精品解析：上海市闵行中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024学年第二学期阶段考试 高二 数学试卷 练习时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为________． 2. 函数的定义域为______． 3. 已知函数,则__________. 4. 已知等差数列满足，则__________. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 6. 已知集合，且，则实数的值为______________． 7. 已知，则________． 8. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 9. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 10. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 11. 正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________. 12. 定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是________．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，则是（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A B. 4 C. D. 2 15. 系统登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ） A. B. C. D. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 18. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． （1）若，求面积； （2）若，且，求面积最大值． 19. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、内切圆半径，求的最大值． 21. 设函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）设为的一个极值点，证明； （3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期阶段考试 高二 数学试卷 练习时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，由复数的实部与虚部求解可得. 【详解】由题意可得实部为2，则. 故答案为：. 2. 函数的定义域为______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件及分母不为0得不等式组，解之可得． 【详解】由题意得：，解得：且， 所以函数的定义域为且． 故答案为：且． 3. 已知函数,则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据导数的定义，求得，求出代入求解． 【详解】. 因为，所以， 所以. 故答案为：0. 4. 已知等差数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的基本量运算可得首项和公差，进而即得. 【详解】设等差数列的公差为，由题意知：， 解得： ， 所以， 故答案为：. 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定，即可得到焦点在轴，然后可得椭圆的焦点，列方程求解． 【详解】双曲线，则，所以双曲线的焦点在轴上， 所以，又，故解得． 故答案为：1． 6. 已知集合，且，则实数的值为______________． 【答案】3 【解析】 【分析】因为，则或，由此可解出，再代入集合验证，需要满足集合互异性，由此可得答案. 【详解】因为，所以分为以下两种情况： ①或，当时，集合满足题意； 当时，集合，违反了集合的互异性，故舍去； ②，此时集合，违反了集合的互异性，故舍去； 综上所述，. 故答案为：3. 7. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先令求，再令即可得答案. 【详解】令得， 令得， 所以. 故答案为：. 8. 已知，直线与曲线相切，则的最小值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 因为，直线的斜率为， 所以，， 所以， 因为 所以，当且仅当时等号成立. 所以的最小值是9. 故答案为：9 9. 从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点处的切线垂直于的角平分线，已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用切线方程和角的平分线垂直，结合斜率之积为，即可求解. 【详解】由题意，椭圆C在点处的切线，且， 所以切线的斜率为，而角的角平分线的斜率为， 又由切线垂直角的角平分线，所以， 即. 故答案为：. 10. 若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，判断的奇偶性和单调性，进而判断的单调性，注意到，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】因对任意的，且，都有， 则在上单调递减， 又为奇函数及，所以， 则为偶函数，且，故在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，则， 当时，，得，解得或, 故； 当时，，即， 得或，解得或， 综上，不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据构造函数，且判断其单调性和奇偶性，再结合单调性与奇偶性解不等式即可. 11. 正方体棱长为4，点满足，点满足，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，先根据题目条件得出点、点和点三点共线，进而设出点，的坐标；再借助二次函数得出当时，的最小值为；最后再根据点的轨迹和的几何意义即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则由题意可得，，. 因为点满足，， 所以点、点和点三点共线. 设，， 则，， 所以 则. 令，则该函数可以看做是关于t的二次函数， 则当时，函数有最小值，为. 所以要使最小，可先取，此时，其几何意义是点在平面上的射影点到点的距离. 又因为， 所以点的轨迹是以点为球心，为半径的球面， 则射影点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆及其内部. 所以 又因为， 所以 故答案为：. 12. 定义平面直角坐标系中的笛卡儿卵形线为满足方程：，则下列结论正确的是________．①该曲线关于轴对称；②曲线与x轴交点为和；③若点P在曲线上，则；④存在直线与该曲线恰有1个交点． 【答案】② 【解析】 【分析】对①，在方程中分别将替换为，以及将替换为，看看方程与原方程是否一致判断；对②，在方程中令，分类讨论求得答案；对③，令，求得曲线与轴交于点，再根据类比椭圆的性质判断；对④，根据曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，可判断. 【详解】对于①，在方程中将替换为，方程不变，所以该曲线关于轴对称， 在方程中将替换为，方程变为， 即，与原方程不同，所以该曲线不关于轴对称，故①错误； 对于②，在方程中令，可得， 当时，方程为，解得，合题意， 当时，方程为，解得，无解， 当时，方程为，解得，合题意， 综上，曲线与轴的交点为和，故②正确； 对于③，点P在曲线上，令，得，解得，即曲线与轴交于点， 设，，，则曲线表示， 类比椭圆的性质，曲线是类椭圆的封闭曲线，又曲线不关于轴对称，所以存在点P，使得，故③错误； 对于④，由于曲线是类椭圆的封闭曲线，且原点在曲线内部，所以直线一定和曲线有两个交点，故④错误. 故答案为：②. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由特殊值可判断充分性，由指数函数的单调性可判断必要性. 【详解】当时，满足，显然不成立，故充分性不成立， 若，由指数函数的单调性可知，，则，故必要性成立， 故是的必要非充分条件， 故选：B 14. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 15. 系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 16. 已知圆锥曲线的对称中心为原点O．若对于上的任意一点P，均存在上的点Q（不重合），使得：（1）直线与的斜率乘积为定值；（2）线段的中点M在一条固定直线上，则称为“双对称曲线”．现有如下命题：①任意椭圆都是双对称曲线；②存在双曲线是双对称曲线；下列判断正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】利用斜率不存在时的情况说明存在椭圆不是双对称曲线；再证明双曲线满足两个条件，是双对称曲线.首先利用复数求旋转点的坐标证明曲线是双曲线，然后对双曲线任意点，分与两类，分别寻找到点满足斜率之积为定值，并求出相应中点坐标证明其在定直线上即得. 【详解】首先①不成立，下面说明存在椭圆不是双对称曲线. 不妨设椭圆方程，其对称中心为原点. 取椭圆上一点，则直线不存在斜率， 故不满足条件“对于椭圆上的任意一点P，均存在椭圆上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值”， 椭圆不是双对称曲线， 故①不成立； 其次②成立，下面证明存在双曲线是双对称曲线； （i）证明：曲线是双曲线. 设曲线上任意一点，其对应复数， 绕原点顺时针旋转得动点， 则， 则有， 代入，化简得，故动点的轨迹为双曲线， 即点轨迹也为双曲线； （ii）证明双曲线是双对称曲线. 证明：首先该曲线以原点为对称中心. 设双曲线上任意一点，则，且. 则直线的斜率，取常数，定义， 当时，则存在点在双曲线上，为不重合两点， 且； 当时，则存在也双曲线上，为不重合两点， 且； 综上可知，若对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得直线与的斜率乘积为定值，即条件（1）满足； 当时，则中点，即， 则，故中点在直线上； 当时，则中点，即原点， 故也在直线上. 故对于双曲线的任意一点，均存在双曲线上的点Q（不重合）， 使得线段的中点M在一条固定直线上，故条件（2）也满足. 由此，条件（1）（2）都满足，故双曲线是双对称曲线. 综上所述，选项C正确，其余选项不正确. 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． （1）求证：平面ADE； （2）求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． 【小问2详解】 平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 18. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中给出了由三角形的三边计算三角形面积的公式，这就是“三斜求积”公式．若的内角的对应边分别为． （1）若，求面积； （2）若，且，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将的值代入三角形的面积公式即可求解. （2）首先利用正弦定理将进行边角转化，得到，再代入三角形的面积公式中得到，利用二次函数即可求得最大值. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，可化为， 由正弦定理边化角得，， 所以，即， 由，得，解得， 所以， 因为， 所以，当时，取得最大值． 19. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分．参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示． （1）由频率分布直方图，求出图中t的值，并估计考核得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练．现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率； （3）现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差． 【答案】（1），平均值为79.5． （2） （3）平均数为81，方差为26.8． 【解析】 【分析】（1）由频率表分布直方图中概率之和为1，可求出t的值，再由平均数的计算公式求解即可； （2）由古典概率的计算公式求解即可； （3）由分层抽样的平均数和方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得：，解得，设考核得分的平均值为， 则， 所以考核得分的平均值为79.5． 【小问2详解】 由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，在的有人． 设事件M表示两人分别来自和，则． 小问3详解】 由题意知，落在区间内的数据有个，落在区间内的数据有个． 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为． 由题意，，且， 则． 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、． （1）求的周长； （2）求面积的取值范围； （3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义即可求解； （2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解； （3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点， ，从而的周长为． 由题意，得，即的周长为. （2）由题意可设过的直线方程为， 联立，消去x得， 则， 所以， 令， 则（当时等号成立，即时） 所以, 故面积的取值范围为. （3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得， 整理可得， 则，得，， 故． 当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得， 同理，可得， 因为， 所以 ， 当且仅当时，等号成立. 若轴时，易知，，， 此时， 综上，的最大值为. 21. 设函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）设为的一个极值点，证明； （3）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，证明 【答案】（1）函数为偶函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义即可判断； （2）根据函数导数可得，然后根据同角关系式结合条件即得； （3）由题可得极值点为第二或第四象限角，然后结合正切函数的性质讨论两极值点的差的范围即得. 【小问1详解】 函数定义域为，对任意，有， 且恒成立，故函数为偶函数. 【小问2详解】 因为函数， 所以， 令，则，对满足方程的有， 所以， 由函数与函数的图象可知此方程一定有解，    故的一个极值点满足， 所以； 【小问3详解】 设是的任意正实根，则， 则存在一个非负整数，使，即为第二或第四象限角， 因为， 所以在第二或第四象限变化时，变化如下， (为奇数) 0 + (为偶数) + 0 所以满足的正根都为函数的极值点， 由题可知为方程的全部正实根且满足， 所以， 因为，， 则， 由，可得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$