精品解析：山东淄博市临淄区2025-2026学年度第二学期期中考试九年级数学试题

2025－2026学年度第二学期期中考试初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4、保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 3. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 6. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转度得到，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 当x＞﹣1时，y＜﹣3 C. 当x＞0时，y的值随x的增大而减小 D. 若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上 9. 如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的处，折痕为，点分别在和上．若，则为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴，轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点．若点在函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_____． 12. 一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_________． 13. 某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 14. 设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 15. 如图，为线段外一点，连接，，，，在边上有一点，满足，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是___________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 18. 对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，根据上面的材料，请完成下列问题： （1）若，求； （2）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 19. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 20. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 21. 【问题背景】 如图所示，某数学兴趣小组在探究图形变换时，将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两个直角三角形为和，，接着，他们将沿着方向（即向右）平移，得到．平移过程中，与原来的有一部分重叠，重叠部分是一个四边形，其中，交于点交于点． 【观察猜想】 （1）在平移过程中，线段与的长度有什么关系？请写出你的猜想，并说明理由； 【特例研究】 （2）在平移过程中，当重叠部分为菱形时，求移动的距离． 【深入探究】 （3）在平移过程中，四边形的面积如何变化？是否存在最大值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式和顶点的坐标； （2）点为抛物线上第二象限内一点，连接，与直线交于点，求的最大值： （3）平移抛物线，使得新抛物线的顶点还在原抛物线 上，直线与新抛物线交于点，连接，，且． 求证：为等腰三角形； 求点的坐标． 23. 在中，为边上一点，经过，，三点作圆交边于点，将沿进行折叠，点与点恰好重合，连结． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，求证：为圆的切线； （3）如图3，连接交于点． ①若，求的长； ②设，记的面积为，的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期期中考试初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4、保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5.评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 下列算式中，运算结果为负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图，是一个木制陀螺（上面是圆柱体，下面是圆锥体），从前面观察这个物体，得到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，由此即可得出结果，还考查了空间想象能力． 【详解】解：从正面看，底层是一个三角形，上层是一个矩形，如图： ， 故选：A． 3. 石墨烯材料可能会成为制造芯片的关键材料，如图是二维石墨烯的晶格结构，图中标注出了石墨烯每两个相邻碳原子间的键长．将用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的定义，理解定义“科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当时，n是正整数，当时，n是负整数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：C． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂乘法、积的乘方、完全平方公式、平方差公式计算各选项，判断结果正误． 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 5. 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小． 【详解】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数． 故选：A． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转度得到，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转的定义可得，再利用平行线的性质求出即可求解． 【详解】解：由旋转可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图，扇形纸片的半径为6，沿折叠扇形纸片，点恰好落在弧的处，图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠，，进一步得到四边形是菱形；进一步由得到是等边三角形；最后阴影部分面积扇形面积菱形的面积，即可求解． 【详解】依题意：， ∴ ∴四边形是菱形 ∴ 连接与交于D点 ∵ ∴ ∴是等边三角形 同理：是等边三角形 故 由三线合一，在中： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 8. 关于反比例函数y＝，下列说法中错误的是（　　） A. 它的图象分布在一、三象限 B. 当x＞﹣1时，y＜﹣3 C. 当x＞0时，y的值随x的增大而减小 D. 若点（a，b）在它的图象上，则（b，a）也在图象上 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵反比例函数，k＝3>0 ∴该函数的图象在第一、三象限，故选项A正确； 当﹣1＜x＜0时，y＜﹣3，当x＞0时，y＞0，故选项B错误； 当x＞0时，y的值随x的增大而减小，故选项C正确； 若点（a，b）在它的图象上，则有，从而有，即点（b，a）也在图象上，故选项D正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，可借助函数图象解决． 9. 如图，将等边三角形折叠，使得点落在边上的处，折痕为，点分别在和上．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形和折叠的性质得到边、角关系，设，，则，，，，通过证明，结合对应边成比例求解． 【详解】解：为等边三角形， ，． ， ． 由折叠性质：，，． 设，，则，，，． ，， ． 又， ． ，即． ∴，， ∴，， ∴， 解得，即． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点分别在轴，轴上，E为正方形对角线的交点，反比例函数的图象经过点．若点在函数的图象上，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，则，过点作轴于点，过点作轴于点，先求出点的坐标（用表示），代入函数可得之间的等式，再求出点的坐标，代入函数可得的值，则可得的值，由此即可得． 【详解】解：设点的坐标为，点的坐标为， 则， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，，点是对角线的中点， ∴， ∴， ∵轴轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点是对角线的中点，且， ∴， 将点，代入函数得：， ∴或（舍去）， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， 将点代入函数得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 一个函数过点，且随增大而增大，请写出一个符合上述条件的函数解析式_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意及函数的性质可进行求解． 【详解】解：由一个函数过点，且随增大而增大，可知该函数可以为（答案不唯一）； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 13. 某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动．如图，桥墩刚好在坡度为的斜坡边上，斜坡长为48米，在点处测得桥墩最高点的仰角为，平行于水平线，长为米，则桥墩的高度为_____米． 【答案】64 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用（坡度、仰角问题），解题的关键是利用坡度求出斜坡的水平与垂直高度，再结合仰角构造直角三角形求解． 先由坡度求出斜坡与水平面的夹角，再根据斜坡长度求出点相对于的垂直高度和水平距离；结合的长度求出点相对于点的总水平距离；最后利用仰角的正切值建立方程求解桥墩的高度． 【详解】解：过点作于点，延长交于点． 斜坡的坡度， ， ， ∴. 米， (米)，(米)． (米)． 在中，，， (米)． ， 米． 故答案为：． 14. 设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 15. 如图，为线段外一点，连接，，，，在边上有一点，满足，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作的外接圆，求得是等边三角形，过点作，使，证明，求得点在以点为圆心，2为半径的上，当在同一直线上时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：作的外接圆，连接，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 过点作，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心，2为半径的上， ∴当在同一直线上时，有最小值，如图， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 按要求完成下列计算： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算与分式的化简，解题的关键是掌握绝对值、负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值的运算法则及分式通分的方法． （1）先分别化简绝对值、负整数指数幂、零指数幂和三角函数值，再按顺序计算； （2）将整式部分看作分母为1的分式，通分后利用平方差公式化简分子． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在和中，点，，，在同一条直线上，若，，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得． （1）你选择的补充条件是___________（填序号）； （2）根据你选择的补充条件，写出的证明过程． 【答案】（1）①或③ （2）证明见解析 【解析】 【分析】选①，由可得，进而满足边角边的全等判定；选②，根据边边角无法判定全等；选③，直接根据角角边可判定全等． 【小问1详解】 解：选①或③； 【小问2详解】 解：选①， 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； 选③， 证明：在和中， ， ∴． 18. 对于任意实数，，定义一种新运算：，例如：，根据上面的材料，请完成下列问题： （1）若，求； （2）解不等式组，并在数轴上表示出它的解集． 【答案】（1） （2），图见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义运算法则得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据新定义运算法则得出关于的一元一次不等式组，分别解每个不等式，再将解集表示在数轴上即可． 【小问1详解】 解：， ∴结合题意可得， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， ； 【小问2详解】 解：∵ ∴结合题意可得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 把和在数轴上表示为： 原不等式组的解集为：． 19. 横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题． 模型设计水平调查报告 调查主题 “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 调查目的 通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识． 调查对象 某校学生模具设计成绩 调查方式 抽样调查 数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用表示），并整理，将其分成如下四组： ，，，． 下面给出了部分信息： 其中组的成绩为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是_____分，在扇形统计图中，组对应圆心角的度数为______； （）请补全频数分布直方图； （）请估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数； （）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率． 【答案】（），，；（）补图见解析；（）人；（） 【解析】 【分析】（）由组学生人数除以其百分比可求出抽取的学生人数，进而可求出组学生人数，再根据中位数的定义和频数直方图即可求解； （）根据（）所得组学生人数补全频数分布直方图即可； （）用乘以成绩不低于分的人数占比即可； （）画出树状图，根据树状图解答即可； 本题考查了频数直方图，扇形统计图，中位数，样本估计总体，用树状图或列表法求概率，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ∴本次共抽取了名学生的模具设计成绩， ∴组学生人数为人， ∵成绩由低到高排列，中位数为第和第个数据的平均数， ∴中位数分， 组对应圆心角的度数为， 故答案为：，，； （）补全频数分布直方图如下： （）， 答：估计全校名学生的模具设计成绩不低于分的人数为人； （）画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有种， ∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为． 20. 某学校开设了智能机器人编程的校本课程．学校购买了，两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型的数量与用元购买型机器人模型的数量相同． （1）求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ （2）学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买型机器人模型至少为多少台？ 【答案】（1）型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元； （2）购买型机器人模型至少为台． 【解析】 【分析】（1）设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元，根据题意列方程求解即可； （2）设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台，根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设型机器人模型的单价为元，则型机器人模型的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴型机器人模型的单价为元，型机器人模型的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买型机器人模型台，则购买B型机器人模型台， 由题意可得， 解得， 又∵为正整数， ∴m的最小值为14， ∴购买型机器人模型至少为台． 21. 【问题背景】 如图所示，某数学兴趣小组在探究图形变换时，将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两个直角三角形为和，，接着，他们将沿着方向（即向右）平移，得到．平移过程中，与原来的有一部分重叠，重叠部分是一个四边形，其中，交于点交于点． 【观察猜想】 （1）在平移过程中，线段与的长度有什么关系？请写出你的猜想，并说明理由； 【特例研究】 （2）在平移过程中，当重叠部分为菱形时，求移动的距离． 【深入探究】 （3）在平移过程中，四边形的面积如何变化？是否存在最大值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）与的长度相等，见解析 （2） （3）四边形的面积先变大再变小；存在最大值；3 【解析】 【分析】（1）根据矩形和平移的性质证明四边形是平行四边形即可； （2）先由勾股定理求解，然后设，由三角函数可得，则，故，再由四边形为菱形得到，据此建立方程求解； （3）求出，再根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：与的长度相等．理由如下： 四边形是矩形， ， 由平移可得，， 四边形是平行四边形， 【小问2详解】 解：在矩形中，， ， ， 设， 在Rt中，， ， ， ， 四边形为菱形， ， ，即， 移动的距离； 【小问3详解】 解：在平移过程中，四边形的面积先变大再变小；存在最大值； 设，则 ∴ ， ∵，对称轴为直线， ∴时，四边形的面积随着的增大而增大；当时，最大值为3；当时，四边形的面积随着的增大而减小． 综上：四边形的面积先变大再变小；存在最大值；最大值为3． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式和顶点的坐标； （2）点为抛物线上第二象限内一点，连接，与直线交于点，求的最大值： （3）平移抛物线，使得新抛物线的顶点还在原抛物线 上，直线与新抛物线交于点，连接，，且． 求证：为等腰三角形； 求点的坐标． 【答案】（1），顶点 （2）的最大值为 （3） 证明过程见解析； 【解析】 【分析】1（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式，化为顶点式，即可得顶点坐标； （2）过点作轴的垂线，与交于点，证明，可得，由待定系数法可得的解析式，设，则，可得，即可得的最大值： （3）设平移后抛物线的解析式为，可得点在线段的垂直平分线上，可得，即可证得结论；过点作的垂线，垂足为点，由等边对等角可得，由已知可得，由三角形的内角和定理可得，在中，，可得，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， ∴， ∴顶点． 【小问2详解】 解：过点作轴的垂线，与交于点，则， ∴，， ∴， ∴， 抛物线解析式为， 令，得， 令，可得，， ∴，，， 设的解析式为， ∴， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∴当时，的最大值为． 【小问3详解】 解：证明：设平移后抛物线的解析式为， ∵点在上， ∴， 将代入中， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作的垂线，垂足为点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 在中，为边上一点，经过，，三点作圆交边于点，将沿进行折叠，点与点恰好重合，连结． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交，于点，，再以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，求证：为圆的切线； （3）如图3，连接交于点． ①若，求的长； ②设，记的面积为，的面积为，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）由圆内接四边形的性质可知，由三角形外角的定义可知，等量代换可得出． （2）连接，取中点为，连接，由题意可知，由圆周角定理可知为圆的直径，点为圆心，由同弧所对的圆周角相等可知，再得出为等腰三角形，由作图以及三线合一的性质得出，由三角形中位线的判定和性质可知，由平行线的性质可得出． （3）①由题意可知，由圆周角定理可知为圆的直径，点为圆心，由同弧所对的圆周角相等可知，由正切的定义得出，证明，由相似三角形的性质得出，由勾股定理即可求出． ②设，，求出，取的中点为，连接，由①问知，为的直径，进而求出半径，由圆周角定理得出，由相似三角形的判定和性质得出 ，设的面积为，则，即，由三角形中线的性质可得出，进而可求出， 分别表示出的面积，的面积为，然后相比即可得出答案． 【小问1详解】 解：点在同一个圆上， ， 又， ． 【小问2详解】 证明：连接，取中点为，连接， 与关于直线对称，点与点恰好重合， ， 为圆的直径，点为圆心， 又， ， 为等腰三角形， 由作图过程可知，平分，则， ， 点分别为的中点， ∴是三角形的中位线， ， ， 为圆的切线． 【小问3详解】 解：①与关于直线对称，点与点重合， ， 为圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ． ②设， 在中， ， ， ， 取的中点为，连接， 由①问知，为的直径， ， ， ， 又 ， ， 设的面积为，则， ， 在中，， ， ， ， ， ， 又， 的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $