黑龙江省大庆市第五十七中学2025-2026学年九年级下学期5月期中数学试题

九年级数学学科练习题 一、单选题（共30分） 1.（本题3分) 3的相反数是() C.3 D.-3 2.(本题3分)据报道，2025年我国南方电网“西电东送”送电量超过2600亿千瓦时，其中2600亿用科学记数法表 示为() A.26×1010 B.2.6×10 C.0.26×102 D.2600×108 3.(本题3分)如图，其中是轴对称图形的有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(本题3分)四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是() 正面 5.(本题3分)下列调查方式合适的是() A.为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B.为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C.为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D.为了了解“北斗导航卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 6.(本题3分)今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文.只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几 何？（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈(1丈=10尺)，它们各自的价值都是896文钱.己知绫 和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱？设绫布有x尺，根据题意可列方程为() A. 896+896=120B.,0+$96=30/ 896896 ℃.6+=120D.20-x+ -=3 3-x x 30-xx 7.(本题3分)己知关于x的一元二次方程2x2-4x+a=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（) A.a≠0 B.a<2 C.a>-2 D.a<2且.a≠0 8.(本题3分)如图，BD是⊙O的直径，点C是BD的中点，弦AC与BD交于点P,若∠ADB=62°，则∠CPD 的度数为() D C A.105 B.107° C.109° D.111° 9.(本题3分)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O,点P为线段OD中点，连接AP并延长交CD于点E,则 CE 的值为() BC E A.2 B. 3 3 D. 4 10.(本题3分)如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD,动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀 速运动，回到点A后停止，设点P运动的路程为x,线段AP的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，当点 P运动到BD的中点处时，△APD的面积为() 珠 12 B 10 D 10 20 图1 图2 A.48 B.40 C.24 D.30 二、填空题（共24分) 11.(本题3分)分解因式：x2-1= 12.(本题3分)函数y=1 中自变量x的取值范围是· x-3 13.(本题3分)现有六张分别标有数字1,2,3,4,5,6的卡片，其中标有数字1,3,5的卡片在甲手中，标有数 字2,4,6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是。 14.(本题3分)如图，摆放着正六边形ABCDEF和正三角形EGH,AC∥HG,则∠DEH= B 5.(本题3分)如图，直线y=)x-1与x轴交于点4，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形0AB,将A0AE 沿y轴向下平移，当点B落在直线y=一x-1上时，平移后A点坐标为· 2 16.(本题3分)如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2c,扇形 的圆心角0=120°，则该圆锥的侧面积为 cm2. _m 17.(本题3分)如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第个图案 中有2026个白色纸片，则n的值为 第1个 第2个 第3个 18.(本题3分)如M={L,2,x},我们叫集合M,其中1,2，x叫做集合M的元素.集合中的元素具有确定性（如 x必然存在)，互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合N={x,1,2},我们说M=N. 已知合4=0,集合=信a合 若A=B,则a+b的值是 三、解答题（共66分） 19.(本题4分)计算：8÷（π+3）°+-2+(-1)226. 20.（本题4分)先化简，再求代数式上-+2x+1-↓的值，其中x=2sin60°-2N2c0s45°. x+2x+2x-1 21.(本题5分)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱 销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元. ()该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于20%，那么每套售价至少是多少元？ 22.(本题6分)为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力.某校七年级将在操场上举办“绑 腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通 过协调配合在跑道上共同行进).为做准备，七(1)班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：cm) 数据统计如下：162,163,163,165,166,166,166,167,167,168,169,169,171,173,176： (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 m n 根据信息填空：m= ,n= (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组 学生获胜机率越大，据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是 (填“甲组”或“乙组”)： 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组.从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概 率 23.(本题6分)开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑.某 数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15到达 B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°.己知测角仪的高度为1.5，测量点A,B与拂云阁DC的底部C在同一水 平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，c0s34°≈0.83，tan34°≈0.67）. D 45F34E 24.(本题7分)在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动.某班级同学负责售卖甲、乙两种手工 艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元：下午售出3件甲种手工艺品和5件 乙种手工艺品，共获得利润105元. ()求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润. (2)该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量 的号，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值。 25.(本题8分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点，点F,G在AB上，EF⊥AB, OG⊥AB D (1)求证：四边形OEFG是矩形： (2)若AD=20,EF=8,求OE和BG的长 26.(本题8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=+2的图象分别与x轴，y轴交于点A,点C, 与反比例函数y=”(x<0)的图象交于点B(-2,3). B (1)求一次函数和反比例函数的表达式： (2)点D(-6,n)是反比例函数y=m图象上一点，连接BD,CD,求△BCD的面积： (3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标. 27.(本题9分)如图，在ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D,点E是⊙O上一点，∠CAD=∠E. D E (1)求证：AC是⊙O的切线； 3 2若sinE=亏，BD=4,求线段4C的长. 28.(本题9分)如图，抛物线y=x2+bx+c与直线y=c+m交于点A(-3,0)和点C(0,-3),与x轴的正半轴交 于点B. (1)求抛物线和直线的解析式： (2)点D是直线AC上一点，DE∥x轴，点E在点D的左侧，DE=3,若DE与抛物线只有一个交点，请直接写出 点D的横坐标的取值范围： (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△BCP的周长最小时，求点P的坐标. 九年级数学学科练习题 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 2．（本题3分）据报道，年我国南方电网“西电东送”送电量超过亿千瓦时，其中亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，其中是轴对称图形的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题3分）四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（   ） A． B．C． D． 5．（本题3分）下列调查方式合适的是（　　） A．为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生 B．为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查 C．为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式 D．为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式 6．（本题3分）今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何?（选自《四元玉鉴》）题目大意：现在有绫和罗一共3丈（1丈尺），它们各自的价值都是896文钱．已知绫和罗各1尺总共值120文钱，问绫和罗每尺的价值各多少钱?设绫布有尺，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 8．（本题3分）如图，是⊙O的直径，点是的中点，弦与交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，正方形的对角线相交于点O，点P为线段中点，连接并延长交于点E，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）如图1，四边形是平行四边形，连接，动点从点出发沿折线匀速运动，回到点后停止．设点运动的路程为，线段的长为，图2是与的函数关系的大致图象，当点运动到的中点处时，的面积为（　　） A．48 B．40 C．24 D．30 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）分解因式：． 12．（本题3分）函数中自变量x的取值范围是__． 13．（本题3分）现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，3，5的卡片在甲手中，标有数字2，4，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙出的卡片数字大的概率是_______． 14．（本题3分）如图，摆放着正六边形和正三角形，，则____________． 15．（本题3分）如图，直线与x轴交于点A，以为斜边在x轴上方作等腰直角三角形，将沿y轴向下平移，当点B落在直线上时，平移后A点坐标为____． 16．（本题3分）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的侧面积为__________ ． 17．（本题3分）如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有2026个白色纸片，则n的值为__________. 18．（本题3分）如，我们叫集合，其中1，2，叫做集合的元素.集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）.若集合，我们说.已知集合，集合，若，则的值是__________. 三、解答题（共66分） 19．（本题4分）计算：． 20．（本题4分）先化简,再求代数式的值，其中． 21．（本题5分）某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． (1)该商场两次共购进这种运动服多少套？ (2)如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润不低于，那么每套售价至少是多少元？ 22．（本题6分）为促进同学间交流，丰富校园文化生活，增强班级团队意识和凝聚力．某校七年级将在操场上举办“绑腿跑”趣味运动比赛（每班有5名队员排成一列，每相邻两队员的相邻腿用绑腿带绑在一起，立于起跑线后，队员通过协调配合在跑道上共同行进）．为做准备，七（1）班选拔了15名学生参加训练，并将15名学生的身高（单位：）数据统计如下：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，176； (1)15名学生的身高数据如下表： 平均数 中位数 众数 167.4 根据信息填空：__________，__________； (2)在训练中，将15名学生分成三组进行练习，发现：对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则该组学生获胜机率越大．据此推断：在下列两组学生中，获胜机率大的是__________（填“甲组”或“乙组”）； 甲组学生的身高 163 166 166 167 167 乙组学生的身高 162 163 165 166 176 (3)根据安排，剩下的同学组成丙组．从丙组同学中，随机抽取两人担任引导员，求恰好抽到两名引导员身高相同的概率． 23．（本题6分）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）． 24．（本题7分）在中学生劳动课教育中，学校开展了手工制品售卖实践活动．某班级同学负责售卖甲、乙两种手工艺品，已知上午售出3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元；下午售出3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元． (1)求甲种手工艺品和乙种手工艺品每件的销售利润． (2)该班级计划一次性购进这两种手工艺品共120件用于售卖，其中甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，请你帮该班级设计一种销售总利润最大的进货方案，并求出总利润的最大值． 25．（本题8分）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求和的长． 26．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数的图象交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)点P在y轴上，满足是以为斜边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 27．（本题9分）如图，在中，以为直径的交于点D，点E是上一点，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 28．（本题9分）如图，抛物线与直线交于点和点，与x轴的正半轴交于点B．    (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点D是直线上一点，轴，点E在点D的左侧，，若与抛物线只有一个交点，请直接写出点D的横坐标的取值范围； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．A 【分析】本题主要考查了相反数．根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，要求，为整数． 【详解】解：∵亿 ，根据科学记数法对的要求，可得， ∵等于原数的整数位数减，原数整数位数为， ∴， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：B． 3．B 【分析】根据轴对称的定义判断即可． 【详解】解：观察可知，第一个，第二个是轴对称图形． 即上图中，轴对称图形有2个， 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 4．A 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图的知识，直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可． 【详解】解：俯视图有3列1行，从左到右小正方形的个数是1，1，1， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答． 【详解】解：A、为了了解市民对70周年国庆大阅兵的感受，小华在某校随机采访了8名初一学生，8名初一学生不具有代表性，调查方式不合适； B、为了了解全校学生用于做数学作业的时间，小民同学在网上向6位好友做了调查，小民的6位好友不具有代表性，调查方式不合适； C、为了了解全国青少年儿童的睡眠时间，统计人员采用了普查的方式，普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，调查方式不合适； D、为了了解“北斗导航”卫星零部件的状况，检测人员采用了普查的方式，调查方式合适； 故选：D． 6．C 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：罗布一尺的价值绫布一尺的价值文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设绫布有x尺， 则根据题意可列方程为：， 故选：C． 7．B 【分析】根据一元二次方程根的判别式解题． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 8．B 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． 先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据弧，弦之间的关系得，可得，最后根据三角形外角的性质得出答案． 【详解】连接， ∵是的直径， ∴． ∵点C是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 故选：B． 9．C 【分析】设，根据正方形的性质求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形， ∴，，， 设， ∵点P为线段中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 10．C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是理解并读懂函数图象各个点的实际意义． 图1和图2中的点对应：点对点，点对点，点对点，根据点运动的路程为，线段的长为，依次解出，即点的横坐标，，即点的纵坐标，然后利用勾股定理求出高，再由三角形中线等分面积即可求解． 【详解】解：在图1中，作，垂足为， 在图2中，取，，    当点从点到点时，对应图2中线段，得， 当点从到时，对应图2中曲线从点到点，得， 解得， 当点到点时，对应图2中到达点，得， 在中，，，， ∴， 由勾股定理得， 当点运动到的中点处时，， 故选：C． 11． 【分析】原式符合平方差公式的结构特征，可利用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 12．x≠3 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 13． 【详解】解：画树状图为： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果数，其中甲出的卡片数字比乙的卡片数字大的结果数有3种， ∴甲出的卡片数字比乙大的概率是． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查正多边形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．接并延长，交于点，交于点，利用六边形是正六边形，得出，，是正六边形的对称轴，再得出，，结合平行可得，结合三角形是正三角形，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，交于点， ∵六边形是正六边形， ∴，，是正六边形的对称轴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵三角形是正三角形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形和平移的性质等知识点，能求出的坐标是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质求得、的长度，即得点的坐标，表示出的坐标，代入函数解析式，即可求出答案． 【详解】解：当时，， 解得：， 即， ∴ 如图，过作于， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， 即点的坐标是， 设平移的距离为， 则点的对应点的坐标为， 代入得：， 解得：， 即平移的距离是， ∵A点坐标为，沿y轴向下平移单位后， ∴ 平移后的'坐标为， 故答案为：． 16． 【详解】先求出圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，再利用弧长公式求得圆锥的母线长，进而根据扇形面积公式计算即可． 本题主要考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长，圆周长公式，扇形弧长公式，扇形面积公式，是解决问题的关键． 【解答】解：设该圆锥的母线长为l． 由题意，得． ∴（cm）， ∴． 故答案为：． 17．675 【分析】本题考查图形的变化，解一元一次方程，根据题目中的图形，可以发现白色纸片个数的变化规律，然后根据第n个图案中有2026张白色纸片，即可求得n的值． 【详解】解：由图可得， 第1个图案中白色纸片的个数为：， 第2个图案中白色纸片的个数为：， 第3个图案中白色纸片的个数为：， …， 第n个图案中白色纸片的个数为：， 令， 解得， 故答案为：675． 18． 【分析】本题以集合为背景考查了代数式求值，根据集合的定义和集合相等的条件即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，或，，， ∴（舍去）或， ∴， 故答案为：． 19．5 【分析】先算立方根，零指数幂，化简绝对值及乘方，再算加减即可． 【详解】解：原式． 20．， 【分析】先将分式进行因式分解把除法变乘法后约分，再通分合并，化为最简分式，利用特殊三角函数值求出x，再把x的值化简代入得出答案． 【详解】解:原式 当 原式 【点睛】此题主要考查了分式的化简求值，因式分解，通分与约分，特殊角三角函数值，二次根式化简，正确掌握上述知识、准确计算是解题关键． 21．(1)600套 (2)200元 【分析】此题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量及不等关系，正确列方程和不等式求解． （1）设商场第一次购进x套运动服，根据“第二批所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元”即可列方程求解； （2）设每套运动服的售价为y元，根据“这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于200”即可列不等式求解． 【详解】（1）解：设商场第一次购进x套运动服， 由题意得 解得， 经检验，是所列方程的根， ∴． 答：商场两次共购进这种运动服600套； （2）解：设每套运动服的售价为y元， 由题意得， 解得， 答：每套运动服的售价至少是200元． 22．(1)167；166 (2)甲组 (3) 【分析】本题考查中位数、众数、方差等统计量，画树状图或列表法求概率． （1）根据中位数、众数的概念即可求解； （2）分别计算两组数据的方差，即可判断； （3）把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图求出概率即可． 【详解】（1）解：15名学生的身高排序后，处于中间位置（第8位）的是167， ∴中位数是167，即； 15名学生的身高中，166出现的次数最多， ∴众数是166，即． 故答案为：167，166 （2）解：甲组学生的身高的平均数， 方差； 乙组学生的身高的平均数， 方差 ∵， ∴获胜机率大的是甲组． 故答案为：甲组 （3）解：由题意知丙组同学的身高分别为：168、169、169、171、173，把168记为A，169记为，169记为，171记为C，173记为D，画树状图如下： 由图可知，一共要有20种等可能结果，其中5名同学中身高相同的结果有2种， （恰好抽到两名引导员身高相同）． 答：恰好抽到两名引导员身高相同的概率为． 23．拂云阁DC的高度约为32m 【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解． 【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形， 则，， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， (m)． 拂云阁DC的高度约为32m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 24．(1)甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元 (2)甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式、一次函数的实际应用，涉及用一次函数和不等式求最值的问题，考查将实际问题转化为数学问题的抽象能力，以及基本运算能力、模型思想和应用意识． （1）设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，根据3件甲种手工艺品和4件乙种手工艺品，共获得利润90元； 3件甲种手工艺品和5件乙种手工艺品，共获得利润105元，再建立方程组求解即可； （2）设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，可得，结合甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的，可得：，再结合一次函数的性质可得答案. 【详解】（1）解：设甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元，则 ，解得：， 答：甲种手工艺品每件的销售利润为元，乙种手工艺品每件的销售利润为元. （2）解：设甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，总利润为元，则 ， ∵甲种手工艺品的进货量不低于乙种手工艺品进货量的， ∴， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，获得最大利润，最大利润为：（元）， 此时进货方案为：甲种手工艺品购进件，则乙种手工艺品购进件，最大利润为：元. 25．(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）证为的中位线，则，再证四边形为平行四边形，然后根据，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得到，，，根据直角三角形斜边中线的性质得到，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理求出，于是得到． 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵点E为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，． ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形； （2）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点E为的中点，， ∴， 由（1）知，四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 26．(1)一次函数为，反比例函数为； (2) (3)或； 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理、待定系数法求函数的解析式，求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）利用一次函数求得的坐标，利用反比例函数求得点的坐标，过点B作轴，交直线于点E，求出直线的解析式为，得到，然后利用三角形面积公式求得即可． （3）设，则，当时，，列方程并解得或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与与反比例函数的图象交于点， ，， ， ， ∴一次函数为，反比例函数为； （2）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点、点， 当时，，当时，， ，， ∵点是反比例函数图象上一点， ， ， 过点B作轴，交直线于点E， 设直线的解析式为，把，代入得到 解得 ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴ ∴ ∴的面积． （3）解：设， ∵，， 则， 当时， 即，得到 解得：或， 故点P的坐标为或； 27．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据是的直径，可得，再由圆周角定理可得，从而得到，即可求证； （2）根据圆周角定理可得，根据勾股定理可得，从而得到，然后在中，根据锐角三家函数，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 28．(1)； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况：①当点D在线段上时，②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点；③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点，三种情况讨论求解即可； （3）根据对称性可知，连接交对称轴于点P，此时的周长最小，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A，C的坐标代入抛物线的解析式，得， 解得， ∴抛物线的解析式为 将点A，C的坐标代入直线的解析式，得， 解得 ∴直线的解析式为． （2）解：①当点D在线段上时， ∵点A和点C的水平距离是3，且与抛物线只有一个交点， ∴； ②当点D在线段延长线上时，此时线段与抛物线没有交点； ③当线段恰好经过抛物线顶点时，与抛物线只有一个交点， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∴点D的纵坐标为， 在中，当时，， ∴此时． 综上所述，或． （3）∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴连接交对称轴于点P，此时的周长最小， 将代入，得， ∴点P的坐标为．    学科网（北京）股份有限公司 $