精品解析：2025年山东省淄博市临淄区中考一模数学试卷

2024—2025学年度第二学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的或看不到的棱都应表现在俯视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线． 【详解】其俯视图为： ． 故选：B． 2. 如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为，再根据向右平移3个单位从而求解． 【详解】解：根据题意可知点P表示的数为， 向右平移3个单位后表示的数是2， 故选：D． 3. 请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 4. 若不等式组有解，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】先求出第一个不等式的解集，再根据不等式组有解可得的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 这个不等式组有解， ， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 5. 在一个不透明的袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色小球．已知袋中有红球个，白球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的有关问题，分式方程的应用，根据概率公式列出方程解答即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：设袋中黑球有个， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解， 即袋中黑球的个数为3， 故选：． 6. 一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则下列说法错误的是（ ） A. 的中位数等于的中位数 B. 的平均数等于的平均数 C. 的方差不大于的方差 D. 的极差不大于的极差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数、平均数、方差、极差的计算，掌握上述概念及计算是关键． 根据中位数、平均数、方差、极差的概念及计算判定即可． 【详解】解：一组数据中位数是，平均数为， 一组数据的中位数，故A选项正确，不符合题意； 一组数据的平均数，故B选项错误，符合题意； ∵去掉了最大值，和最小值，数据波动变小了， ∴的方差不大于的方差，故C选项正确，不符合题意； ∴的极差不大于的极差，故D选项正确，不符合题意； 故选：B ． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考幂的定义及幂的乘方运算，根据幂的定义先化简，再由幂的乘方运算法则计算即可得到答案，熟记幂的定义及幂的乘方运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：D． 8. 如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，根据平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A正确； 过点作，则， ∴，， ∴，故B正确； 由三角形内角和定理可知，，故C正确； 由三角形外角的性质可知，，故D不一定正确； 故选：D． 9. 如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形背景下求线段长问题，涉及尺规作图、三角形中位线的判定与性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解决问题的关键． 由作图可知，，则垂直平分，则，取的中点，连接，即，可证得四边形是平行四边形，，由，可知，进而求得，则． 【详解】解：由作图可知，， ∴垂直平分，则， 取的中点，连接，即， ∴，， ， 四边形是平行四边形，， ， 又∵，即， ∴， 而， ∴，则 故选：C． 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②的取值范围为； ③若点，点，点在该函数图象上，则； ④若将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为； ⑤若点关于直线的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确结论的序号有（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，与坐标轴交点的计算，平移规律，轴对称最短路径的计算是关键．根据判别式可判定①；根据图示可得当时，，可判定②；根据对称轴即函数对称轴性质可判定③；根据函数平移规律可判定④；根据轴对称最短路径的计算可判定⑤． 【详解】解：抛物线（为常数）交轴于点， ∴， 抛物线与直线，则有， ∴， ∴抛物线与直线有且只有一个交点，故①正确； ∵抛物线（为常数）与轴的一个交点在和之间，对称轴直线为， ∴另一个交点在和之间， 根据图示可得，当时，， ∴， 当时，， ∴，故②正确； 若点，点，点在该函数图象上，对称轴直线为，离对称轴直线越近，函数值越小， ∴， ∴，故③错误； ∵二次函数， ∴将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后得抛物线的解析式为，故④正确； 当时，，则， ∴点关于直线的对称点为， ∴顶点坐标，则， 如图所示，作点关于轴对称点，作点关于轴对称点， ∴， ∴四边形， 当点四点共线时，值最小， ∴， ∴四边形周长的最小值为，故⑤错误． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 请写出的一个同类项：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查同类项的定义，解题的关键是熟练掌握同类项定义；根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，只需含字母x、y并且x的指数是1，y的指数是1即可． 【详解】解：根据同类项的定义可知：的同类项可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用完全平方公式解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，图形的旋转，图形与坐标，根据题意画出图形即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图，点的坐标是， 故答案为：． 14. 如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转，反比例函数比例系数的几何意义，由旋转可得把双曲线绕原点顺时针旋转得到双曲线，和重合，由反比例函数比例系数的几何意义可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴把双曲线绕原点顺时针旋转得到双曲线，和重合， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是________． 【答案】13 【解析】 【分析】勾股定理求出，进而得到，作，过点作，过点作，则：，得到，进而得到当的值最小时，的值最小，推出当最小时，的值最小，的值最小，圆周角定理，得到点在以为直径的圆上，取的中点，连接，过点作，交于点，得到的最小值为的长，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 作，过点作，过点作，则：， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的值最小， ∵， ∴当最小时，的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴点在以为直径的圆上， 取的中点，连接，过点作，交于点， ∴，， ∴当三点共线时，的值最小为的长，此时点与点重合， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：13． 【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，垂线段最短等知识点，解题的关键是确定点的轨迹，以及垂线段最短． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算和分式的混合运算，解决问题的关键是掌握分式的混合运算的顺序．分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．实数运算时，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算． （1）原式先计算除法，再计算负整数指数幂和乘方，最后进行加减运算即可； （2）原式先将括号内的进行通分，再把除法转换为乘法，约分后可得结论． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为．已知这栋楼的高度为，求热气球所在位置与楼的水平距离（结果保留整数） 参考数据： 【答案】120m 【解析】 【分析】如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意，∠BAD=35°，∠CAD=61°，BC=300m，在Rt△ABD中，根据三角函数的定义得到BD=AD•tan35°，在Rt△AC中，根据三角函数的定义得到CD=AD•tan61°，由BC=BD+CD，所以AD•tan35°+ AD•tan61°=300，于是可求得AD长． 【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 根据题意，∠BAD=35°，∠CAD=61°，BC=300m， ∵在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴BD=AD•tan35°， ∵在Rt△AC中，tan∠CAD=， ∴CD=AD•tan61°， 又∵BC=BD+CD， ∴AD•tan35°+ AD•tan61°=300， AD=≈=120(m)， 答：热气球所在位置与楼的水平距离120m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 18. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2）组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 【答案】（1）， （2） （3）估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本容量，中位数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据，掌握统计量的确定方法是解题的关键． （1）将组人数除以其所占百分比即可得到这次抽样调查的人数，根据中位数的确定方法即可得到中位数在哪个组； （2）将组人数占比乘以即可得到答案； （3）用样本估计总体的方法计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：这次抽样调查的人数是（人）， 组人数为（人）， （人）， 本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在组， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， 组所在扇形的圆心角大小是度， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是人． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）若点为轴正半轴上一点，且满足，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析，一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，直角三角形的性质，理解题意，利用数形结合的思想是解决问题的关键． （1）先求出点坐标，再代入反比例函数解析式即可； （2）结合函数的性质，根据图象观察可得一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即可写出的取值范围． （3）由勾股定理可知，再根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，可知，再结合题意可得点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入一次函数，得：， ∴点的坐标为， 将代入反比例函数，得， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 由一次函数与反比例函数的图象的性质可知，另一个交点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， 要使得，只需，即一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 由图象可知，此时或； 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵点为轴正半轴上一点， ∴点的坐标为． 20. 2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1）燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元 （2）行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．列出分式方程，求出，即可解决问题； （2）设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：依题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 当时，， ， 答：燃油车每千米的行驶费为元，新能源汽车每千米的行驶费为元； 【小问2详解】 解：设每年行驶里程为，依题意得： ， 解得， 答：行驶里程超过时，买新能源汽车的年费用更低． 21. 如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， （2） （3） 【解析】 【分析】本题综合考查了等边三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判断和性质以及扇形的面积公式． （1）先根据，可知，再根据即可得出； （2）根据，得出，以此求出的长； （3）由勾股定理得，可证得为等边三角形，则，由垂径定理可知，则，，再根据阴影部分的面积即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【小问3详解】 ∵是的直径， ∴， 则， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴，则， ∴阴影部分的面积 ． 22. 东汉末年，我国古代数学家赵爽在《周髀算经》注中用一幅“弦图”巧妙证明了勾股定理．这幅图（如图）由四个全等的直角三角形（称为“朱实”）和一个小正方形（称为“黄实”）拼成一个大正方形．其中，，四边形恰为正方形，体现了“数形相生”的思想．今年月日，恰逢学校数学文化节，数学社的同学们接到了一项实践探究任务：仿照赵爽弦图，探究图形的分解与再生． （1）任务一：弦图生变，形解三角 某数学探究小组受赵爽弦图的启发，将正方形变成三角形，如图所示，在正的内部，构造，，，，两两相交于，，三点（，，三点不重合）．①请探究，，是否全等？②是否为等边三角形？请说明理由． （2）任务二：弦图拓新，巧构六合 该数学探究小组仿照赵爽弦图，利用个全等的三角形和一个小的正六边形，拼成一个大正六边形，如图所示，若点为的中点，求大正六边形与小正六边形的面积比． （3）任务三：弦图妙用，面积探究 该数学探究小组又尝试将正方形变成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形，请探究与是否相似？并说明理由．若，，连结，，求矩形的面积． 【答案】（1） 解：①，理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②为等边三角形，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； （2） （3） 解：，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【解析】 【分析】（）由等边三角形的性质得，，进而得，即可求证； （）连接，可得，设，则，得，再根据相似三角形的性质解答即可求解； （）利用余角性质可得，即得，设，由锐角三角函数得，又由可得，进而得，即可得，得到，，再利用勾股定理得，得，由全等三角形的性质，即得，得到，最后根据矩形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：连接， ∵点为的中点， ∴， ∵个三角形全等， ∴，， ∴， ∴， ∵是正六边形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵是正六边形， ∴正六边形正六边形， ∴, 即； 【小问3详解】 解：，理由略； 设， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和形在，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理等，掌握以上知识点是解题的关键． 23. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）如图1所示，点在线段上运动，过点作的平行线，交于点，连接，求面积的最大值； （3）如图2所示，直线上有一个动点，点在第一象限内，过点作任意一条直线交抛物线于，两点，，所在的直线，分别交轴与，两点，则是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）为定值，该定值为4 【解析】 【分析】（1）将将代入，可求得，再根据对称轴为直线，求得即可得抛物线对应的函数表达式； （2）先求得，，则，再求得，设，则，，，由，可知，得，则，再根据，即可求解； （3）设点，设直线的解析式为，，，则，，得，则，为方程的解，可得，，如图，作轴于点，作轴于点，则，可知，求得，同理，，则，进而可得为定值，该定值为4． 【小问1详解】 解：将代入，得：， ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 当时，，解得：，， ∴，，则， 当时，，即， 设，则， ，， ∵， ∴， ∴，则， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值6； 【小问3详解】 为定值，该定值为4，理由如下： 设点，设直线的解析式为，，， 则，， ∴，即设直线的解析式为， 则，为方程的解， 整理得， ∴，， 如图，作轴于点，作轴于点， 则， ∴，即， ∴， 同理，， 则 ， ∴， 即：为定值，该定值为4． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的性质，用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，根和系数的关系等．解决（3）问的关键的是通过相似三角形用坐标表示出线段，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期期中质量检测 初四数学试题 本试卷共8页，23个小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内：如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案．严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改． 4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记． 5．评分以答题卡上的答案为依据．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分．） 1. 印章篆刻是中华传统艺术之一，如图是一块篆刻印章的材料，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上点向右平移3个单位后表示的数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 若不等式组有解，则m的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 在一个不透明的袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色小球．已知袋中有红球个，白球个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则袋中黑球的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则下列说法错误的是（ ） A. 的中位数等于的中位数 B. 的平均数等于的平均数 C. 的方差不大于的方差 D. 的极差不大于的极差 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，点为上一点，下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图，抛物线（为常数）交轴于点，与轴的一个交点在和之间，顶点为． ①抛物线与直线有且只有一个交点； ②的取值范围为； ③若点，点，点在该函数图象上，则； ④若将该抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式为； ⑤若点关于直线的对称点为，点，分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 其中正确结论的序号有（ ） A. ①②④ B. ①③⑤ C. ②③⑤ D. ②③④ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 请写出的一个同类项：________． 12. 因式分解：______． 13. 如图，将线段先向右平移个单位，再绕原点顺时针旋转，得到线段，则点的对应点的坐标是______． 14. 如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为______． 15. 如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分；满分90分）解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，热气球的探测器显示，从热气球所在位置A处看一栋楼顶部B处的仰角为，看这栋楼底部C处的俯角为．已知这栋楼的高度为，求热气球所在位置与楼的水平距离（结果保留整数） 参考数据： 18. 随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公和学习，某公司组织全体员工学习和使用AI软件，并抽取部分员工每天学习使用的累计时间（分钟）进行统计调查，记：组“”，组“”，组“”，组“”，绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次抽样调查的人数是___________人，本次抽查的每天学习和使用时间的中位数落在___________组； （2）组所在扇形的圆心角大小是___________度； （3）该公司共有800人，估计该公司平均每天学习和使用不少于90分钟的人数是多少？ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出时的取值范围； （3）若点为轴正半轴上一点，且满足，求点的坐标． 20. 2025年，能源汽车产业正进入加速发展的新阶段，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 油箱容积：50升 油价：7.2元/升 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 新能源汽车 电池容量：80千瓦时 电价：0.55元/千瓦时 续航里程：千米 每千米行驶费用：元 （1）若燃油车每千米的行驶费用比新能源汽车每千米的行驶费用多0.79元，分别求出这两款车每千米行驶的费用； （2）在（1）的条件下，若燃油车和新能源汽车每年其它费用分别为4240元和7400元，问：每年行驶里程超过多少千米时，买新能源汽车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 21. 如图1所示，，，，是上的四个点，是的直径，，交于点，，． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接，交于点，求图2中阴影部分的面积． 22. 东汉末年，我国古代数学家赵爽在《周髀算经》注中用一幅“弦图”巧妙证明了勾股定理．这幅图（如图）由四个全等的直角三角形（称为“朱实”）和一个小正方形（称为“黄实”）拼成一个大正方形．其中，，四边形恰为正方形，体现了“数形相生”的思想．今年月日，恰逢学校数学文化节，数学社的同学们接到了一项实践探究任务：仿照赵爽弦图，探究图形的分解与再生． （1）任务一：弦图生变，形解三角 某数学探究小组受赵爽弦图的启发，将正方形变成三角形，如图所示，在正的内部，构造，，，，两两相交于，，三点（，，三点不重合）．①请探究，，是否全等？②是否为等边三角形？请说明理由． （2）任务二：弦图拓新，巧构六合 该数学探究小组仿照赵爽弦图，利用个全等的三角形和一个小的正六边形，拼成一个大正六边形，如图所示，若点为的中点，求大正六边形与小正六边形的面积比． （3）任务三：弦图妙用，面积探究 该数学探究小组又尝试将正方形变成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形（，）和矩形拼成大矩形，请探究与是否相似？并说明理由．若，，连结，，求矩形的面积． 23. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，直线交抛物线于点，连接． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）如图1所示，点在线段上运动，过点作的平行线，交于点，连接，求面积的最大值； （3）如图2所示，直线上有一个动点，点在第一象限内，过点作任意一条直线交抛物线于，两点，，所在的直线，分别交轴与，两点，则是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $