7.1.2 全概率公式（第1课时）课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.1.2 全概率公式 设A、B为随机事件，且P(A)>0，则在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率记为P(B|A). (1)求P(B|A)： (2)求P(AB)： ③直观意义 ①概率的乘法公式：P(A)>0时，P(AB)=P(A)P(B|A) ②A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B) 条件概率的公式 复习回顾 情景引入 小周是杭州亚运会赛事中心的一名志愿者，一次由于临时整理物资，他从学校出发晚了一点时间。已知他从学校出发共有三条路径可以到达亚运会赛事中心。 小周选择地铁、共享单车骑行、公交三种路径的概率分别是0.5、0.3、0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3、0.4、0.7。请问小周从学校到亚运会赛事中心迟到的概率是多少？ 情景引入 小周选择地铁、共享单车骑行、公交三种路径的概率分别是0.5、0.3、0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3、0.4、0.7。请问小周从学校到亚运会赛事中心迟到的概率是多少？ 思考1：这个事件分成几步完成？ 分成两步完成，第一步：选择出行路径；第二步因交通拥挤迟到 思考2：“迟到”有几种情况造成？ 乘坐地铁迟到；骑行共享单车迟到；乘坐公交迟到 思考3：“迟到”事件可以分成哪几个（互斥）事件的并事件？（请表述或表示） A1=“选择地铁”，A2=“选择共享单车”，A3=“选择公交”，B=“迟到” 事件B可以表示为三个互斥事件的并事件，即B=A1B ⋃ A2B ⋃ A3B 情景引入 小周选择地铁、共享单车骑行、公交三种路径的概率分别是0.5、0.3、0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3、0.4、0.7。请问小周从学校到亚运会赛事中心迟到的概率是多少？ 思考3：“迟到”事件可以分成哪几个（互斥）事件的并事件？（请表述或表示） A1=“选择地铁”，A2=“选择共享单车”，A3=“选择公交”，B=“迟到” 事件B可以表示为三个互斥事件的并事件，即B=A1B ⋃ A2B ⋃ A3B 思考4：如何计算P（B)？ P（B）=P（A1B ⋃ A2B ⋃ A3B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B） 思考5：如何计算P（A1B)？ P（A1B）=P（A1）P（B｜A1） 概率加法公式 概率乘法公式 情景引入 小周选择地铁、共享单车骑行、公交三种路径的概率分别是0.5、0.3、0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3、0.4、0.7。请问小周从学校到亚运会赛事中心迟到的概率是多少？ 解：设A1=“选择地铁”，A2=“选择共享单车”，A3=“选择公交”，B=“迟到” P（B）=P（A1B ⋃ A2B ⋃ A3B）=P（A1B）+P（A2B）+P（A3B） P（A1）=0.5，P（A2）=0.3，P（A3）=0.2 P（B｜A1）=0.3，P（B｜A2）=0.4，P（B｜A3）=0.7， =0.5×0.3+0.3×0.4+0.2×0.7 =0.41 我们把复杂事件B表示为三个互斥事件的并，由概率的加法公式和乘法公式，求得事件B的概率。 =P（A1）P（B｜A1）+P（A2）P（B｜A2）+P（A3）P（B｜A3） 情景引入 小周是杭州亚运会赛事中心的一名志愿者，一次由于临时整理物资，他从学校出发晚了一点时间。已知他从学校出发共有三条路径可以到达亚运会赛事中心。 小周选择地铁、共享单车骑行、公交三种路径的概率分别是0.5、0.3、0.2，而这三条路径拥挤导致迟到的概率分别是0.3、0.4、0.7。请问小周从学校到亚运会赛事中心迟到的概率是多少？ 引申：如果小周从学校到亚运会赛事中心有n条路径，，求他迟到的概率P(B)？ 全概率公式 我们称上面的公式为全概率公式. 全概率公式使用条件： ①A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件； ②A1∪A2∪…∪An=Ω；　 ③P(Ai)>0，且 . 全概率公式展开即为： P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+…+P(An)P(B|An) 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，P(Ai)>0，i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1，2，…，n)(Ai两两互斥，构成一个完备事件)所引起，则BAi发生的概率是P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 对全概率公式的理解 每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起，BAi(i=1，2，…，n)发生概率的总和，即全概率公式. 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 例4:某学校有东,西两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.请完成以下几个问题： P(B)= P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2)=0.5×0.6+0.5×0.8=0.7 因此,王同学第2天去A餐厅用餐得概率为0.7. 1.设事件B=“王同学第2天去A餐厅”，事件B有___步构成， 2.设出样本空间Ω 3.分别计算概率 4.用全概率公式计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率 两 第一步：第一天选餐厅(A或B)，第二步：第二天选A餐厅 设A1=“第一天选择A餐厅”， A2=“第一天选择B餐厅” P(A1)=P(A2)=0.5; P(B|A1)=0.6, P(B| A2)=0.8, 全概率公式针对的是已知一定的条件，求出某个结果的概率问题， 解题步骤一般如下： 1.设出事件(例如可以用B表示）. 2.划分样本空间Ω，Ω=A1∪A2∪……∪An, 找到导致事件B发生的原因。 3.计算有关事件的概率 ： 4.由全概率公式求出概率： P(A1)，P(A2)…… P(An ) P(B|A1 ) ,P(B| A2)….. P(B|An ) 方法总结 1.从有2个红球和3个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，求： （1）第1次摸到红球的概率？ （2）第2次摸到红球的概率？ 随堂练习 随堂练习 2、(P52T1)现有12道四选一的单选题，学生张君对其中9道题有思路，3道题完全没有思路.有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25.张君从这12道题中随机选择1题，求他做对该题的概率。 解：设事件A=“对所选的题目有思路”， =“对所选的题目完全没有思路”， 事件B=“做对所选的题目”. 由全概率公式，得 即他做对该题的概率为0.7375. 3、(P52T4)甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个红球、5个白球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，从乙箱子中随机摸出1个球.求摸到红球的概率. 解：记A1=“从甲箱摸球”，A2=“从乙箱摸球”，且A1，A2互斥. B=“摸到红球”，则B=A1B∪A2B 由全概率公式得， P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2) 随堂练习 $