精品解析：山东济南第一中学2025-2026学年高二下学期期中学情检测数学试题

济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 220 D. 380 7. 某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为512 B. 不存在常数项 C. 含项的系数为45 D. 第6项的系数最大 10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为对立事件 B. C. D. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）. 14. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求展开式中含的项； （2）设，求的值. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当时，． 17. 某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球. （1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； （2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望. 18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南一中2024级高二期中学情检测 数学试题 说明：本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，共11题，第Ⅱ卷为第3页至第4页，共8题.请将答案按要求填写在答题纸相应位置，答在其它位置无效，考试结束后将答题卡上交.试题满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 2. 已知，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，且等号仅在  时成立， 所以在上严格单调递增， 由可得，解得或， 所以不等式的解集为. 3. 已知随机变量服从两点分布，且，设，那么的值是（     ） A. 0.84 B. 0.7 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合两点分布的方差公式和方差性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从两点分布， 所以由题，又， 所以. 故选：A. 4. 设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数极值点的关系判断可得出合适的选项. 【详解】因为函数在处取得极小值， 在左侧附近，，此时，， 在右侧附近，即存在，使得当，使得， 此时，，C选项合乎题意. 故选：C. 5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说“很遗憾，你和乙都没有得到冠军．”对乙说“你当然不会是最差．”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况？（ ） A. 27种 B. 36种 C. 54种 D. 72种 【答案】C 【解析】 【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果． 【详解】解：由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况； 再排甲，也有3种情况； 余下3人有种排法．故共有种不同的情况． 故选：C. 6. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. 220 D. 380 【答案】A 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 所以展开式含项的系数为 . 7. 某权威机构推荐，当前中国五大旅游城市为北京、上海、成都、杭州、西安，甲、乙、丙三人准备去这五座城市旅游，若每座城市只能去一人，且每座城市均有人选择去旅游．记事件“乙至少选择了两座城市旅游”，“甲只选择了北京旅游”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出和，利用条件概率公式即可求解. 【详解】将这五座城市按1，1，3或1，2，2分成三组的方法数为， 再安排给3人，总方法数为， 其中乙至少选择了两座城市旅游的方法数为，所以， 而事件与都发生的所有可能结果有，即， 所以所求概率为． 故选：C． 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解． 【详解】解：函数，开口向下，对称轴为， 时，， ，， 令，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， ，又， 则时，， 对，，使成立， ， ，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 二项式系数和为512 B. 不存在常数项 C. 含项的系数为45 D. 第6项的系数最大 【答案】BC 【解析】 【分析】求出展开式的通项，根据二项式系数的定义即可判断A；令的指数等于即可判断B；令的指数等于即可判断C；根据系数性质即可判断D. 【详解】的展开式通项为，，1，…，10， 的二项式系数和为，故A不正确； 令，解得，故展开式不存在常数，B正确； 令，解得，故含项的系数为，C正确； 当时，的展开式的第6项的系数为， 当为奇数时系数小于0，当为偶数时，的展开式 第5项与第7项的二项式系数分别为与相等且最大，D不正确； 故选：BC. 10. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有2个红球，8个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ） A. 为对立事件 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对立事件定义可判断A；根据条件概率及全概率公式计算可判断BCD. 【详解】对于A，因为甲罐中只有红球和白球，即， 所以为对立事件，故A正确； 对于B，当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时，故B正确； 对于C，当发生时，乙罐中有2个红球，9个白球，此时， 所以，故C不正确； 对于D，，故D正确， 故选：ABD． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时，，，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】4或7 【解析】 【分析】根据组合数的性质，列式计算可得答案. 【详解】由可得或， 解得或， 故答案为：4或7 13. 有5名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院这三个地方去服务，每个地方至少有1名学生，则不同的分配方案有____种（用数字作答）. 【答案】150 【解析】 【分析】由题意可知，由两种分配方案分别为2，2，1型或3,1,1型，每一种分配全排即可. 【详解】解：将5名志愿者分配到这三个地方服务，每个地方至少1人，其方案为2，2，1型或3,1,1型．其选法有或，而每一种选法可有安排方法，故不同的分配方案有150种． 故答案为150． 【点睛】本题考查了排列与组合的计算公式、“乘法原理”等基础知识与基本方法，属于中档题． 14. 已知定义在上的偶函数的导函数为，且当时，恒有若有，则实数的取值范围为____ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，求导得到其单调性，判断奇偶性，可得，进而可解． 【详解】因为， 所以， 即， 设， ， 当时，恒有， 故时，，单调递减，， 则是偶函数， 则， 解得，即． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知展开式中只有第5项的二项式系数最大. （1）求展开式中含的项； （2）设，求的值. 【答案】（1）；（2）0. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数的最大项求得，再利用二项式展开式的通项公式即可求得的项； （2）利用赋值法，即可容易求得结果. 【详解】（1）因为展开式中只有第5项的二项式系数最大，所以 ，， 所以当时，. （2）令，得， 又， 所以 【点睛】本题考查二项式系数的单调性，以及用二项式展开式通项公式求指定项系数，以及用赋值法求系数和，属综合基础题. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直． （1）求函数的单调区间和极值； （2）求证：当时，． 【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；，无极大值；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求出的值，然后由导函数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极值， （2）由，令，求导后利用导数求出函数的最大值小于等于零即可 【详解】（1）解：定义域：， ∵，∴， 当时，；当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ，无极大值． （2）证明：由（1）知， 令， 则， ，，， ∴，即在上单调递减， ， ∴当时，． 17. 某班级联欢会设置抽奖环节，在一个不透明的盒子中装有9个大小相同的小球，其中6个红球，3个白球.规定：每位同学从中一次性随机摸出3个球. （1）求某位同学摸出的红球个数多于白球个数的概率； （2）设随机变量表示该同学摸出的3个球中白球的个数，求的分布列并求其期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解即可； （2）随机变量的可能取值并求出每个值的概率即可求解 【小问1详解】 从9个球中摸出3个球，共有种， 其中红球个数多于白球个数的情况有：3红0白，2红1白两种情况， 所以一共有种可能， 所以摸出的红球个数多于白球个数的概率为. 【小问2详解】 由题意可得， 且，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 . 18. 甲，乙两人参加投篮比赛，比赛规则如下：首次投篮者由抽签决定，后续两人轮流投篮，每人每次投一个球，投进得1分，投不进不得分，两人投进与否相互独立，甲乙两人各完成一次投篮记为一轮比赛.比赛过程中，只要有选手领先对方2分，则该选手获胜且比赛结束（不管该轮比赛有没有完成）.已知甲每次投进的概率为，乙每次投进的概率为.第一轮投篮后甲乙两人各积1分的概率为.记比赛结束时甲乙两人的投篮总次数为. （1）求； （2）求在的情况下，乙获胜的概率； （3）求甲在3轮比赛之内获胜的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）分析题意，分别计算出时的概率及时甲晋级的概率，再借助条件概率公式计算即可得； （3）可能为3、4、5、6，分类讨论，列出符合要求的所有情况并计算其概率后求和即可得. 【小问1详解】 由题意可知： ∴ 【小问2详解】 当时，甲，乙两人共投篮3次 由于比赛结束，故有一人投篮2次全进，另一人投篮1次未进 设“时，比赛结束”，“乙获胜” ； 【小问3详解】 若甲在3轮比赛之内获胜，则两人可能的投篮总次数为3，4，5，6 设“甲获胜”，“时比赛结束” 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：甲进，乙不进，甲进， ∴ 当时，若甲胜，两人的投篮情况一定为：乙不进，甲进，乙不进，甲进， 则 当时，若甲胜，两人的投篮情况可能为： 甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； ∴ 当时，若甲胜，则乙先投篮，两人的投篮情况可能为： 乙不进，甲进，乙不进，甲不进，乙不进，甲进； 乙不进，甲不进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； 乙不进，甲进，乙进，甲进，乙不进，甲进； 乙进，甲进，乙不进，甲进，乙不进，甲进； ∴ ∴甲在3轮比赛之内获胜的概率为 19. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）对于函数，，若存在，使，则称函数与为“互补函数”， ，为“互补数”.已知当时，函数与为“互补函数”且互补数为. （ⅰ）是否存在，使？并说明理由； （ⅱ）若，，请用含有的代数式表示的最小值. 【答案】（1）答案见解析 （2）（ⅰ）存在，理由见解析；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）求导后根据参数的范围分类讨论可得； （2）（i）由互补函数的定义结合代入可得； （ii）由互补函数的定义构成方程组解出的表达式，再构造函数求导，二次构造和求导分析单调性和最值可得. 【小问1详解】 ∵，∴， ①当时，，∴在上单调递减， ②当时令得，令得， ③当时令得，令得. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【小问2详解】 ∵与为“互补函数”， ∴存在，使， （ⅰ）若，则即， ∴，. （ⅱ）设，则， 即即， ∴①+②得③， ①-②得④， 得， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，，则， 设，则， 设，则在上恒成立， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒大于0，∴在上单调递增 ∴，∴在上恒成立 ∴在上单调递增， ∴， ∴的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $