精品解析：上海市宝山区上海师范大学附属宝山罗店中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2026年罗店高二下期中考试数学试卷 一､填空题 1. 已知等差数列满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由是等差数列可得，从而即可求出结果. 【详解】解：由是等差数列，得，又， 所以. 故答案为：. 2. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据离心率公式直接求解即可. 【详解】已知双曲线：，则的离心率为. 故答案为：. 3. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 【答案】176 【解析】 【详解】第1行第7列的数字开始，依次抽取175，068，331，047，447，176， 故第6个被抽到的同学的编号为176 4. 已知离散型随机变量X服从二项分布，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的方差公式及方差的性质求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 5. 已知向量，则与的夹角大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角公式可求夹角的大小. 【详解】，而，故， 故答案为：. 6. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 7. 现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为______（用数字作答） 【答案】70 【解析】 【分析】先将7人分成两组，再把两组分配到两个小区，应用排列组合数求解即可. 【详解】由题意，将7分成3人和4人两组，再把两组人安排到A、B两个小区即可， 所以不同的安排方法数有种. 故答案为：70 8. 斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于______. 【答案】2或18 【解析】 【分析】 先求焦点坐标，再根据圆心到直线距离等于半径求的值. 【详解】抛物线的焦点,所以直线 因为与圆相切， 所以或18 故答案为：2或18 【点睛】本题考查抛物线焦点以及直线与圆位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题. 9. 已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径________厘米. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得到条件等式，进而可得关于的表达式，由导数即可求得极值点. 【详解】设圆柱高为，表面积为，体积为，则， 所以，从而， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当该圆柱的底面半径时，表面积最小， 故答案为：3. 10. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上有最小值，即在这个区间上有极小值，而且极小值是开区间的最小值，从而列不等式求解即可. 【详解】， 所以在和上，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增； 且 当时，， 即， 所以在区间上有最小值，则： 解得. 故答案为： 11. 已知函数的表达式为，写出所有正确命题的序号__________. ①.函数的零点的个数一定是3个 ②.函数在处的切线方程为，则 ③.若集合的解集是，则实数对有2对 ④.函数必存在极值 【答案】③ 【解析】 【分析】由函数的零点性质及利用导数研究三次函数的性质进行求解． 【详解】①：当时，，若或时，零点个数不为3，所以①错. ②：在处的切线方程为， 求导 ， 得， 得或，②错. ③：若满足条件，则在处为零，且在时， 由，得，即或， 当时，，为满足条件，， 当时，同理可得， 当时不满足题意， 所以实数对有对：和，③对. ④：求导，，接着判断， 把判别式看作关于的函数，则，， 当时， ，，所以有两个零点，有极值， 当时，， 此时当，，有两个零点，有极值， 当，，恒成立，函数在定义域上单调递增， 所以当取值时，，无极值，所以④错. 12. 已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数的图形，求出过原点且与函数的图象相切的直线的方程，以及函数的渐近线方程，结合两角差的正切公式，数形结合可得出的取值范围. 【详解】当时，，则，函数在上为增函数， 当时，由，得，即， 作出函数的图象如下图所示： 设过原点且与函数的图象相切的直线的方程为，切点为， 则切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得， 即，令函数，其中，则， 函数在上单调递减，且， 由，解得，则， 而函数的渐近线方程为， 设直线与的夹角为，设直线的倾斜角为， 则， 结合图形可知，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于求出设过原点且与函数的图象相切的直线的方程以及函数的渐近线方程，再利用两角差的正切公式以及数形结合思想求解. 二､单选题 13. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正态曲线的对称性结合必要不充分条件的定义即可得到答案. 