精品解析：山东省淄博市实验中学、齐盛高级中学2024-2025学年高二下学期期5月期中数学试卷

2025年 淄博实验中学齐盛高中高二第二学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分. 1. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 2. 已知是等比数列，若，则的公比（ ） A. 4 B. 2 C. D. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（ ）个. A. 120 B. 240 C. 180 D. 60 5. 已知的二项式系数的最大值分别为，，则正整数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A＝“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 26 B. 36 C. 38 D. 46 二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的数为 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有三个不同的交点 B. 函数存在最小值但没有最大值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则k∈ 11. 数列的各项均为正数，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种__________． 13. 同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________. 14. 已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和为． 16. 已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． （1）求{}和{}的通项公式； （2）若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年 淄博实验中学齐盛高中高二第二学期期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题6分，共40分. 1. 为等差数列的前项和，已知，则为（ ） A. 25 B. 30 C. 35 D. 55 【答案】D 【解析】 【分析】由题意及等差数列的性质可得的值，而，代值计算即可． 【详解】由题意及等差数列的性质可得，解得， . 故选：． 2. 已知是等比数列，若，则的公比（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质及基本量计算求解即可. 【详解】由等比数列的性质可知，， 所以，又，所以，则. 故选：B. 3. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先对函数求导，然后求出函数在处的导数值和函数值，然后求出切线方程. 【详解】因为，所以. 所以切线的斜率为.又， 所以切线方程为，即. 故选：C. 4. 自然对数e也称为欧拉数，它是数学上最重要的常数之一，e的近似值约为2.7182818…，若用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有（ ）个. A. 120 B. 240 C. 180 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用排列法公式计算即可. 【详解】用欧拉数的前5位数字2、1、7、8、2设置一个5位数的密码，则不同的密码有. 故选：D. 5. 已知的二项式系数的最大值分别为，，则正整数（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式系数的最大值结合题设条件，利用组合数的阶乘公式化简计算即得. 【详解】因是偶数，为奇数，根据二项式系数的最值可得. 由，可得，即， 化简得，解得. 故选：A. 6. 现有两位游客来淄博旅游，他们分别从淄博海岱楼、淄博市博物馆、鲁山森林公园、红叶柿岩景区、蒲松龄故居、周村古商城、这6个景点中随机选择1个景点游玩.记事件A＝“两位游客中至少有一人选择淄博海岱楼”，事件B＝“两位游客选择的景点不同”，则P(B|A)＝（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式求出，，然后利用条件概率公式即得. 【详解】由题可得 所以 故选：D. 7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导函数的符号，转化求解表达式的最小值，然后推出的范围． 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解， 所以成立， 由于，所以， ， 则实数的取值范围是． 故选：D. 8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. 26 B. 36 C. 38 D. 46 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出及前n项和，再利用对勾函数的性质求出最小值. 【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，， 因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，， 而，则数列是等差数列， 于是，， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以时，取得最小值38. 故选：C 二、多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大，则 B. 若，则 C. 被8除的余数为1 D. 的展开式中含项的数为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求解可判断A；利用赋值法求解判断B；利用二项式定理求解判断C；逆用二项式定理，进而利用二项式的展开式的通项公式求得的系数判断D. 【详解】对于A，由二项式的展开式中，第4项的二项式系数最大， 可得，解得，故A错误； 对于B，令，可得，令，可得， 所以，故B正确； 对于C，因为， 所以被8除的余数为7，故C错误； 对于D，因为 ， 所以的通项公式为， 所以的系数为，故D正确. 故选：BD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数与轴有三个不同的交点 B. 函数存在最小值但没有最大值 C. 若当时，，则的最大值为 D. 若方程有1个实根，则k∈ 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：令运算求解即可；对于B：利用导数求单调性和最值；对于C：根据选项B的最值即可得结果；对于D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点，采用数形结合的方式可求得. 【详解】由题意可知：定义域为， 对于选项A：令，则，解得， 所以函数与轴有两个不同的交点，故A错误； 对于选项B：因为， 当时，；当时，； 可知在，上单调递减，在上单调递增； 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0， 可知函数有最小值，无最大值，故B正确； 对于选项C：因为函数有最小值， 若当时，，则， 所以的最大值为，故C正确； 对于选项D：方程有1个实根等价于与有1个不同交点， 结合图象可知：，故D错误. 故选：BC. 11. 数列的各项均为正数，，函数在点处的切线过点，则下列正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列是等比数列 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由导数的意义求出切线的斜率与由斜率的定义式化简可得，代入和可得A错误；构造数列可得B正确，构造数列后由可得C错误；由等比数列的定义可得D正确. 【详解】由得， 所以切线的斜率， 因为各项均为正数，所以化简可得， 对于A，当时，，即； 当时，，即， 所以，故A错误； 对于B，， 所以数列是以首项，公比为3的等比数列，故B正确； 对于C，因为，则，且，故C错误； 对于D，因为，且，则， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙等5位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙在不同一所学校，则不同的安排方法有种__________． 【答案】 【解析】 【分析】先将甲乙两人安排到不同学校，再根据分步乘法计数原理，利用间接法计算即可. 【详解】设学校为，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在，乙在，只需剩余3人至少有1人去即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有种不同安排方法. 故答案为：. 13. 同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率___________. 【答案】0.86 【解析】 【分析】由全概率公式计算所求概率. 【详解】由全概率公式，得所求概率. 故答案为：. 14. 已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】依题将问题转化为不等式在上恒成立，设，通过求导判断函数的单调性，求得，从而推得，即得a的取值范围. 【详解】函数的定义域为， 由可得，即在上恒成立. 设，则，设，显然在上单调递增， 因，故存在，使得，则，即. 当时，，则在上递增；当时，，则在上递减. 故当时，，故有， 即得，故正数a的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，且满足． （1）求数列的通项公式； （2）已知，求数列的前n项和为． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到是以1为首项，2为公比的等比数列，得到数列的通项公式； （2），结合等差数列和等比数列求和公式进行分组求和. 【小问1详解】 ①， 当时，，解得， 当时，②， 式子①-②得，故， 因为，所以，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以； 【小问2详解】 ， . 16. 已知数列{}为等差数列，，，数列{}的前n项和为，且满足． （1）求{}和{}的通项公式； （2）若，数列{}的前n项和为，且对恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）求解等差数列{}通项公式，只需设参数，d列方程组即可求解，数列{}通过已知前n项和求解通项公式； （2）需要先用错位相减法求得数列{}的前项和为，代入不等式中对分类讨论，转化为最值问题，求出范围即可． 【小问1详解】 解：等差数列{}中，设公差为d， 则 数列{}中的前n项和为，且① 当时， 当时，② ②－①得： 故数列{}是以1为首项，3为公比的等比数列，所以. 【小问2详解】 解：数列{}中，. 则 所以 故 所以 ∵对恒成立． 当为奇数时，， 当为偶数时， 综上：实数的取值范围为． 17. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由切点在切线上可得，再由导数的几何意义即可求得，从而得到结果； （2）根据题意，求导得，得到其极值，再由函数解析式求得，，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，切点在切线上， 则，即，且， 而在点处的切线斜率为2，即，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，则，且 令，即，故， 令，即，故或， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值，且， 当时，有极大值，且， 且，， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 18. 已知函数. （1）求在处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）若、，讨论与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围； （3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小. 【小问1详解】 因为，则，所以，又 所以在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 19. 已知函数． （1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数在上的最大值在区间内，求整数m的值． 【答案】（1）单调递增，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，对导函数因式分解，进而得到导函数大于0，得到函数单调递增； （2）求导，结合隐零点得到在上单调递增，在上单调递减，求出的最大值，进而构造函数，得到，得到整数的值． 【小问1详解】 ，， 当时，，，，， ∴在单调递增． 【小问2详解】 ， 令，则，所以在上单调递增， 因为，， 所以存在，使得，即，即， 故当时，，当时，， 又当时，（等号仅在时成立）， 所以当时，， 当时，（等号仅在时成立）， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，，则，， 所以在上单调递增，则，， 所以，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $