精品解析：山东省烟台市芝罘区2024-2025学年七年级下学期数学期中试题

初 二 数 学 阶 段 检 测 练 习 题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 3. 一个不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 5. 如图，一次函数的图象与的图象相交于点A，A的横坐标为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 6. 如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 投掷一枚图钉，尖朝上 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 7. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 9. 用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树4周，则绳子还多1尺；若环绕大树5周，则绳子又少3尺．设这根绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某网约车计费标准如图所示，张老师乘坐该网约车从家到学校共8公里，则应付车费为（ ） A. 17元 B. 16元 C. 19.6元 D. 23.2元 11. 如图，，E、F分别是、上的点，，将沿折叠，边与交于点G，．下列4个结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 12. 如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 已知是方程的一个解，则a的值为________． 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，和是的外角，若，则的度数是________． 16. 用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 17. 小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 18. 将某班男生的身高分成了三组，情况如上表所示，则表中b的值是______． 第一组 第二组 第三组 频数 6 10 a 频率 b c 20% 19. 学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本．已知采购3本英语簿、本数学簿、本作文本需要9元；采购2本英语簿、3本数学簿、4本作文本需要11元．那么采购100本英语簿、100本数学簿、100本作文本需要的钱数是________． 20. 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是________． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解下列方程组： （1） （2） 22 如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23. 如图所示，某新型休闲凳可无缝叠摞在家中角落，节省收纳空间，请根据图中所给的信息数据，解答问题． （1）求叠在一起的凳子总高度与休闲凳数量（个）之间的一次函数表达式； （2）当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度． 24. 周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 （1）转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券概率； （2）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ （3）李老师购买了600元商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 25. 某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 26. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完角的定义及其性质和平行线的性质与判定，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 一副三角尺如图，， ， ，． 问题解决 任务1 将这副三角尺如图摆放，使点B与F重合，且，则的度数为_______； 任务2 将这副三角尺如图摆放，顶点C与F重合，，求的度数． 任务3 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，保持三角尺DEF固定不动，将三角尺绕着点F逆时针旋转度（）．请直接写出当旋转角为多少度时，边与的一边平行？ 解答区 27. 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）设点P在上， ①若，求点P坐标； ②若是以为底边的等腰三角形，请求出点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初 二 数 学 阶 段 检 测 练 习 题 一、选择题（每题3分，满分36分） 1. 下列是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是一元一次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； B．，是二元二次方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； C．，是分式方程，不是二元一次方程，故本选项不符合题意； D．，是二元一次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 2. 下列命题中，是假命题的是（ ） A. 内错角相等 B. 对顶角相等 C. 互余的两个角不一定相等 D. 两点之间，线段最短 【答案】A 【解析】 【分析】根据内错角、对顶角、余角及线段之间的关系即可求解． 此题主要考查命题的真假，解题的关键是熟知内错角、对顶角、余角及线段之间的关系． 【详解】解：A. 内错角不一定相等，故是假命题，符合题意； B. 对顶角相等，故是真命题，不符合题意； C. 互余的两个角不一定相等，故是真命题，不符合题意； D..两点之间，线段最短，故是真命题，不符合题意． 故选：A 3. 一个不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的定义，概率的公式，理解概率的定义是解题的关键． 【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，5个白球， ∴袋子里总共有个球 ∵白球的个数为5个， ∴摸出的小球是白球的概率为， 故选：A． 4. 要得知作业纸上两相交直线，所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量，两同学提供了如下间接测量方案（如图）： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可 ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案I、II，说法正确的是（ ） A. I可行、II不可行 B. I不可行、II可行 C. I、II都可行 D. I、II都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图—作角等于已知角，直线、射线、线段，平行线的判定与性质，三角形的内角和，根据平行线的判定与性质可对方案（I）进行判断；根据三角形的内角和可对方案（II）进行判断． 【详解】解：对于方案（I）： ， ， 等于直线所夹的锐角， 测量的大小即可， ∴方案（I）正确； 对于方案（II）： 和直线所夹锐角组成三角形， 直线所夹锐角等于， 所以测量和的大小可计算出直线所夹的锐角， ∴方案（II）正确． 故选：C． 5. 如图，一次函数图象与的图象相交于点A，A的横坐标为2，则k的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，理解题意，得到点的坐标，代入计算即可． 【详解】解：一次函数的图象与的图象相交于点A，A的横坐标为2， ∴把代入得，， ∴， 把点代入得，， 解得，， 故选：A ． 6. 如图，是根据“用频率估计概率”的实验统计的某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ） A. 小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 投掷一枚图钉，尖朝上 D. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为的即为正确答案． 【详解】解：试验结果附近波动，即其概率， A、小明和小刚做“石头、剪刀、布”游戏（结果可能出现胜、负、平），小明获胜的概率为，故A选项错误； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故B选项错误； C、投掷一枚图钉，尖朝上的概率无法判断，故C选项错误； D、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是偶数是，故D选项正确； 故选：D． 7. 如图，在中，是边上的高，平分交边于点E，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵是边上高， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．由可得：，再代入条件，解关于的方程即可． 【详解】解： 由得：， ∵， ∴， 解得：． 故选：C 9. 用一根绳子环绕一棵大树，若环绕大树4周，则绳子还多1尺；若环绕大树5周，则绳子又少3尺．设这根绳子有x尺，环绕大树一周需要y尺，则下列所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意列出方程组即可． 【详解】设这根绳子有尺，环绕大树一周需要尺，根据题意，得 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键． 10. 某网约车计费标准如图所示，张老师乘坐该网约车从家到学校共8公里，则应付车费为（ ） A. 17元 B. 16元 C. 19.6元 D. 23.2元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，正确读懂图象是解题的关键． 利用应付车费为前3公里的8元加上后5公里的费用即可求解． 【详解】解：由函数图象得，应付车费为（元）， 故选：A． 11. 如图，，E、F分别是、上的点，，将沿折叠，边与交于点G，．下列4个结论：①平分；②；③平分；④若，则．其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质． ①利用等角的余角相等证明即可； ②分别证明，即可； ③利用平行线的性质证明即可； ④求出，利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：由翻折变换的性质可知， ∵， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴平分，故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 12. 如图，，O位于两平行线之间且和的平分线交于点，分别作和的平分线交于点，再分别作和的平分线交于点，……，再分别作和的平分线交于点，若，则n的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 过点作，过点作，则，先求出，同理可得：，得到规律，再代入求值即可． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ， ， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， 同理可得：， 以此类推：， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 二、填空题（每题3分，满分24分） 13. 已知是方程的一个解，则a的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．将代入方程，得到关于a的一元一次方程求解即可． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值与算术平方根的非负性以及解二元一次方程组，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，根据非负性列方程组求解是解题的关键．本题可根据绝对值与算术平方根的非负性，列出关于、的方程组，求解出、的值，再代入计算 ． 【详解】解：，，且， ， 用第二个方程减去第一个方程可得：， 即， 化简得，解得， 把代入，得，解得， 则． 故答案为：． 15. 如图，和是的外角，若，则的度数是________． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合平角的定义，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵和是的外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为： 16. 用一张等宽纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图，先标注点与角，由对折可得：，求解，利用，从而可得答案． 【详解】解：如图，先标注点与角， 由对折可得：， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是折叠的性质，平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解本题的关键． 17. 小明和小刚在计算两个正整数相加时，小明在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，小刚在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72，则这两个正整数的和应该是________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设第一个加数为x，第二个加数为y，根据在第一个加数后面加了个0，得到的和是126，在第二个加数后面加了个0，得到的结果是72建立方程组求解即可． 【详解】解：设第一个加数为x，第二个加数为y， 由题意得，， 得：， ∴， 故答案为：18． 18. 将某班男生的身高分成了三组，情况如上表所示，则表中b的值是______． 第一组 第二组 第三组 频数 6 10 a 频率 b c 20% 【答案】30% 【解析】 【分析】根据各小组的频率之和等于1，即可得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出b的值． 【详解】∵第一组与第二组的频率之和为1-20%=80%， ∴该班男生的总人数为（6+10）÷80%=20， ∴b=6÷20=30%． 故答案为：30%． 【点睛】本题主要考查了频数与频率，频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比），即频率=频数÷总数． 19. 学校现准备采购若干英语簿，数学簿以及作文本．已知采购3本英语簿、本数学簿、本作文本需要9元；采购2本英语簿、3本数学簿、4本作文本需要11元．那么采购100本英语簿、100本数学簿、100本作文本需要的钱数是________． 【答案】400元 【解析】 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，熟练掌握通过方程变形、相加求出相关量的和是解题的关键．本题可通过设未知数表示三种本子的单价，根据已知条件列出方程组，再通过对两个方程进行变形、相加，求出本英语簿、本数学簿和本作文本的总价，进而求出套的总价． 详解】解：设英语簿每本元，数学簿每本元，作文本每本元． 根据题意可得 得： 两边同时除以得： ∴采购本英语簿、本数学簿、本作文本需要： ， 故答案为： ． 20. 如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长，过点作于点，作于点，作于点，然后证明是的平分线，进而可得的度数，再求出的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质． 【详解】解：延长，过点作于点，作于点，作于点， ， 的外角的平分线与内角平分线交于点， ，， ， 是的平分线， ∵， ∴， ∴， 平分，平分， ，， ，， ， ； 故答案为：． 三、解答题（共7题，满分60分） 21. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：； ∴； 【小问2详解】 原方程组整理，得：， ，得：； 把代入①，得：，解得：； ∴． 22. 如图，已知，，A、F、B三点共线，连接交于点E． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可求证； （2）根据三角形内角和定理可得，然后根据平行线的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23. 如图所示，某新型休闲凳可无缝叠摞在家中角落，节省收纳空间，请根据图中所给的信息数据，解答问题． （1）求叠在一起的凳子总高度与休闲凳数量（个）之间的一次函数表达式； （2）当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度． 【答案】（1）； （2）70． 【解析】 【分析】（1）设，由题意可知，，或，，可列方程组求解； （2）将代入（1）中的函数关系式求解． 【小问1详解】 解：设，将，，，代入，得 解得， ∴y与x的一次函数关系式为， 【小问2详解】 解：当时，， 所以当购买5个休闲凳时，求叠在一起的凳子的总高度为70． 【点睛】本题考查了一次函数的运用．关键是明确题目中x、y的实际意义，结合图形条件，列方程组求函数关系式． 24. 周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动．规则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），一次购物满元的顾客可获得一次转转盘抽奖的机会．转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 （1）转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得元和元奖券的概率； （2）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ （3）李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色，请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖． 【答案】（1）， （2）需要将个黄色区域改为红色 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先确定转盘总等可能结果数，再找出对应颜色区域数量，用对应颜色区域数除以总结果数得概率． （2）设黄色改红色的数量为未知数，根据调整后获20元奖券概率列方程求解． （3）通过分配转盘颜色区域，使兄弟俩获胜概率相等来设计公平规则． 本题主要考查了概率的计算与应用，涉及等可能事件概率公式（，是总结果数，是事件发生的结果数 ），熟练掌握概率公式，根据题意分析事件结果数是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， ∴指针指向红色的概率为，指针指向黑色的概率为， ∴他获得元和元奖券的概率分别为，． 【小问2详解】 解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， ∴需要将个黄色区域改为红色． 【小问3详解】 解：将转盘2个扇形涂成红色、2个扇形涂成绿色、1个扇形涂成黄色，转动转盘停止后，若指针指向红色区域，则小明胜；若指针指向绿色区域，则小刚胜；若指向分界线或黄色扇形时重转，直到指向红色或绿色扇形为止． 25. 某村为建设美丽乡村、为村民提供良好的休闲活动场所，采购了33吨路面砖准备铺设一个村民活动场所，现向某运输公司同时租赁A、B两种车型货车运送．已知用2辆A型车和1辆B型车装满一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车装满一次可运13吨路面砖． （1）求1辆A型车和1辆B型车都装满面砖一次可分别运多少吨？ （2）若A型车每辆租金为元/次，B型车每辆租金为元/次，33吨路面砖一次运完且恰好每辆车都装满．请求出较省钱的一种租车方案． 【答案】（1）1辆A型车一次可运3吨，1辆B型车一次可运5吨 （2）较省钱的一种租车方案为租A型车1辆，B型车6辆 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）根据设1辆A型车装满路面砖一次可运x吨，1辆B型车装满路面砖一次可运y吨，已知用2辆A型车和1辆B型车一次可运11吨路面砖，1辆A型车和2辆B型车一次可运13吨路面砖．列方程求解即可； （2）设计划同时租用A型车a辆，B型车b辆．一次运完，且恰好每辆车都装满．列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【小问1详解】 解：设1辆A型车装满一次可运x吨路面砖，1辆B型车装满一次可运y吨路面砖， 由题意得：，解得：， 答：1辆A型车装满一次可运3吨路面砖，1辆B型车装满一次可运5吨路面砖； 【小问2详解】 设租用A型车a辆，B型车b辆，由题意得：，整理得：， ∵a，b均为正整数，∴或，∴有2种租车方案： ①租A型车6辆，B型车3辆，方案租金：（元）， ②租A型车1辆，B型车6辆，方案租金：（元）， ∵， ∴较省钱的一种租车为方案②：A型车1辆，B型车6辆． 26. 根据以下素材，探索完成任务． 探究平行线在一副三角尺中的运用 素材 背景 一副三角尺为我们观察世界提供一个小小的窗口，学完角的定义及其性质和平行线的性质与判定，可探究三角尺摆放位置不同涉及的数学问题． 素材 一副三角尺如图，， ， ，． 问题解决 任务1 将这副三角尺如图摆放，使点B与F重合，且，则的度数为_______； 任务2 将这副三角尺如图摆放，顶点C与F重合，，求的度数． 任务3 两个三角尺如图摆放，直角顶点C与F重合，保持三角尺DEF固定不动，将三角尺绕着点F逆时针旋转度（）．请直接写出当旋转角为多少度时，边与的一边平行？ 解答区 【答案】任务1：；任务2：；任务3：α的度数为或或或 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质（两直线平行，同位角、内错角相等）、三角尺特殊角度（、、、）的运用及旋转角的分类讨论．熟练掌握平行线性质，结合三角尺角度拆分、合成角，通过分类讨论旋转后直线平行的不同位置关系是解题关键． 任务1：利用平行线性质（两直线平行，内错角相等），结合三角尺已知角度，通过角的差计算． 任务2：借助平行线性质，作辅助平行线，将拆分为与三角尺角度相关的两个角，通过角的和求解． 任务3：分情况讨论与三边（、、）平行时的旋转状态，依据平行线性质、三角尺角度，结合旋转角定义计算． 【详解】解：任务1 ∵，，，点与重合． ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． 任务2 过点作， ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）； ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴． 任务3 三角尺固定，，，；三角尺绕逆时针旋转（），分以下情况： 情况1：, 如图，当与同向平行时， ∵, ∴ ∴，即． 如图，当与反向平行时, ∵, ∴ ∴， ∴即． ． 情况2： 如图，∵， ∴, ∴ 情况3： ∵， ∴． 综上，α的度数为或或或． 27. 如图，直线的函数表达式为，与x轴交于点D．直线与x轴交于点A，且经过点，直线与交于点． （1）求直线的函数表达式； （2）求的面积； （3）设点P在上， ①若，求点P的坐标； ②若是以为底边的等腰三角形，请求出点P的坐标． 【答案】（1） （2）6 （3）①或；② 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）代入中，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可； （3）①分点在轴上方和轴下方，两种情况进行求解即可；②根据是以为底边的等腰三角形，得到点在的中垂线上，进而得到点的横坐标，代入解析式求出纵坐标，即可得出结果． 【小问1详解】 解：把代入，得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，把，，代入，得： ，解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，；当时，； ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 【小问3详解】 ①当点P在x轴上方时： 则：， ∴， ∴当时，则：， ∴； 当点P在x轴下方时：则：， ∴， ∴当时，则：， ∴； 综上：或； ②当是以为底边的等腰三角形，则：点在的中垂线上， ∵， ∴点的横坐标为：， ∴当时，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $