精品解析：山东省烟台市芝罘区2025-2026学年下学期七年级期中考试数学试题

初二数学 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列方程：①；②；③；④，是二元一次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：是整式方程，含有两个未知数，且所有含未知数的项的次数均为1，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵①只含有1个未知数， ∴①不是二元一次方程； ∵②是整式方程，含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1， ∴②是二元一次方程； ∵③中未知数的次数为2， ∴③不是二元一次方程； ∵④是整式方程，含有2个未知数，且所有含未知数的项的次数都是1， ∴④是二元一次方程； 综上，符合要求的二元一次方程共有2个． 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 不相交的两条直线是平行线 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，例如不同位置的两个直角相等但不是对顶角，因此A是假命题，不符合题意； B．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两条直线平行，因此B是假命题，不符合题意； C．根据垂线的基本性质，垂线段最短，因此C是真命题，符合题意； D．只有在同一平面内，不相交的两条直线才是平行线，选项未给出同一平面的前提，因此D是假命题，不符合题意． 3. 如图，下列选项中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质判断求解即可． 【详解】解：A、若，则，故A正确，不符合题意； B、若，则，故B错误，符合题意． C、若，则，故C正确，不符合题意； D、若，则，故D正确，不符合题意； 故选：B． 4. 下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 春暖花开 B. 水中捞月 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小进行判断即可． 【详解】解：A、春暖花开，是必然事件，故A不符合题意； B、水中捞月，是不可能事件，故B符合题意； C、百步穿杨，是随机事件，故C不符合题意； D、瓮中捉鳖，是必然事件，故D不符合题意． 故选：B． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点代入，求出其横坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， ， ∴， ∴ 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， 要使与的方向一致，则， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持的方向一致， 故选A． 7. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】通过对方程组变形，得到 与的关系，代入已知求出 的值，再计算所求幂的值即可． 【详解】解：， 得： 整理得，即 ， ， ， ． 8. 某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，列出满足题意的方程，求方程的非负整数解即可． 【详解】解：设搭建可容纳人的帐篷个，可容纳人的帐篷个， 依题意得：， 又，均为自然数， 或或或， 不同的搭建方案有种． 故选：． 【点睛】本题考查二元一次方程解个数的求解，熟练掌握二元一次方程解得定义是解题的关键． 9. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，由频率估计概率，先求出四种颜色球出现的概率，再根据频率估计出概率，即可求解，掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，袋子中的球共有： （个）， ∴黑球出现的概率为：， 白球出现的概率为：， 黄球出现的概率为：， 红球出现的概率为：， ∵试验中该颜色的球出现的频率稳定在左右， ∴该种球的颜色最有可能是黄球， 故选：C． 10. 清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题，“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据甲、乙二人入山采果共得三百枚，列出一个方程，根据甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，列出另一个方程，组成方程组即可． 【详解】解：设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，由题意，得： ； 故选D． 11. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵将绕点旋转到的位置， ∴， ∴， ∴． 12. 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数的图象与坐标轴的交点问题，一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数与方程(组)的关系逐一分析判断即可． 【详解】解：∵一次函数与一次函数 在同一坐标系中，两条直线交于点， ∴一元一次方程的解为，，故正确； 由，解得，故错误； ∴一次函数为， ， 把代入得，， ∴， ∴， ∴方程组的解为，故正确； ∵一次函数为， ， ∴当时，， 当时，由得， ∴，， ∴四边形的面积，故正确； ∴正确的是， 故选：． 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 【答案】如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零 【解析】 【分析】本题考查命题的改写，找准命题中的题设与结论是解题的关键；将原命题分解为题设和结论，并用“如果”引导题设，“那么”引导结论． 【详解】解：把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式为“如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零”． 故答案为：如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零． 14. 若关于的方程组的解满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，将方程组中的两个方程相减，得到关于的表达式，再根据已知条件建立方程求解即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 【答案】##64度 【解析】 【分析】本题考查对顶角相等，平行线的性质． 根据对顶角相等可得，根据角的和差可求，进而根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 水面与槽底平行， ； 故答案为：． 16. 如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的运算，等腰三角形的判定，熟悉掌握概率的运算方法是解题的关键． 根据等腰三角形的判定方法找出所有的点位置，即可运算概率． 【详解】解：由题意可得：点的位置如图标注数字所示： ∵不包含，两点的网格点的总数为， 恰好能使构成等腰三角形的概率是：； 故答案为：． 17. 某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为___________元． 【答案】 【解析】 【分析】设这款风扇每台的标价为元，根据成本不变列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这款风扇每台的标价为元， 则， 解得：， 即这款风扇每台的标价为元． 18. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】过作，过作，得到，根据两直线平行，内错角相等得到，，代入计算即可． 【详解】解：过作，过作， ∴， ∴． 由题意可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 19. 如图1是一张长方形纸条，把这一纸条先沿折叠并压平得到图2，再沿折叠并压平得到图3，若图3中，则的度数为______． 【答案】##109度 【解析】 【分析】补全折叠前的图形，由折叠得，设，表示出，然后根据平角的定义求出，然后由折叠的性质求解即可． 【详解】解：如图，补全折叠前的图形 由折叠得，设， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴由折叠得，． 20. 甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数图像，二元一次方程组，掌握根据图象得到相关量之间的等量关系是解题的关键． 设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟，根据图象列方程组，解方程组求得甲的速度为米/分钟，再将速度乘以时间，即可求解． 【详解】解：设甲的速度为m米/分钟，乙的速度为n米/分钟， 根据图象，可得， 解得， 甲家到学校的路程为米． 故答案为：． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得 解得 把代入①得 解得 ∴方程组的解为 【小问2详解】 解：整理原方程组得 得 解得 把代入②得 解得 ∴方程组的解为 22. 如图，在中，过点E作直线，C为上一点，连接交于点G，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键； （1），得到，进而推出，即可得证； （2）等量代换，得到，利用，得，，再由，求出的度数即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 23. 为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： （1）小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； （2）请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】（1） （2）设计方法见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【小问1详解】 解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k和b的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点D在上，且满足，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正比例函数表达式求出交点C坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可求解； （2）识别出方程组就是一次函数与正比例函数的表达式组成的，故解为其交点坐标； （3）设，分别求出和，利用列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵点C在上，且点C的横坐标为1， 将代入，得， ， 将，代入， 得， 解得 ； 【小问2详解】 解：变形为， 由图象和方程组知，的解为函数与的交点坐标，即， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 解：∵点D在上，直线的解析式为， 设，过点作轴于点M，过点作轴于点N， 当时，，解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴． 25. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．爸爸骑自行车以米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程（米）与各自离开出发地的时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式； （3）两人出发多长时间相遇？ 【答案】（1），， （2）（） （3）分钟 【解析】 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为，利用待定系数法解答即可求解； （）设经过分钟后，两人相遇，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一次函数图象的应用，待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【小问1详解】 解：由图象得，小明跑步速度为米/分， 步行的速度为米/分， ∵（分）， ∴点的坐标为， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为， ∵点，在该函数图象上， ∴， 解得， ∴爸爸离家的路程关于的函数表达式是（）； 【小问3详解】 解：设经过分钟后，两人相遇， 由题意得，， 解得， 答：经过分钟，两人相遇． 26. 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？ 【答案】（1）需甲车型8辆，乙车型10辆；（2）甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆 【解析】 【分析】（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，根据水果120吨且运费为8200元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设甲车有x辆，乙车有y辆，则丙车有z辆，列出等式，再根据x、y、z均为正整数，求出x，y的值，从而得出答案． 【详解】解析：（1）设需甲车型辆，乙车型辆，得： ， 解得． 答：需甲车型8辆，乙车型10辆； （2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，得： ， 消去得，， 因，是正整数，且不大于14，得，10， 由是正整数，解得，， 当，，时，总运费为：元； 当，，时，总运费为：元元； 运送方案：甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 27. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列方程：①；②；③；④，是二元一次方程的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列命题中，真命题是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C. 垂线段最短 D. 不相交的两条直线是平行线 3. 如图，下列选项中，错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 下列成语所描述的事件中是不可能事件的是（ ） A. 春暖花开 B. 水中捞月 C. 百步穿杨 D. 瓮中捉鳖 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 7. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 8. 某地突发地震，为了紧急安置名地震灾民，需要搭建可容纳人或人的帐篷，若所搭建的帐篷恰好既不多也不少能容纳这名灾民，则不同的搭建方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 9. 数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有1个黑球，2个黄球，3个白球，和4个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，则该种球的颜色最有可能是（ ） A. 黑球 B. 白球 C. 黄球 D. 红球 10. 清代康熙年间编辑的算书《御制数理精蕴》（卷九）中记载一题，“设如有甲乙二人入山采果共得三百枚，但云甲数加六百枚乙数加二百枚，则甲数比乙数多二倍，问甲乙各得几何？”其大意是：甲、乙二人入山采果共得三百枚，若甲的采果数加六百，乙的采果数加二百枚，则新得到的甲的采果数比乙的采果数多二倍，问甲、乙原来各采果多少枚？如果设甲原来采果数是枚，乙原来采果数是枚，则根据题可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 12. 一次函数与一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，两条直线交于点，与两坐标轴分别交于A、、、四个点.则下列结论： ①一元一次方程的解为；②；③方程组的解为；④四边形的面积为，正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 把命题“互为相反数的两个数之和等于0”改写成“如果……那么……”形式___________． 14. 若关于的方程组的解满足，则________． 15. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折，这种现象在物理上称为光的折射．若，则的度数为_____． 16. 如图，是边长为1的小正方形组成的网格上的两个格点，在其余的格点中任意放置点（不包含点、点所在的格点），则恰好能使构成等腰三角形的概率是__________． 17. 某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元．这款风扇每台的标价为___________元． 18. 2025年央视春节联欢晚会上，一群穿着花棉袄的人形机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中，将传统文化与尖端技术融为一体，不仅展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．图①是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面呈垂直状态，脚面呈水平状态，此时，，则的度数是______． 19. 如图1是一张长方形纸条，把这一纸条先沿折叠并压平得到图2，再沿折叠并压平得到图3，若图3中，则的度数为______． 20. 甲、乙两人从各自家中出发前往学校．，分别表示甲、乙离家的路程s（单位：米）和甲出发时间t（单位：分钟）的函数图象（如图）．已知甲比乙早4分钟出发，乙家到学校的路程比甲家到学校的路程多米．若甲、乙两人同时到达学校，则甲家到学校的路程为______米． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解下列方程组： （1） （2） 22. 如图，在中，过点E作直线，C为上一点，连接交于点G，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 23. 为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： （1）小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； （2）请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求k和b的值； （2）请直接写出方程组的解； （3）若点D在上，且满足，求点D的坐标． 25. 小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了分钟．爸爸骑自行车以米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程（米）与各自离开出发地的时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： （1）小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点的坐标为______； （2）求爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式； （3）两人出发多长时间相遇？ 26. 水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 400 500 600 （1）若全部水果都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ （2）为了节约运费，市场可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16辆，如何安排车辆运送使总运费最省？ 27. 材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $