精品解析：2026年内蒙古赤峰市松山区中考二模数学试题

2026年中考模拟测试（二）数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 节约用电5千瓦记作＋5千瓦，则浪费电3千瓦记作（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 某校进行《西游记》，《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到《三国演义》的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 10. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 11. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小了_____． 12. 如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 三、解答题（本题共6小题，计64分） 13. 计算与化简： （1）； （2）． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 15. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 16. 如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径； 17. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 18. 已知是等边三角形，D是直线上的一点． （1）问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：； （2）点G，H分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考模拟测试（二）数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题：（本大题8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑） 1. 节约用电5千瓦记作＋5千瓦，则浪费电3千瓦记作（ ） A. 千瓦 B. 千瓦 C. 千瓦 D. 千瓦 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，解题思路是根据题目给定的正方向，确定相反意义的量的符号. 【详解】∵题目规定节约用电记为正，节约用电千瓦记作千瓦， ∴与节约用电意义相反的浪费电应当记为负， 因此浪费电千瓦记作千瓦， 所以答案选C. 2. 数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根据几何体的展开图还原几何体，熟知圆锥的展开图是解题的关键．根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，即可得到答案． 【详解】解：根据展开图可知该几何体侧面是扇形，下面是圆形，则该立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 某校进行《西游记》，《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》四大名著的阅读活动，小明从中任取一本，恰好抽到《三国演义》的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式，用符合要求的结果数除以所有等可能的总结果数即可求解． 【详解】解：∵共有4本不同的名著，任取一本时所有等可能的结果共4种，其中抽到《三国演义》的结果只有1种， ∴所求概率． 4. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A：∵ 与 不是同类项，不能合并，∴ A计算错误； 选项B：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ，∴ B计算错误； 选项C：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，得 ，∴ C计算正确. 选项D：根据完全平方公式，得 ，∴ D计算错误. 综上，答案选C. 6. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 7. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设共有辆车，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是抓住总人数不变的等量关系，分别用两种乘车情况表示总人数，即可列出对应方程 【详解】∵设共有辆车，总人数保持不变， 若每3人乘一车，剩余2辆空车，实际乘车的车辆数为，总人数可表示为， 若每2人乘一车，剩余9人步行，总人数可表示为， ∵两种情况总人数相等， ∴可得方程，对应选项为A 8. 如图，将正方形沿折叠，使得点与对角线的交点重合，为折痕，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键. 根据折叠得出，，利用相似三角形的判定和性质得出，再由正方形的性质求解即可. 【详解】解：∵正方形沿折叠， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， 故选：D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 9. 写出一个使在实数范围内有意义的整数x的值_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：在实数范围内有意义， ， 解得， 使在实数范围内有意义的整数可以为． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，坐标与图形性质，得A，C关于原点对称，可得点C的坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴A，C关于原点对称， ∵， ∴． 11. 汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小了_____． 【答案】0.04 【解析】 【分析】本题考查函数的图象，能够从图象中得到关键信息是解题的关键． 根据图象中的信息即可求解． 【详解】解；从图象中可知，当时，，当时，，则摩擦系数减小了． 12. 如图，是的直径，点在上，连接．过点作的垂线，垂足为在的垂线上截取交于点，连接，交于点．若，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 三、解答题（本题共6小题，计64分） 13. 计算与化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 100；补全条形图如图所示： （2）900名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可； （2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解； （3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， 所以喜欢小品的人数为（人）， 图略； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：估计喜欢小品节目类型的人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率． 15. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元 （2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． 【小问2详解】 设蓝球有个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着的减小而减小； ∵且为整数， 当最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 16. 如图，在Rt中，D是的中点，，．若点O为上一点，且三点均在上，连接，与相切于点． （1）求证：四边形是菱形 （2）求证：是的切线； （3）若，求的半径； 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由，，得到四边形为平行四边形，再根据斜边中线等于斜边一半得到，即可证明平行四边形为菱形． （2）连接，证明，得到，由切线的性质得到，即可证明是的切线； （3）先求出，设半径为，则，再根据列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：，， 四边形为平行四边形， 又，且为中点， ， 平行四边形为菱形． 【小问2详解】 证明：∵平行四边形为菱形， ， 连接，如图， ， ， ， 切于， ， ， 点在上， 与相切， 【小问3详解】 解：四边形为菱形， ， ， 又， ， ， ， ， ； 设半径为， ， ， ， ∴， ∴， 解得：． 17. 综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系． 【研究条件】 条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数=现场总人数-已入场人数； 条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人． 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数与安检时间之间满足关系式： 结合上述信息，请完成下述问题： （1）当开通3条安检通道时，安检时间分钟时，已入场人数为__________，排队人数与安检时间的函数关系式为_________. 【模型应用】 （2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？ （3）已知该演出主办方要求： ①排队人数在安检开始10分钟内（包含10分钟）减少； ②尽量少安排安检通道，以节省开支． 若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由? 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性． 【答案】（1）；；（2）当时，；（3）最少开7条通道 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意得安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），与的函数表达式为； （2）根据二次函数的性质可得出结论； （3）运用二次函数的性质解答即可 【详解】解：（1）若开设3条安检通道，安检时间为分钟，则已入场人数为（用表示），若排队人数为，则与的函数表达式为 （2） 当时， （3）设开了条通道则： 对称轴为 ∵排队人数10分钟（包括10分钟）内减少 ，即： 又最多开通9条 为正整数， 最小值为7 ， 最少开7条通道； 18. 已知是等边三角形，D是直线上的一点． （1）问题背景：如图1，点D，E分别在边，上，且，与交于点，求证：； （2）点G，H分别在边，上，与交于点，且． ①尝试运用：如图2，点D在边上，且，求的值； ②类比拓展：如图3，点D在的延长线上，且，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）①3；②或 【解析】 【分析】（1）利用证明，再由等量代换证明； （2）①在上截取，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，再由平行线的性质可得，即设，，则，由，可得，，从而得到等式，求出，即可求；②延长至，使，连接交于点，过点作交于点，由（1）可知，则，可得，设，，则，可知，再由，分别得到，，从而得到方程，求出或，即可求或． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①在上截取，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ， ，， ， ， ， 设，，则， ， ，即， ， ， ， ， 解得或（舍）， ； ②延长至，使，连接交于点，过点作交于点， 由（1）可知， ， ， 设，，则， ， ， ， ，， ，， 解得或， 或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行分线段，熟练掌握性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $