精品解析：山东淄博市张店区2025-2026学年度第二学期阶段性学业水平测试九年级数学试题

2025－2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 在这四个数中，最小的无理数是（ ） A. B. C. D. 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，，两点分别与，对应．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 小颖同学早晨出门跑步时，离家的距离（米）与时间（分钟）之间大致的函数图象如图所示．若用点表示小颖家的位置，则小颖跑步的路线有可能是（ ） A. B. C. D. 8. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 爱思考的小明同学在学习了“反比例函数”与“二次函数”之后，利用数学绘图软件探究了函数（是常数）的图象，小明在输入及的一组值后得到如右图所示的函数图象．则下列关于小明输入的的值，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，以点为圆心为半径的交直线于点（点在点右边），连接，交于点，在轴上方的直线上取点，连接．现有以下结论： ①的最小值是3； ②的最小值是； ③的最小值是； ④当取得最小值时，的值恰好为． 则其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 写出使分式有意义的的一个值_____． 12. 因式分解：_____． 13. 如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 14. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点是点，连接，并延长交于点，则的长为_____． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点和点互为“和谐点”．已知是以为圆心为半径的上的一点，若反比例函数的图象上存在点的和谐点，则的取值范围是_____． 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上） 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 18. 已知二次函数． （1）利用配方法将化成的形式，并直接写出该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）如果在该二次函数的图象上有两点，，其中，求的值． 19. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文体育观念，营造浓厚体育氛围，强健学生体魄，砥砺学生意志．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组，A：；B：；C：；D：，并绘制了如图1、2两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了_____名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为_____，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； （2）若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 21. 如图1，是某地某河段上的斜拉桥．该地某校九年级一数学实践小组计划运用所学知识，测量该斜拉桥桥面上桥塔的高度，该数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，制定了如下方案： 【数据采集】 如图2，是水平的斜拉桥桥面，点是竖直桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，无人机沿水平方向由点向前飞行米到达点处，在处测得处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 请根据以上数据求桥塔的高度．（结果精确到1米）参考数据：，，，，，． 22. 小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接． 【初步探究】 （1）小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 （2）小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 （3）小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； （3）如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期阶段性学业水平测试 初四数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上） 1. 在这四个数中，最小的无理数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先根据有理数与无理数的定义判断，再进行比较即可． 【详解】解：是分数，是整数，二者都是有理数，不符合题意；和都是无理数，，，则， 故C符合题意． 2. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 3. 2026年，农历丙午年，也是马年．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票1套2枚，邮票上的骏马，扬蹄奋起，呼啸前行，既展现出“一马当先”的开拓气概，也诠释了“万马奔腾”的团结力量．此次计划发行套票26680000套，将26680000用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把一个大于10的数记作的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案． 【详解】解：． 4. 如图，四边形为一长条形纸带，，将四边形沿折叠，，两点分别与，对应．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据折叠的性质得到，由平行线的性质得到，则可证明，据此由平角的定义可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 5. 4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 则在本次调查的这组数据中，众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数和中位数的概念和计算方法，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是一组数据中从小到大排列中间的一个数据（偶数个数据则为中间两个数的平均数）． 【详解】众数是一组数据中出现次数最多的数，条形直方图中出现最多的数据是条形图中最高的读书时间为小时有人，则众数为； 中位数是一组数据中从小到大排列中间的一个数据（偶数个数据则为中间两个数的平均数），总人数是（人）， ∵是偶数，中间两个数为和，按照读书时长从小到大排列，则读书时间在小时和小时的人数有（人），读书时间小时的有人，（人）， ∴第个和第个数据在读书时间为小时这组数据中，所以中位数为． 6. 如图，四边形的顶点在上，点在的延长线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在优弧上取点D，连接，得，即得的度数． 【详解】解：在优弧上取点D，连接， ∵，且， ∴ ， ∴． 7. 小颖同学早晨出门跑步时，离家的距离（米）与时间（分钟）之间大致的函数图象如图所示．若用点表示小颖家的位置，则小颖跑步的路线有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查识别函数图像及利用函数图像解决实际问题的能力，注意排除法在解题中的应用．由图形可知，小颖跑步：开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，结合图象逐项排除． 【详解】解：A、小颖跑步路线是离家越来越远，故A选项不符合题意； B、小颖跑步路线没有一段时间离家的距离不变，故B选项不符合题意； C、小颖跑步开始一段时间离家越来越远，然后有一段时间离家的距离不变，然后离家越来越近，故C选项符合题意； D、小颖跑步路线没有一段时间离家的距离不变，故D选项不符合题意． 8. 《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）？设这批椽有株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据总价和数量求出一株椽的单价，再根据题干给出的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批椽共有株，这批椽的总价钱为文， 则 一株椽的价钱为 文， 依题意有： ． 9. 爱思考的小明同学在学习了“反比例函数”与“二次函数”之后，利用数学绘图软件探究了函数（是常数）的图象，小明在输入及的一组值后得到如右图所示的函数图象．则下列关于小明输入的的值，判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察函数图象，类比反比例函数图象和二次函数图象，即可求解． 【详解】解：∵， 当时，函数图象在轴的下方， 当时，函数图象在轴的上方， 设， 则对称轴为直线， 根据函数图象可得，当时，，对称轴 ∴ 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，以点为圆心为半径的交直线于点（点在点右边），连接，交于点，在轴上方的直线上取点，连接．现有以下结论： ①的最小值是3； ②的最小值是； ③的最小值是； ④当取得最小值时，的值恰好为． 则其中正确的结论有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题是选择压轴题，综合考查圆的性质、勾股定理、最短路径与代数最值问题．①利用勾股定理和配方法即可求得的最小值；②过点作的切线，设切点为，求出的长，再证明 ，然后得到的最小值，即可得到答案；③作点关于直线的对称点，则点，，得到，即可得到答案；④由③的推导可知，当取最小值时，，即可得到答案． 【详解】解：①,， , ∴的最小值是3， 故①正确. ②由已知可得，的最小值是点到直线的水平距离， 过点作的切线，设切点为， 由勾股定理： ， ∴， ， ， ∴ ， ∴ ， 又， ∴， 点在线段上，且， ， ∴的最小值， ， ∴， ∴的最小值， 故②正确. ③作点关于直线的对称点，则点，， ∴， ， ， 令， 则， ∴， ， 即， 解这个不等式，先求根， 由于在时有可能为正，取正根：， ∴的最大值为，此时判别式为0，方程有重根：， 代入得：， 当取最大值时，的最小值， 验证：，恰好等于根号内的值， ∴的最小值， 因此，的最小值为，此时． 故③正确． ④由③的推导可知，当取最小值时，，与结论④一致， 故④正确． 综上，①②③④均正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题纸的相应位置上） 11. 写出使分式有意义的的一个值_____． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可知，再求出符合条件的值． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， ∴分式有意义的x的一个值为5（答案不唯一）． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 13. 如图，已知点，，连接，将线段平移得到线段．若点的对应点是，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点B和其对应点D的坐标，计算出平移的横坐标变化量和纵坐标变化量．利用上述计算出的变化量，结合点A的坐标求出点C的坐标． 【详解】∵点平移后得到对应点， ∴横坐标变化：，纵坐标变化：． ∵，  ∴的横坐标：，的纵坐标：， ∴的坐标为． 14. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到（点的对应点是点，连接，并延长交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作于点L，交的延长线于点R，则，将绕点C顺时针旋转得到，可得，再根据勾股定理得，，即可得出，然后根据“角角边”证明，可得，接下来说明，可得，最后根据得出，则此题可解． 【详解】解：作于点L，交的延长线于点R，则， 将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵, ∴， ∴． 15. 在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点和点互为“和谐点”．已知是以为圆心为半径的上的一点，若反比例函数的图象上存在点的和谐点，则的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“和谐点”的定义得到坐标之间的关系，结合勾股定理及反比例函数的性质、二次函数的性质、一元二次方程的根的判别式求解即可. 【详解】解：∵互为“和谐点”， ∴， 即：， ∵是以为圆心为半径的上的一点， ∴， 令， ∴， ∴即：， ∵一元二次方程有解， ∴， 解得：； ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴开口向上， 当时，最小为：， ∵； ∴， ∵， ∴或. 三、解答题（本题共8小题，共计90分，请把相应题目的解答过程写在答题纸的相应位置上） 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题为分式化简求值题，解题思路是先计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简结果，最后代入的值计算． 【详解】解：原式        当时，原式 17. 如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 18. 已知二次函数． （1）利用配方法将化成的形式，并直接写出该二次函数的顶点坐标和对称轴； （2）如果在该二次函数的图象上有两点，，其中，求的值． 【答案】（1）顶点坐标为，对称轴为直线 （2）或 【解析】 【分析】（1）利用完全平方公式进行配方即可，依据配方后的解析式即可得到结论； （2）把，代入，根据得出，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解： 顶点坐标为，对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵点，在该二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 整理得，， 解得，，， ∴的值为或． 19. 为了贯彻落实健康第一的指导思想，促进学生全面发展，某校积极倡导人文体育观念，营造浓厚体育氛围，强健学生体魄，砥砺学生意志．该校对七、八年级部分学生每周的锻炼时间（单位：h）进行统计，按照每周锻炼时间分成四组，A：；B：；C：；D：，并绘制了如图1、2两幅不完整的统计图，请你根据图中所提供的信息，完成下列问题： （1）该校此次调查共抽取了_____名学生，扇形统计图中“B”组对应的扇形圆心角的度数为_____，并补全条形统计图； （2）若该校八年级共800名学生，请估计八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数； （3）若“D”组中七年级和八年级各有2名同学报名市区的运动比赛，学校打算从这4名同学中挑选2名参赛，请用列表法或树状图法求恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率． 【答案】（1）80，162，见解析 （2）八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为人； （3） 【解析】 【分析】（1）由“A组”的学生人数除以所占百分比即可求出一共随机抽取的学生人数，再用“”组的学生人数除以总人数，再乘以即可得到“”组对应的扇形圆心角的度数，最后用总人数减去已知被调查每组七、八年级的学生人数即可把条形统计图补充完整； （2）用800乘以八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生所占比例即可， （3）画树状图，用恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果数除以总的结果数即可得出结果． 【小问1详解】 解：该校此次调查共抽取的学生人数为：（名）， 扇形统计图中“”组对应的扇形圆心角的度数为， “”组八年级的学生人数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解： （人） 答：八年级每周锻炼时间达到6小时及以上的学生人数为人； 【小问3详解】 解：设七年级和八年级的2名同学分别用甲，乙，丙，丁表示，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好选中七年级和八年级各1名同学的结果有8种，即甲和丙，甲和丁，乙和丙，乙和丁，丙和甲，丙和乙，丁和甲，丁和乙， ∴恰好选中七年级和八年级各1名同学的概率为． 抽取学生每周锻炼时间的条形统计图 20. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，连接． （1）求该反比例函数的表达式并直接写出点的坐标； （2）若点在该反比例函数的图象上，当时，求点的坐标； （3）请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入得到，进而求得反比例函数的解析式； （2）先求得，设点的坐标为，根据得出，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点， ∴将代入中得，， ∴点的坐标为， ∴将代入中得，， ∴该反比例函数的表达式为， 点的坐标为； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴设点的坐标为， ∴ ∵， ∴，解得，或， ∴或， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 ∵，， 根据函数图象可得的解集为：或． 21. 如图1，是某地某河段上的斜拉桥．该地某校九年级一数学实践小组计划运用所学知识，测量该斜拉桥桥面上桥塔的高度，该数学实践小组在查阅了斜拉桥的相关知识后，制定了如下方案： 【数据采集】 如图2，是水平的斜拉桥桥面，点是竖直桥塔顶部一点，即为桥塔的高度．无人机在桥塔上方点处时，测得桥塔顶部处的俯角，底部处的俯角，无人机沿水平方向由点向前飞行米到达点处，在处测得处的俯角，已知图中各点均在同一竖直平面内． 【数据应用】 请根据以上数据求桥塔的高度．（结果精确到1米）参考数据：，，，，，． 【答案】29米 【解析】 【分析】延长交于点，由题意知，设米，则米，根据得出，利用的正切函数求出，利用的正切函数求出的长即可． 【详解】解：延长交于点，由题意知， 设米，则米， ， （米）， ， ， ， 解得，（米）， （米），（米）， ， ， ， 解得，（米）， 答：桥塔的高度约为29米． 22. 小强同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形和等腰三角形中，，，连接，取的中点，连接． 【初步探究】 （1）小强发现：如图2，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系； 【再次探究】 （2）小强又发现：如图3，当时，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请写出这个不变的数量关系和位置关系，并帮助小强给予证明； 【深入探究】 （3）小强进一步发现：在图1中，将等腰三角形绕点逆时针旋转一周，线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系，请直接写出这个不变的数量关系和位置关系．（其中的数量关系用含的式子表示） 【答案】（1） （2），，见解析 （3）数量关系是，位置关系是 【解析】 【分析】（）延长至，使，连接并延长交直线于点，先证明得到，由菱形及得到再证，即可求证； （）同理（）证得，即可求得，再由即可求得； （）观察前两问总结规律即可． 【小问1详解】 ； 延长至，使，连接并延长交直线于点， ∵为的中点， ∴ 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵四边形为菱形， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴ ∴， ∴，， 即， ∴ 综上所述，； 【小问2详解】 证明：同理（）可证， ∴， ∴， ∴ ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴ ∴， ∴，， 即， ∴， ∴， 综上所述，，； 【小问3详解】 解：数量关系是，位置关系是 ∵线段与之间仍始终存在不变的数量关系和位置关系， 当时， ， 当时，，， ∴无论角度是多少度，都有， ∵，， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，特殊角的三角函数，熟练运用相关知识点是解决问题的关键． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过边长为4的等边三角形的三个顶点，已知等边三角形的边在轴的正半轴上，分别是边上的动点，且，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）如图2，是轴上方二次函数的图象上的一个动点，连接．问当时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出这个最大值，若不存在，请说明理由； （3）如图3，在等边三角形的边上取中点，连接．问的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，最大值为 （3）存在，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，根据等边三角形的性质得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，设点，根据点的C的位置，分类讨论：当时；当时；当时；结合图形，表示出的面积，根据二次函数图象的性质即可求解； （3）根据题意得到直线的解析式为，，结合（2）得到，过点P作，使得，连接，得到当点三点共线时，的值最小，最小值为的长，证明，得到，由两点之间的距离公式即可求解． 【小问1详解】 解：是边长为4的等边三角形，二次函数的图象经过点A，B，O， ∴，，，， 如图所示，过点作于点E， ∴，， ∴， ∴， 把点的坐标，代入二次函数解析式得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在，最大值为，理由如下， ，，， ∴，， ∴点是线段的中点，则，即， 设点， 如图所示，过点作轴于点F，过点作轴于点G， ∴，，，，， ∴ ， 当时， ①式 ， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示，过点作轴于点F，交于点， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∴， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大值为； 当时，如图所示， ∴，，，，， ∴ ， ∵， ∴该情况不符合题意； ∵， ∴面积的最大值是； 【小问3详解】 解：存在，最小值为，理由如下， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点D是的中点， ∴， 设，则，则， ∴， 如图所示， ∵轴于点， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点P作，使得，连接， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小，最小值为的长， 如图所示，过点P作y轴的平行线，过点作于点，过点作于点T， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴的最小值是． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数图象与几何图形面积的计算方法，二次函数与线段最值得计算方法，相似三角形的判定和性质等知识的综合，数形结合分析是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $