精品解析：湖南新化县上渡街道明德学校等校2026年上学期期中质量检测卷 九年级数学

2026年上学期期中质量检测卷 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲．若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最接近标准质量意味着偏离标准的程度最小，只需比较各偏差值的绝对值，绝对值越小，越接近标准质量． 【详解】解：，，，， ∵， ∴的绝对值最小，偏差最小，是最接近标准质量的选项． 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A选项错误； ∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母与指数不变， ∴，B选项错误； ∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，C选项错误； ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，D选项正确. 3. 近期，中国科学技术大学潘建伟、戴汉宁、陈宇翱、彭承志等科研人员在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒．这一成果标志着我国在时间精密测量领域的研究水平已跻身国际最前列．数字“300亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义进行解答即可． 【详解】解：300亿． 4. 已知一组数据：20，23，25，25，27，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 24，24 C. 25，24 D. 25，25 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数及中位数的求法可进行求解． 【详解】解：这组数据的平均数为，这组数据总共有5个，所以中位数为从小到大排列后的最中间的一个数据，故该组中位数为25； 故选A． 【点睛】本题主要考查平均数及中位数，熟练掌握平均数及中位数是解题的关键． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别解出两个一元一次不等式的解集，再取它们的公共部分得到不等式组的解集，最后依据数轴表示规则(空心圆圈表示不包含该点，实心圆点表示包含该点，大于向右延伸，小于向左延伸)判断正确选项． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∴原不等式组的解集为． 在数轴上表示该解集时，在1的位置画空心圆圈并向右延伸，在2的位置画实心圆点并向左延伸，两者的公共部分就是，对应选项C． 6. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，根据是的外角，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： ， ， ， ， ， ， 是的外角， ． 7. 若点关于x轴对称的点是点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点是点B， ∴点B的坐标是． 8. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两根，其中一根为， 设另一根为，则， ， ， 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9. 如图，是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角得，再结合同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行作答即可． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径， ， ∴． 故选：D． 10. 已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过P作轴，轴，根据矩形的判定与性质得出矩形，，，证明，得出，可设P的横坐标是，则纵坐标是，根据待定系数法求出点的坐标，进而求出A的坐标，然后根据待定系数法求解即可． 【详解】解：过P作轴，轴， 则四边形是矩形， ∴，， 又， ∴， 又 ∴， ∴ ∴设P的横坐标是，则纵坐标是， ∴， 解得， ∴P的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，则， 解得：． 12. 若方程有增根，则增根为_____ ． 【答案】5 【解析】 【分析】先确定分式方程分母为0时x的值，该值即为增根． 【详解】若方程有增根， 则， 解得， ∴增根为． 13. 某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月，利用概率公式即可得到抽到的节日在农历正月的概率． 【详解】解：一共有个传统节日，其中有个传统节日在正月， 抽到的节日在农历正月的概率为. 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，点到的距离是6，则的长是______． 【答案】15 【解析】 【分析】根据作图过程得出平分，根据角平分线的性质得出，再根据已知线段之比求出，继而可得结果． 【详解】解：由作图可知：平分， ∵，点到的距离是6， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了作图-基本作图、角平分线的性质的运用，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 15. 如图，点D、E分别为的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分，交DE于点F．若，，则BC的长为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，BC=2DE，BD=AD=7，根据平行线的性质、角平分线的定义得到∠DFB=∠DBF，根据等腰三角形的判定定理得到DF=BD=7，计算即可． 【详解】∵D、E分别为△ABC的边AB、AC的中点， ∴DE∥BC，BC=2DE，BD=AD=7， ∴∠DFB=∠FBC， ∵BF平分∠ABC， ∴∠DBF=∠FBC， ∴∠DFB=∠DBF， ∴DF=BD=7， ∵ ∴DE=DF+EF=11， ∴BC=2DE=22， 故答案为：22． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 16. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为___________，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为___________．（精确到0.1） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题目给出的“不加借算”开平方规则，先按公式计算，再结合等边三角形面积公式得到边长的平方，最后利用“不加借算”方法计算边长． 【详解】解：根据题意计算： ，此时取正整数，最小，代入公式得 ，精确到得． 设等边三角形的边长为，由等边三角形的性质可得其高为 ，因此面积为： ∵，代入得 ∴， ∴． ，此时取正整数，最小， 代入公式得 ， 精确到得． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，化简二次根式，计算绝对值，再合并即可． 【详解】解：原式 ． 18. 下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： （1）请求出被遮挡部分的式子； （2）先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 【答案】（1） （2），12 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，从而，根据分式的加减法运算法则计算即可； （2）根据分式的混合运算法则对式子化简，再取分式有意义的a的值代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， ∴， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ， ， 要使分式有意义，则， ∴且， ∴当时，原式． 19. （深度求索）是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了3000份调查问卷，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 【答案】（1）200，10 （2）见解析 （3） （4）1650人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图信息相关联、求扇形的圆心角、用样本估计总体， （1）利用选项A的频数除以其所占的百分比求得样本容量，再利用选项D的频数除以样本容量求解即可； （2）先利用选项B所占百分比乘以样本容量求得其频率，再补全统计图即可； （3）利用选项A的百分比乘以即可求解； （4）先求得选项B和选项C所占百分比的和，再乘以总人数即可． 【小问1详解】 解：由图得，抽取的调查问卷共（份），， 故答案为：200，10； 【小问2详解】 解：，补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：， 答：选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数为； 【小问4详解】 解：由题意得，（人）， 答：选择“界面优化”和“报告”的总人数为1650人． 20. 如图，以的边为直径的分别交边、于点、，过点作的切线交的延长线于点，点为劣弧的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得出，则，根据点为劣弧的中点，得出，证明，即可证明． （2）根据切线的性质得出，则，求出，，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 即， ∵点为劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵过点作的切线交的延长线于点， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 21. 中央大街智慧文创商店计划购进A、B两种冰雪主题纪念品，已知购进2件A种纪念品和3件B种纪念品共需130元，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店A种纪念品每件售价24元，B种纪念品每件售价35元，准备购进A、B两种纪念品共100件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于468元，则最多购进A种纪念品多少件？ 【答案】（1）A种纪念品每件的进价为20元，B种纪念品每件的进价为30元 （2）最多购进A种纪念品32件 【解析】 【分析】（1）根据购进2件A种纪念品和3件B种纪念品共需130元，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元，设A，B两种纪念品每件的进价分别为x元，y元，列二元一次方程组求解即可； （2）设该商店购进A种纪念品a件，则B种纪念品件，根据这两种纪念品全部售出后总获利不低于468元列一元一次不等式即可. 【小问1详解】 解：设A种纪念品每件的进价为x元，B种纪念品每件的进价为y元， ， 解得， 答：A种纪念品每件的进价为20元，B种纪念品每件的进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进A种纪念品a件， ， 解得， 答：最多购进A种纪念品32件． 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 23. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践课”上，老师提出：在研究图形的变化时，要多关注运动过程中的不变量．如图，四边形是正方形，点在边上运动，连接，以为对角线构造正方形，连接． 【问题发现】 （1）“善思小组”发现，在点运动的过程中，线段与的数量关系保持不变．请直接写出与的数量关系：________； 【问题探究】 （2）“缜密小组”注意到，当点运动时，与的比值也保持不变．请你求出这个比值； 【问题延伸】 （3）如图，连接，交于点，若，，请求出的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据正方形的性质可以得到，，，证明即可； （）连接，根据正方形的性质可以得到，，，证明，再由性质求解即可； （）同（）可证或，由相似三角形的性质即可求解； 【小问1详解】 ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在与中，由勾股定理可得： ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 法：∵四边形和四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 由（1）可得，， ∴， 法：由（）得：， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若，是二次函数图像上两点，求证：； （3）当时，函数的最大值与最小值之差为，直接写出的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）将点，点带入解析式，求出，求出最值即可； （3）根据二次函数的性质找到对称轴，求出当时，，当时，，可设动点，，根据题意分三种情况，当，，时，根据函数的最大值与最小值之差为，分情况讨论进行求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图像经过点，点， 将点，点代入解析式， ， 解得：， 此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 将点，点带入解析式， 得：，， ， ； 【小问3详解】 由（1）可知二次函数的对称轴为， 当时，， 当时，， 当时，， 可设动点，，根据题意分三种情况， ①当，即时，随增大而增大，二次函数在点时取最大值，在点处取得最小值，即当时，，当时， ， 解得：； ②当时，即时，顶点的横坐标在取值范围内， ， 当，即时，点到对称轴的距离大于到对称轴的距离， 当时，， ， 解得：，，均不符合题意，舍去； 当时，此时点到对称轴的距离等于到对称轴的距离， 二次函数在和时均取最小值，此时， ，不符合题意，舍去， 当，即时，点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 当时，， ， 解得：，（不符合题意，舍去）； ③当时，随增大而减小，当时，，当时，， ， 解得：（不符合题意，舍去）． 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查了二次函数求最值，二次函数的性质，求二次函数的解析式，根据函数的增减性分情况讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期期中质量检测卷 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 内蒙古牛肉干以内蒙古草原散养牛的瘦肉为原料，肉质紧实，咸香有嚼劲．若每包内蒙古牛肉干的标准质量为，超出标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数，则下面四个包装中最接近标准质量的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 近期，中国科学技术大学潘建伟、戴汉宁、陈宇翱、彭承志等科研人员在光钟研制方面取得里程碑式进展，成功将锶原子光晶格钟的稳定度和不确定度指标全面突破量级，相当于约300亿年的误差不超过1秒．这一成果标志着我国在时间精密测量领域的研究水平已跻身国际最前列．数字“300亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一组数据：20，23，25，25，27，这组数据的平均数和中位数分别是（ ） A. 24，25 B. 24，24 C. 25，24 D. 25，25 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，若，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 若点关于x轴对称的点是点B，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 关于x的一元二次方程有两根，其中一根为，则这两根之积为（ ） A. B. C. 1 D. 9. 如图，是的直径，是上的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知P是反比例函数图象上的一点，点B的坐标为，A是y轴正半轴上的一点，且，，那么直线的解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 二次根式有意义的条件是______． 12. 若方程有增根，则增根为_____ ． 13. 某校准备结合中国传统节日进行诗词创作活动．若从以下传统节日中选一个：春节（农历正月初一）、元宵节（农历正月十五）、端午节（农历五月初五）、中秋节（农历八月十五）、重阳节（农历九月初九），则抽到的节日在农历正月的概率为________． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点．若，点到的距离是6，则的长是______． 15. 如图，点D、E分别为的边AB、AC的中点．连接DE，过点B作BF平分，交DE于点F．若，，则BC的长为__________． 16. 魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到了“不加借算”开平方的方法：．当取正整数且最小时，用“不加借算”的方法计算约为___________，用“不加借算”的方法计算面积为的等边三角形区域的边长约为___________．（精确到0.1） 三、解答题（本大题共8个小题，第17题6分，第18、19题每小题8分，第20、21题每小题9分，第22、23题每小题10分，第24题12分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 下面的分式化简题呈现了小明的正确的解答过程（部分），但部分式子被遮挡． 解： （1）请求出被遮挡部分的式子； （2）先补充化简，再求值，其中从2，5，7中取一个合适的数代入求值． 19. （深度求索）是一款人工智能模型，团队为了解用户对此模型的体验感设计了调查问卷，用户对调查问卷中的四个选项进行单项选择且调查问卷均有效．团队从所有的调查问卷中抽取了部分调查问卷绘制成如图所示不完整的统计图．设定选项A为“功能建议”，选项B为“界面优化”，选项C为“报告”，选项D为“其他反馈”． 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的调查问卷共 份， （2）补全条形统计图； （3）求扇形统计图中选项A“功能建议”对应扇形的圆心角度数； （4）团队收集了3000份调查问卷，请估计选择“界面优化”和“报告”的总人数． 20. 如图，以的边为直径的分别交边、于点、，过点作的切线交的延长线于点，点为劣弧的中点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 中央大街智慧文创商店计划购进A、B两种冰雪主题纪念品，已知购进2件A种纪念品和3件B种纪念品共需130元，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元． （1）求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元； （2）若该商店A种纪念品每件售价24元，B种纪念品每件售价35元，准备购进A、B两种纪念品共100件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于468元，则最多购进A种纪念品多少件？ 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 23. 综合与实践 【问题情境】 “综合与实践课”上，老师提出：在研究图形的变化时，要多关注运动过程中的不变量．如图，四边形是正方形，点在边上运动，连接，以为对角线构造正方形，连接． 【问题发现】 （1）“善思小组”发现，在点运动的过程中，线段与的数量关系保持不变．请直接写出与的数量关系：________； 【问题探究】 （2）“缜密小组”注意到，当点运动时，与的比值也保持不变．请你求出这个比值； 【问题延伸】 （3）如图，连接，交于点，若，，请求出的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点． （1）求此二次函数的解析式； （2）若，是二次函数图像上两点，求证：； （3）当时，函数的最大值与最小值之差为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $