7.1.2 全概率公式 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.1.2 全概率公式 【学习目标】 1.结合古典概型,了解利用概率的加法公式和乘法公式推导出全 概率公式的过程. 2.结合古典概型,会利用全概率公式计算概率. .了解贝叶斯公式. 复 习 概率的加法公式: 概率的乘法公式: 当A、B事件互斥时, 从有a个红球和b个蓝球的袋子中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.显然,第1次摸到红球的概率为.那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢? 思 考 红球 红球 蓝球 第一次摸球 第二次摸球 解:设A1=“第1次摸到红球”,A2=“第2次摸到红球”, B=“第2次摸到红球” 事件B可按第1次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事件的并,即B=A1BUA2B. 例1 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. A1 B A2 第一天吃饭 第二天吃饭 例2 某学校有A,B两家餐厅,王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.6;如果第1天去B餐厅,那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 解:设A1=“第1天去A餐厅用餐”, A2=“第1天去B餐厅用餐”, B=“第2天去A餐厅用餐”. 根据题意得:B=A1BUA2B P(A1)=P(A2)=0.5, P(B| A1)=0.6 ,P(B| A2)=0.8, 由全概率公式,得 P(B)= P(A1B)+P(A2B) =P(A1) P(B| A1)+ P(A2) P(B| A2)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7 因此,王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7. 总 结 推 广 按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率. A1B B A2B A3B AiB AnB ……… …… P(A1) P(Ai) P(An) P(A2) P(A3) P(B|A1) P(B|Ai) P(B|An) P(B|A2) P(B|A3) 知识点一 全概率公式 1.概念 若样本空间 中的事件,, , 满足: (1)任意两个事件均_,即 , ,,2, , , ; (2) _; (3),,2, ,,则对任意的 事件 ,有 _ _, 称该公式为_. 互斥 全概率公式 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“ ”) (1)在全概率公式中,,, , 必须是一组两两互斥的事 件.( ) √ (2)使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间. ( ) √ (3)设,为任意两个随机事件,则与 是互斥的.( ) √ (4)全概率公式 的本质是将样本 空间分成互斥的两部分后得到的.( ) √ 探究点一 全概率公式的简单运用 [素养小结] 全概率公式针对的是某一个过程中已知条件求结果发生的概率,解 题步骤如下: (1)按照某种标准将条件事件分解为<m></m>个彼此互斥事件的并,将这<m></m> 个事件分别命名为<m></m>; (2)命名目标的概率事件为事件<m></m>; (3)分别计算<m></m>; (4)代入全概率公式求解. 练3 已知甲箱中有厚度相同的2本文学小说和3本散文集,乙箱中有 厚度相同的3本文学小说和2本散文集. (1)若从甲箱中随机取出2本书,求在2本书中至少有1本是文学小 说的条件下,恰有1本是散文集的概率; 解:(1)设“2本书中至少有1本是文学小说”, “2本书中恰有1本是散文集”,则 . (2)若从两箱中随机选择一箱,然后从中随机取出1本书,求取到1 本文学小说的概率. (2)设“取到的书来自甲箱”,“取到的书来自乙箱”, “取到1本文学小说”, 则 . 例3 已知某仓库一批产品中的, , 分别是甲、乙、 丙厂生产的,且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为,, . 现从这批产品中任取一件,求取到次品的概率. 解:设“取到的产品是甲厂生产的”, “取到的产品是乙厂生产的”, “取到的产品是丙厂生产的”, “取到的产品为次品”, 则,, , ,, , 由全概率公式,得 . 探究点二 多个事件的全概率问题 练习 甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙 袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中不放回地取 两次,每次取1个球. (1)求第一次取出的球是红球的概率; 解:设“第一次取出的球是红球”,=“取到甲袋” , =“取到乙袋”, =====“取到丙袋”, 由全概率公式可得 . 练习 甲袋中有3个白球和2个红球,乙袋中有2个白球和3个红球,丙 袋中有4个白球和4个红球.先随机取一只袋,再从该袋中不放回地取 两次,每次取1个球. (2)求在第一次取出的球是红球的前提下,第二次取出的球是白球 的概率. 解:设“第二次取出的球是白球”为事件 ,由全概率公式可得 ,故 . 例4 有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%. (1)任取一个零件,计算它是次品的概率; (1)解:设A1=“零件为第1台车床加工”,A2=“零件为第2台车床加工”, A3=“零件为第3台车床加工”,B=“任取一个零件为次品”, 由题意得:P(A1)=0.25, P(A2)=0.3, P(A3)=0.45, P(B|A1)=0.06, P(B|A2)= P(B|A3)=0.05. 由全概率公式得:P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B) =P(A1) P(B|A1)+ P(A2) P(B|A2)+P(A3)P (B|A3) =0.25 0.06+0.3 0.05+0.45 0.05=0.0525 (2)如果取到的零件是次品,计算它是第1台车床加工的概率. 思 考 解: 同理可得 ; 例5 在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. 发送0(A0) 发送1( ) 接收0(B0) 接收1(B1) A1 (1)分别求接收的信号为0和1的概率。 (2)已知接收的信号为0,求发送的信 号是1的概率。 发送0(A0) 发送1( ) 接收0(B0) 接收1(B1) A1 解:设A0=“发送的信号为0”,A1=“发送的信号为1”, B0=“接收到的信号为0”,B1=“接收到的信号为1”. 知识点二 贝叶斯公式 贝叶斯公式:设,, , 是一组两两互斥的事件, ,且,,2, , ,则对任意 的事件 ,,有 _ _,,2, , . 探究点三 贝叶斯公式的应用 练3 小张去某地参加会议,他乘高铁、汽车、飞机去的概率分别为 , ,,他乘高铁、汽车、飞机前往迟到的概率分别为,, ,若 他迟到了,求他乘的是高铁的概率. 练4 现有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为 ,第 2,3台加工的次品率均为 ,加工出来的零件混放在一起,已知第1, 2,3台车床加工的零件数分别占总数的,, ,任取一个 零件,若取到的零件是次品,则它是第1台车床加工的概率是_. [解析] 设事件“任取一个零件为次品”,事件 “任取一个零件 是第台车床加工的”,则样本空间 ,且 ,,两两互斥. 根据题意得, ,,, , , 由全概率公式,得 , 所以由贝叶斯公式得 . [素养小结] 贝叶斯公式针对的是某一个过程中已知结果发生求事件过程中某个 条件成立的概率,解题步骤如下: (1)按照某种标准将目标条件事件分解为<m></m>个彼此互斥事件的并, 将这<m></m>个事件分别命名为<m></m>; (2)命名已知发生的结果为事件<m></m>; (3)分别计算<m></m>和<m></m>; (4)代入贝叶斯公式<m></m>求解. 课堂小结 1.使用全概率公式的前提: (1)任意两个事件均互斥,即 ,,,2, ,, ; (2) ; (3),,2, , . 2.全概率公式的使用 把事件看作某一过程的结果,把,, , 看作该过程的若干个原 因,根据历史资料,每一个原因发生的概率已知即已知 ,而且每 一个原因对结果的影响程度已知即已知 ,则可用全概率公式 计算结果发生的概率即求 . 3.对全概率公式的理解 某一事件的发生可能有各种的原因,如果 是由原因 所引起,则发生的概率 , 每一原因都可能导致发生,故发生的概率是各原因引起 发生概 率的总和,即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成“由原因 推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可 能性与各种原因的“作用”大小有关. 视频欣赏:有趣的三门问题 视频欣赏:有趣的三门问题 $