精品解析：2025年内蒙古赤峰市松山区中考二模数学试题

松山区九年级模拟考试（二） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 2025的相反数是 B. 2025的倒数是 C. 算术平方根等于它本身的数是0和1 D. 绝对值等于相反数的数是0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数，倒数，平方根的相关概念及计算，掌握以上知识的计算是关键． 根据相反数，倒数，平方根的相关概念及计算判定即可． 【详解】解：A、的相反数是，原选项错误，不符合题意； B、的倒数是，原选项错误，不符合题意； C、算术平方根等于它本身的数是0和1，正确，符合题意； D、绝对值等于相反数的数是非正数，选项错误，不符合题意； 故选：C ． 2. 如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误， 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项，掌握整式的混合运算法则是关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘除法，合并同类项的计算法则判定即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 4. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 不足4个 D. 6个或6个以上 【答案】D 【解析】 【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案． 【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选D． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 5. 如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1．据此可作出判断． 【详解】解：从左面看可得到从左到右分别是3，1个正方形． 故选C． 【点睛】查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字． 6. 下列正确命题的个数是（ ） ①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了特殊的四边形的判定，解题关键是牢记几种特殊四边形的概念与判定方法，本题依次判断即可． 【详解】解：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故命题①错误； ②四条边相等的四边形是菱形，故命题②错误； ③有一个角是直角的平行四边形是矩形；故命题③正确； ④对角线相等的平行四边形是矩形，故命题④正确； ⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故命题⑤正确； 综上所述：命题正确的有3个， 故选：C． 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性可对②进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对③④进行判断；根据二次函数的增减性可对⑤进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为y=ax（x-4）， 把（-1，5）代入得5=a×（-1）×（-1-4），解得a=1， ∴抛物线解析式为y=x2-4x，所以①正确； 抛物线的对称轴为直线x=2，所以②正确； ∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＜0，所以③错误； 抛物线与x轴的两个交点间的距离是4，所以④正确； 若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则|x2-2|＞|x1-2|，所以⑤错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 8. 如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，正弦的定义及勾股定理，分别过点作轴于点，轴于点，，结合反比例函数k的几何意义，求出，再利用勾股定理求出，最后利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：分别过点作轴于点，轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，积的乘方的逆运算，二次根式的乘法运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式得，再运算中括号内，得，即可作答． 【详解】解： ． 故答案为：． 10. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为___________（结果保留整数） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，由题意可知，，，主桥拱半径R，根据垂径定理，得到，再利用勾股定理列方程求解，即可得到答案． 【详解】解：如图，由题意可知，，，主桥拱半径R， ， 是半径，且， ， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 11. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 写出展开式中所有项的系数和_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，掌握展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解是关键． 由“杨辉三角”得到：应该是为非负整数展开式的项系数和为． 【详解】解：当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， 当时，展开式中所有项的系数和为， ． 故答案为：． 12. 如图，在一块直角三角形的场地中，，边长，点在边上，长，长．点在线段上，现在计划以为圆心长为半径作，使其与的一边相切，则的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练正确切线的性质是解题的关键．根据勾股定理得到，，当于相切时，点P到的距离，过P作于H，则，当于相切时，点P到的距离，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵在中，， ∴， 在中，， ∴， 当于相切时，点P到的距离， 过P作于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当于相切时，点P到的距离， 过P作于G，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴半径为6的不与的边相切， 综上所述，的长为或， 故答案为:或． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 化简求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值，零指数幂等 ，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先将除法化为乘法，再进行分式的加减计算，化为最简分式，再求解，然后代入求值． 【详解】解：原式 把代入中得． 14. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点， （1）根据作法可以判断射线是的角平分线，请你用逻辑推理证明； （2）求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接， 由作法知：，， 在和中， ， ， 射线是的角平分线； （2）2 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知角的角平分线，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟知作已知角的角平分线做法和平行四边形、等腰三角形性质并灵活应用是解题关键． （1）连接，证明，即可得到为的平分线， （2）根据平行四边形的定义和性质得到，进而得到，即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知：， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ． 15. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 100；补全条形图如图所示： （2）900名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可； （2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解； （3）画树状图展示种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， 所以喜欢小品的人数为（人）， 图略； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：估计喜欢小品节目类型的人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率． 16. 如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 【答案】当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为 【解析】 【分析】本题考查了函数类综合应用题，对函数定义、性质，以及在实际问题中的应用等技能进行了全面考查，对学生的数学思维具有很大的挑战性． 利用待定系数法确定函数的解析式，然后配方成顶点式的形式即可确定答案． 【详解】解：依题意，抛物线经过点和， 解得 ∴， ∵， ∴当时，取得最大值3.5， 当球运行的水平距离为时，球在空中达到最大高度，最大高度为． 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CM． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝AC•BG； （3）若BN＝OB，⊙O的半径为1，求tan∠ANC的值． 【答案】（1） 证明：如图1， 连接AD，OD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠BAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵NM⊥AC， ∴∠AMN＝90°， ∴∠DAC＋∠ADM＝90°， ∴∠ODA＋∠ADM＝90°，即∠ODM＝90°， ∴OD⊥MN， ∴直线MN是⊙O的切线； （2） 证明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD， ∴∠ADC＝∠DMC＝90°， ∵∠ACD＝∠DCM， ∴△CMD∽△CDA， ∴， ∴CD2＝AC•CM， ∴BD2＝AC•CM， 在△BGD和△CMD中，， ∴△BGD≌△CMD（AAS）， ∴BG＝CM， ∴BD2＝AC•BG； （3） 【解析】 【分析】（1）由AB是直径得AD⊥BC，由AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，进而推出∠ODM＝90°即可； （2）由条件推出△CMD∽△CDA ，证明△BGD≌△CMD，根据相似三角形和全等三角形的性质推出结论； （3）由条件推得∠BOD＝60°，进而可得△ABC是等边三角形，从而CO⊥AB，求出OC，进一步可求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图2， 连接OD，OC，由（1）知∠ODN＝90°， ∵OD＝OB＝BN＝1， ∴cos∠DON＝， ∴∠DON＝60°， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝60°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∵OA＝OB， ∴CO⊥AB，OC＝AC•sin60°＝， ∴tan∠ANC＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质及图形的特殊性． 18. 已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）该矩形周长的最大值是； （3）存在，点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由函数图象顶点坐标设函数解析式为，再将点坐标代入即可求出函数解析式； （2）由该二次函数的对称轴是，设点的坐标为，点，结合矩形周长的计算公式表示出周长关于的函数解析式后，根据二次函数的最值即可得解； （3）由题意得，当矩形周长最大时，点与点重合，求出的面积及直线解析式，设点坐标为，过作垂直于轴，交于点，则，结合图象可得，再解方程即可得到点的横坐标，从而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：设解析式为， 抛物线经过，代入上式得：， 二次函数表达式为：，或． 【小问2详解】 解：依题得：该二次函数的对称轴是， 设点的坐标为，则点， 则，， 矩形的周长， ， ， ， 当时，周长有最大值，最大值为． 【小问3详解】 解：点坐标为：或或． 二次函数表达式为， ， 当矩形周长最大时，点与点重合， 又此时的面积是矩形面积的， ， 将、坐标代入一次函数表达式并解得： 直线的表达式为：， 设点坐标为， 过作垂直于轴，交于点，则， ， 则， 即：， 解得，，， 故点坐标为：或或． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、解一元二次方程的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松山区九年级模拟考试（二） 数学试题 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 2025的相反数是 B. 2025的倒数是 C. 算术平方根等于它本身的数是0和1 D. 绝对值等于相反数的数是0 2. 如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 不足4个 D. 6个或6个以上 5. 如图是由7个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方块的个数，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列正确命题的个数是（ ） ①有一组邻边相等的四边形是菱形；②四条边相等的四边形是正方形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形；④对角线相等的平行四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表： x 0 2 3 4 y 5 0 0 下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为；③当时，；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若，是抛物线上的两点，则，其中正确的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 如图，在平面直角坐标系中，从坐标原点出发的两条射线，．且，两射线分别与函数和相交，交点分别为，，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（请把答案填写在答题卡相应的横线上．每小题3分，共12分） 9. _____． 10. 赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为7，则赵州桥主桥拱半径约为___________（结果保留整数） 11. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角” … 写出展开式中所有项的系数和_____． 12. 如图，在一块直角三角形的场地中，，边长，点在边上，长，长．点在线段上，现在计划以为圆心长为半径作，使其与的一边相切，则的长为_____． 三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共6题，满分64分） 13. 化简求值：，其中 14. 如图，在平行四边形中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点， （1）根据作法可以判断射线是的角平分线，请你用逻辑推理证明； （2）求线段的长． 15. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的名男生和名女生中随机抽取名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 16. 如图，一位篮球运动员在与篮圈水平距离为4m处起跳投篮时，球运行的高度与运行的水平距离之间满足关系式，当球运行的水平距离为球离地面高度为，球在空中达到最大高度后，准确落入篮框内．已知篮框中心与地面的距离为3.05m．当球运行的水平距离为多少时，球在空中达到最大高度？最大高度为多少？ 17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CM． （1）求证：直线MN是⊙O的切线； （2）求证：BD2＝AC•BG； （3）若BN＝OB，⊙O的半径为1，求tan∠ANC的值． 18. 已知如图：二次函数图象的顶点坐标为，与坐标轴交于、、三点，且点的坐标为． （1）求二次函数的解析式； （2）如图，在二次函数图象位于轴上方有两个动点、，且点在点的左侧，过、作轴的垂线交轴于点、两点，当四边形为矩形时，求该矩形周长的最大值； （3）当矩形的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点，使的面积是矩形面积的？若存在，直接写出该点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $