分别交于A,B两点，若AF=3FB, 则双曲线C的离心率e为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.(本小题满分13分) sin 2A cos B-cos C 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,1十cos2A=sinC-sinB (1)求cosA的值； (2)若D是边BC上一点，AD=DC=2BD,c=1,求△ABC的周长 2026届高三学情调研（一）·数学【第2页，共4页】 架 扫描全能王创建 16.(本小题满分15分) 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E,F分别为边AB,AC的中点.将△AEF沿EF翻 折至△A1EF,得到四棱锥A1-EFCB,P为A1C的中点. (1)证明：FP平面A1BE; (2)若平面A1EF⊥平面EFCB,求直线A1F与平面BFP所成角的正弦值 17.(本小题满分15分) 某学校举办趣味投篮比赛，选手需要在距离罚球线1米、2米、3米的A,B,C三个位置分 别投篮一次（选手自行选择投篮顺序）.在A,B,C三个位置投篮命中分别可得1分、2分、3 分，总分不低于4分就可以获得奖品.已知甲在A,BC三处的投篮命巾率分别为是，号， 是，且在这三处的投篮相互独立。 (1)求甲未获得奖品的概率； (2)甲参加投篮训练，训练计划如下：在C处先投n(n∈N”,n≤60)个球，若这n个球都投 进，则训练结束，否则额外在C处投(200一3)个球.试问n为何值时，甲投篮次数的期 望最大？ 2026届高三学情调研（一）·数学【第3页，共4页】 扫描全能王创建 18.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系中，已知椭圆C,十 若-1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,(-1,0), F2(1,0),过F2的直线1交C于A,B两点.当1的倾斜角为90时，AB|=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)E为线段AB(不含端点)上任一点，O为坐标原点，射线OE与C交于点P,与直线x= 4交于点Q. (i)若OP⊥AB,求|AB|+IOP|2的最小值； (ⅱ)若E为线段AB的中点，判断并证明点Q与以AB为直径的圆的位置关系， 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(x十a)十er-a(a,b∈R),f'(x)是f(x)的导函数 (1)当a=0,b=1时，讨论f(x)的单调性. (2)是否存在a,b,使得x=0为f(x)的极值点？若存在，求a,b满足的条件；若不存在， 请说明理由 (3)若1<a<2,b=1,xo为f(x)最小的零点，证明：当x∈(-一a,0)时，f(x)<f'(xo) 2026届高三学情调研（一）·数学【第4页，共4页】 餐 扫描全能王创建 参考答案 1.B【解析全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合M={1,2,3,5},所以CvM={4,6,7.故选B. 2D【解析由愿意知告+十号则：-号2故复数：在复平面内对应的点为 (分多在第四象限，故选D 3.A【解析】由(3a-2b)·(a+b)=9,得3a2+a·b-2b2=9,又a|=2,且向量a,b的夹 角为行，所以21b1+b1-3=0,解得1b1=1(负值舍)，故选A 4.D【解析】直线l1:a1x十b1y一10=0与直线l2:a2x十b2y-10=0的方程相减，可得(a1 a2)x+(b1-b2)y=0, 把点P1.3)代入，可得a1-a,+36,一6g)=0,所以k--{ a1-a2 3,又P(1,3)是 线段AB的中点， 所以线段AB的垂直平分线的方程是y-3=3(x一1)，即3x-y=0,故选D, 5.B【解析因为y=z在1，十∞)上单调递增y=-上在[1，+)上单调递增， 所以当x≥1时，f(x)=x-】单调递增，侧f(x)≥f1)=0.又函数f(x)的值域为R, 所以当x<1,函数y=(2-a)x十2a的值要取到(-∞，0)内的所有实数，所以2一a>0. 当2-a>0,即a<2时，函数y=(2-a)x+2a在(-∞，1)上单调递增，x→-o∞时，y→-∞， 当x=1时，y=2-a十2a=a十2≥0，即a≥-2，所以-2≤a<2,即实数a的取值范围是 [-2,2).故选B. 6.C【解析)2sin228°-1 2sin228°-1 c0s56° c0s56° av4-a 2cos73°·√4-4cos273 2cos73°·2sin73°= 2sin1460= c0s(90°-34) sin34° 2sin(180°-34°)2sin34° 子放选c 7.A【解析】假设4个单词分别是甲、乙、丙、丁，正确的顺序为甲乙丙. 第一类，选出的3个单词不包括丁，则符合要求的情况有乙丙甲，丙甲乙，共2种； 第二类，选出的3个单词包含丁，则从剩下的3个单词选两个有C种情况，不妨设选出的单 词为甲，乙，则符合要求的情况有乙甲丁，丁甲乙，乙丁甲，共3种，则共有3C=9(种)】 则符合要求的情况共有2+9=11（种），全部情况为A=24(种)，则3个空格全部选错的概 率是故滤A 8.C【解析】设E为AC的中点，连接BE,DE.因为△ABC为等边三角形，所以BE⊥AC,又 AC⊥BD,且BE∩BD=B,BE,BDC平面BDE,所以AC⊥平面BDE.又DEC平面 BDE,即AC⊥DE, 由题意易知，BE=√3，AE=CE=1,又AD=√2，所以DE=√AD-AE=1.因为BD= 2,所以DE2+BE2=BD2,即DE⊥BE,又AC∩BE=E,AC,BEC平面ABC,所以DE⊥ 平面ABC,而DEC平面ADC,则平面ADC⊥平面ABC. 2 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 扫描全能王创建 又DC=√DE+EC=√2，则DC2+AD2=AC,故△ADC为等腰 直角三角形 综上，四面体ABCD的球心O为△ABC的中心，即在线段BE靠近E 的三等分点处， 过点E作EF⊥OC交OC于点F,连接DF,易知∠EFD即为二面角 AOC-D的平面角， 在△0BC中.OE-S-,BC=1,可求得EF 3 2,又DE=1, 所以an∠EFD=DE-1=2,故选C EF 1 2 9.AB【解析】因为6=2,6=3，所以a十b=log2十1og63=log66=1,故A正确： 由a十b=1≥2va5可得ab≤号a≠h,等号不成立)，故B正确： 由“士产≥（兰y可得a+6>a≠6，等号不成立.放C错误： 因为6=log3=lcg92>1og,6-号故D错误。 故选AB. 10.ABD 【解析】因为当P运动到点1，)时，PF=1+之=2，所以p=2,故A正确； 抛物线E:y2=4x,其焦点F(1,0),圆C:(x-5)2+y2=12的圆心C(5,0),半径为r= 23, 设P(t),则|PC= -5)+=√6(2-122+16=4，解得=士25，则P(3, ±23)， 故直线PF的方程为y=士√3(x一1)，因为圆心C(5,0)到直线PF的距离为d= |±3(5-1)1=23=r √/1+3 所以直线PF与圆C相切，故B正确； 由上可知，|PC|≥4，即|PC的最小值为4，所以|PM|的最小值为4-2√3，故C错误； 假设存在直线l使得A,B两点关于x十y一4=0对称， 设直线1：2y+m=0A,Bz29,由0“消去x得，y4+4m =0, 则△=16-16m>0,解得m<1,又y1+y2=4,x1十x2=y1一m+y2-m=4-2m, 则42m+号-4=0，解得m=0<1,符合题意，故D正确， 2 故选ABD. 11.BCD【解析】根据题意f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),且f(1)=1, 令x=0,则f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),故f(y)+f(-y)=0, 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 3 扫描全能王创建 可只 故f(x)为奇函数，故A错误； 由f(.x)为奇函数可得f(0)=0,令x=1,则f(1十y)一∫(1一y)=2f(0)f(y)=0, 则f(2-x)-f(.x)=0,故-f'(2-x)-f'(x)=0, 即f'(2-x)十'(x)=0,因此f'(2)+f'(0)=0,故B正确： 由f(x)+f(一x)=0,得f'(x)一f'(一x)=0, 又f'(2-x)+f'(x)=0,所以f'(2+x)=-f'(-x)=-f'(x), 故f'(x十4)=-f'(x+2)='(.x), 故'(x)的周期T=4,故C正确； 令x=1-y,则f(1)-(1-2y)=2f(y),即f(1)-f(1-2x)=2f(x). 令y=1-x,则f(1)-f(2.x-1)=2f(1-x), 则2f(x)+2f(1-x)=2f(1)-f(1-2.x)-f(2x一1)=2f(1)=2, 方 故f2(x)十f(1-x)=1,故D正确. 故选BCD. 12.2【解析】因为(x+1)展开式的通项公式为T+1=C·x,k=0,1,2,3,4, 所以(1-x)(x+1)展开式中，含x2的项的系数为C号-C=2. 13.31【解析】由题意，设等比数列的公比为q(q>0),则1+g十g2+g3+g=5(1十q十g2)-4, 即q3+q=4q+4q2,所以q3+q2-4q-4=0,所以(q-2)(g+1)(g+2)=0. 又g>0,所以g=2.所以S5=1十2+4+8+16=31. 【解折如图，由题意可知BF,-b,则1A,=动，设∠F,OB=,则an8=名，于 是tan∠AOB=tan2a= 2tan a 1-tan'a 2b 即6 a a 1-()2 则哈=号=。2解得离心率= a 15.【解析l(1)由题设知sinC-sinB≠0，即b≠c,即B≠C. sin 2A cos B-cos C 因为十os2A-snC-sinB' 所以2 sin Acos A=sinA_cosB-cosC 2cos2A cos A sin C-sin B' 即sin Asin C-sin Asin B=cos Acos B-cos Acos C,所以cos(A-B)=cos(A-C), …3分 又一x<A一B<π，-π<A-C<π， 所以A-B=A一C或A一B=C-A,所以B=C(舍)或B十C=2A, 4 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 架 扫描全能王创建 因为A+B+C=元，所以A=号，则cosA=分 …6分 (2)方法一：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3.x, 在△ABD中，由余弦定理可得co∠ADB=2一 4x2 在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC-8r-b 8x2 由c0s∠ADB=-c0s∠ADC,可得18x2=b2+2,…9分 在△ABC中，由余弦定理可得9x2=1+b2-b, 联立解得=号6=2，所以△ABC的周长为AB十AC+BC=3十后.…13分 方法二：设BD=x,则AD=DC=2x,BC=3x,即CD=2D方， 故AD-AC=2成-A动)，故AD-号A+}AC, 所以A市=（号A馆+AC),可得36x2=4+62+2b, …9分 在△ABC中，由余弦定理可得9x2=1+b2一b, 程得z3b=2,所以△ABC的周长为AB+AC+BC=3+3. 16.【解析】(1)证明：取A1B的中点Q,连接PQ,EQ 易知PQ/BC,且PQ=2BC,又EFBC,且EF=号BC,故PQ/EF,且PQ=EF, 则四边形EFPQ为平行四边形，则FPEQ: 又FP史平面A1BE,EQC平面A1BE,故FP平面A1BE.… 6分 (2)取EF的中点O,BC的中点G,连接OG,OA1,则A1O⊥EF,OG ⊥EF.又平面A,EF⊥平面EFCB,且交线为EF,故A1O⊥平面 EFCB, 此时，OA1,OE,OG两两垂直，以O为原点，OE,OG,OA1所在直线 分别为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，…8分 则A1(0,0,W3),F(-1,0,0),B(2,3,0),C(-23,0), y 由P为AC的中点，得P(-1,,停。 则A=(-10,-).i=850.市=0，号. .10分 设平面BFP的法向量n=(x,y,z), n·F2=0,3,43 则 n·FB=0, ”即2y+22=0取x=1,则n=(1,-5,3).…12分 3x+√3y=0, 设直线A1F与平面BFP所成的角为O, 则sin0=lcos(A京，n1=ln·A=1-1-3_2w7 |nlA1Fl√7X√4 7 …14分 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 5 扫描全能王创建 所以直线A,F与平面BFP所成角的正弦值为2y 71 ……15分 17.【解析11)甲三次投篮都命中的概率为P=号×号× 3211 24’ …2分 甲三次投篮只命中两次且总分不低于4分的概率为 P,=1-x号x+×1-号x号- 15 …4分 所以甲未获得奖品的概率为P=1一P,一P,-器 …6分 (2)设甲的投篮次数为X,则X的分布列为 X 200-2n 1 ……8分 P 2 1一2 则EX)-2+(20-2n)X1-)=”220 2n+200, …10分 令f(n)=3n-20 2 2-2m+20(m∈N),则f(m+1）=3m-197-2m+198, 2n+1 所以f(m+1)-fm)=203-3m-2+ 2n+1 ，其中203一3n-2+2随n的增大而减小.… …12分 当n≤5时，203-3n-2+2>0,f(n+1)>f(n), 当n≥6时，203-3n-2m+2<0,f(n+1)<f(n), 所以f(1)<f(2)<f(3)<f(4)<f(5)<f(6)>f(7)>f(8)>f(9)>·, 故当n=6时，甲投篮次数的期望最大.… …15分 18.【解析】(1)因为F2(1,0),所以c=1, 由题得1AB1=2b2 a 3: 联立 2b2=3a,解得 a=2, a2-b2=1, =3, 所以精圆C的标准方程为号+芳-1。 4分 (2)当直线1的斜率为0时，不合题意 …5分 当直线l的斜率不为0时，设A(x1y1),B(x2y2),直线l的方程为x=my十1. (i)由 x=my十1， 3x2+4y2=12, 得(3m2+4)y2+6my-9=0, 4 [△=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0, 所以y十y2= 6m 3m2+41 9 y1y2= 音，时 3m2+4’ 所以y1-y2=√/y1+y2)2-4y1y2= 12m2+1 3m2+4 6 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 扫描全能王创建 所以AB1=Vm2+1·1y,-y:l-12(m+1) 3n2+41 …8分 因为OP⊥AB,所以直线OP的方程为y=一m., 人C的标准方程中W坊子3所以Op212m土HD 4m2+3 ，…9分 所以AB1+1OP1:=12(m2+)+12(m2+1) 4n2+33m2+4 -号tm+3+(emr+0水n+s3+ 1 -号e++m+3) 4m2+33m2+4 3m+4.4m2+3)=48, ≥片2+·3m+4 7, 当且仅当m+3=3m+4,即m2=1时等号成立，此时AB+1OP的最小值为9 所以AB+1OP:的最小值为8 …11分 (iⅱ)点Q在以AB为直径的圆外，理由如下： 因为E为AB的中点，所以E(12,十当)， 2 2 号+号-1+号-1，所以+++2=0， 3 4 3 所以如·ke=一子，所以直线OE的方程为)= 3 4nx,… 14分 令x=4,得Q(4,-3m),由(1)可知y1y2= 9 3m2+41 所以QA.QB=(x1-4)(x2-4)+(y1+3m)(y2+3m) =(my1-3)(my2-3)+(y1+3m)(y2+3m) =(m2+1)y1y2+9m2+9 -9(m2+1D+9(m2+10= = 27(m2+1)2 >0, 3m2+4 3m2+4 所以∠AQB为锐角，所以点Q在以AB为直径的圆外.… …17分 18.【解折11)当a=0,6=1时，fx)=lhx+e,则'(e)=是-e-C(>0). 记p(x)=e-x(x>0),则p'(x)=e-1,当x>0时，p'(x)>0,所以p(x)在(0，+o∞) 上单调递增，所以p(x)>p(0)=1, 则f(x)>0,即f(x)在(0，十∞)上单调递增.… …4分 2026届高三学情调研（一）·数学参考答案 7 扫描全能王创建