【详解】由知，可知，故，故成立； 反之，若，则，故为充要条件， 故选：C. 14. 已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出示意图，设关于轴的对称点为，数形结合可得三点共线时，取最小，可求解． 【详解】因为，，所以两点均在轴同侧， 不妨设两点均在轴的上方，如图所示， 设关于轴的对称点为， 因为在轴上，则直线与直线倾斜角互补，即，且， 所以，当且仅当三点共线时，等号成立， 此时，所以为最小时，． 故选：B. 15. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在之间的频率为 D. 得分在之间的共有80人 【答案】B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可判断A的正误；根据直方图中位数的求法，代入计算，即可判断B的正误；根据直方图中矩形面积代表频率，即频率、频数、总数的关系，即可判断C、D的正误. 【详解】选项A：由题意得，解得，故A正确； 选项B：，， 所以中位数位于内，且设为x， 则，解得，故B错误； 选项C：得分在之间的频率为，故C正确； 选项D：得分在之间的频率为， 所以得分在之间的共有人，故D正确. 故选：B 16. 在一个抽奖游戏中共有扇关闭的门，其中扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率及全概率公式即可求解. 【详解】不换门：则与一开始随机选择一扇门的中奖概率一样，为； 换门：若一开始选择的门有奖，则换门后的中奖概率为； 若一开始选择的门无奖，则换门后的中奖概率为. 所以换门的中奖概率为. 故选：C. 三､解答题 17. 已知数列为等差数列，其前项和记为. （1）若，则； （2）已知等差数列的公差，，求其通项公式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质结合求和公式即得； （2）根据等差数列的求和公式可得首项，进而即得. 【小问1详解】 因为， 所以 ； 【小问2详解】 由，解得. 故. 18. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析. （2） 【解析】 【分析】（1）通过辅助线构造平行四边形证明线面平行即可； （2）建立空间直角坐标系，利用三棱锥的体积得到所需长度，利用平面的法向量求解两个平面的夹角余弦值即可. 【小问1详解】 设的中点为，连接. 因为分别为的中点，所以，且. 在直三棱柱中，，且，所以， 所以四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 我们以为原点，分别以​为轴建立空间直角坐标系， 设直三棱柱的侧棱长，可得  三棱锥​，到底面的距离为，， 因此，解得. 则向量，，， 设平面的法向量为，则， ​ 令，得，，即； 平面​的一个法向量为； 设两个平面夹角为，则. 即两个平面的夹角余弦值为. 19. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 【答案】（1），，事件与事件不独立. （2）分布列答案见解析， 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式可求得的值，利用条件概率公式可求得的值，利用独立事件的定义可判断出事件和事件的关系； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【小问1详解】 由表格中的数据结合古典概型的概率公式可得， 由条件概率公式可得， 因为，，所以， 故事件与事件不独立. 【小问2详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、， 则，，， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 故. 20. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，即可得出所求切线的方程； （2）求得，分、两种情况讨论，利用函数单调性与导数的关系可得出函数的增区间和减区间； （3）由参变量分离可得，令，其中，利用导数求出函数的最大值，即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为； 当时，由可得，由可得， 此时函数的单调递增区间为，单调减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调减区间为. 【小问3详解】 对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 21. 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线是圆的任意一条切线，求的值； （3）若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求椭圆方程； （2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，根据直线与椭圆相交，以及直线与圆相切的条件，求的值； （3）首先利用坐标表示直线和的斜率，根据斜率成等差数列，列式得到，整理后代入韦达定理得到，根据条件得，，结合韦达定理了，以及点到直线的距离公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，椭圆的长轴长为，即有，即，又，解得，即有椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 圆，设，则. 直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论： ①当直线的斜率不存在时，直线. 若，由，解得，此时. 若，同理得：. ②当直线的斜率存在时，设. 由，得，① ，又直线是圆的切线， 故，可得，恒成立， 又，而， ，即. 综上，恒有. 【小问3详解】 分别是椭圆的左、右焦点，可得， 则，②， 由直线的斜率依次成等差数列， 可得， 所以有， 化简井整理得: 假设，则直线的方程为:，即直线经过点，不符合条件， 则， 由方程（1）及韦达定理可知:，则，③ 由②③可知，，化简得:，这等价于:， 反正，当满足③及时，直线必不经过（否则将导致，与③矛盾）， 而此时满足②，从而直线1与椭圆有两个不同的交点 同时也保证了的斜率存在（否则中的某一个为-1， 结合可知，与方程①有两个不同的实根矛盾） 记点到直线的距离为，则 ，注意到， 令，则，从而④式可改写为:， 考虑到函数在上单调递减，则. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标，结合韦达定理表示条件中的几何关系，尤其是第三问，利用，表示的不等式关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年罗店高二下期中考试数学试卷 一､填空题 1. 已知等差数列满足，则______. 2. 已知双曲线：，则的离心率为_____. 3. 某校从450名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查.将这450名同学编号为，假设从第1行第7列的数字开始，则第6个被抽到的同学的编号为__________. 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 4. 已知离散型随机变量X服从二项分布，则______． 5. 已知向量，则与的夹角大小为__________． 6. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 7. 现有7名同学分别去A、B两个小区做志愿服务工作，每人选择其中的一个小区，且每个小区至少去3名同学，则不同的安排方法种数为______（用数字作答） 8. 斜率为1的直线过抛物线的焦点，若与圆相切，则等于______. 9. 已知一圆柱的体积为立方厘米，则当该圆柱的表面积最小时，底面半径________厘米. 10. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围为________. 11. 已知函数的表达式为 ，写出所有正确命题的序号__________. ①.函数的零点的个数一定是3个 ②.函数在处的切线方程为，则 ③.若集合的解集是，则实数对有2对 ④.函数必存在极值 12. 已知函数，点、是函数图象上不同的两个点，设为坐标原点，则的取值范围是______． 二､单选题 13. 已知随机变量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知，，点，，动点在轴上，设直线、的斜率分别为，当取最小值时，满足（ ） A. B. C. D. 15. 在一次科普知识竞赛中共有200名同学参赛，经过评判，这200名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是（ ） A. 可求得 B. 这200名参赛者得分的中位数为64 C. 得分在之间的频率为 D. 得分在之间的共有80人 16. 在一个抽奖游戏中共有扇关闭的门，其中扇门后面有奖品，其余门后没有奖品，主持人知道奖品在哪些门后.参赛者先选择一扇门，但不立即打开.主持人打开剩下的门当中一扇无奖品的门，然后让参赛者决定是否换另一扇仍然关闭的门.参赛者选择不换门和换门的获奖概率分别为（ ） A. ； B. ； C. ； D. ； 三､解答题 17. 已知数列为等差数列，其前项和记为. （1）若，则； （2）已知等差数列的公差，，求其通项公式. 18. 如图，直三棱柱中，，，，分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 《水浒传》是中国古典四大名著之一，是中国历史上最早用白话文写成的章回小说，由三十六天罡与七十二地煞共同构成一百零八将的主体框架，小明喜欢收集其中的人物卡牌，卡牌分为普通卡和隐藏卡，小明目前收集到的卡牌分布如下表所示： 天罡 地煞 普通卡 隐藏卡 （1）若小明从张卡牌中随机选取一张，记事件为小明取到的卡牌人物属于天罡，事件为小明取到的卡牌为隐藏卡，求和，并判断事件和事件是否独立； （2）小王和小明进行抽卡游戏，每人一次性从张卡牌中抽取两张，给出以下规则：抽到的两张卡分别是天罡隐藏卡及地煞隐藏卡，得分；抽到的两张卡有且仅有一张隐藏卡，得分；抽到的两张卡分别是天罡普通卡及地煞普通卡，得分；其余情况不得分.设为小王第一次抽取卡牌后获得的分数，写出的分布列，并求出的数学期望. 20. 已知函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程： （2）讨论函数的单调性； （3）对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 21. 在平面直角坐标系中，椭圆方程为．已知椭圆的长轴长为，离心率为，，分别是椭圆左、右焦点，直线与椭圆交于，两点. （1）求椭圆方程； （2）若直线是圆的任意一条切线，求的值； （3）若直线不经过左焦点，设焦点到直线的距离为，如果直线，，的斜率依次成等差数列，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $