10.1.1 复数的概念 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十章 复数 10.1.1 复数的概念 《人教B版2019高中数学必修第四册》 探究新知 人们早在16世纪就发现，可以通过公式 x=+ 来求方程x3=px+q(p,q均为正实数）的正根.例如，方程x3=9x+28的正根 x=+=4. 如果方程是x3=15x+4,，则由公式可得 x=+ ， 当时人们已经知道x=4是x3=15x+4的唯一正根，因此 =4 应该成立. 探究新知 但是，表示的应该是平方为-1的数，实数范围内这样的数是不存在的，这该如何解释呢？后来，人们发现，如果规定()2=−1，并将-1按照类似实数的运算法则进行形式计算，则可以给上述结论一个圆满的解释： 因为 (2+=2+3×22×+3×2×()2+(−1)3 =8+12−6−=2+11 所以可以认为=2+. 类似地，可以认为=2-. 从而形式上就有 + =2++2-=4. 探究新知 这里的历史上被认为是一个“虚幻”的数，它与下面我们要介绍的虚数有关. 一般地，为了使得方程x2=−1有解，人们规定i的平方等于-1，即 i2=−1, 并称i为虚数单位. 值得注意的是，从本质上来说，虚数单位i与上述表示的意义是一样的，但是，为了避免混淆，如不特别声明，以后我们不再使用类似这样的表达式.也就是说，在中，还是要求a≥0，请大家务必注意这一点. 不难想到，引进虚数单位i后，需要定义虚数单位与实数之间的运算，而且这种运算还得保持以前的运算律（如加法交换律、乘法交换律等）均成立. 实数a与i的和记作a+i，且实数0与i的和为i；实数b与i的积记作bi，且实数0与i的积为0，实数1与i的积为i． 一般地，当a与b都是实数时，称a+bi为复数.复数一般用小写字母z表示，即z=a+bi(a,b∈R),(以下如不特别声明,谈到z=a+bi等类似表达式时,均默认为a,b∈R.)其中a称为z的实部，b称为z的虚部，分别记作 Re(z)=a,Im(z)=b. 探究新知 所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此 C={z|z=a+bi,a,b∈R} 例如，2+(-3)i∈C,这是一个实部为2且虚部为-3的复数，为了简单起见，2+(-3)i通常简写为2-3i;再例如，-1-2i∈C,，这是一个实部为 -1   且虚部为  -2    的复数. 不难看出，任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．特别地，称虚部不为0的复数为虚数，称实部为0的虚数为纯虚数. 例如，复数3是一个实数，复数1-i是一个虚数，而复数-2i是一个纯虚数. 探究新知 例1  分别求实数x的取值，使得复数z=(x-2)+(x+3)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数． 分析 因为x是实数，所以z的实部是x-2，虚部是x+3.然后由复数z=a+bi是实数、虚数与纯虚数的条件可以确定x的值. 解（1）当x+3=0,即x = -3时，复数z是实数. （2）当x+3≠0,即x≠-3时，复数z是虚数. （3）当x-2=0且x+3≠0,即x=2时,复数z是纯虚数. 探究新知 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1=z2. 这就是说，如果a,b,c,d都是实数，那么 a+bi=c+di⇔a=c且b=d. 特别地，当a,b都是实数时， a+bi=0的充要条件是 a=0 且 b=0   应当注意，两个不相等的实数，一定有大小之分（从而也就一定能用大于号或小于号连接），但是两个复数，如果不全是实数，一般不规定它们之间的大小，只能说它们相等或不相等.例如，2+i与3+i,2与2i之间都不规定大小．特别地，不能将虚数与0比较大小，因此也就不能说虚数是正数还是负数． 探究新知 例2  分别求满足下列关系的实数x与y的值． (1) (x+2y)-i=6x+(x-y)i; (2) (x+y+1)-(x-y+2)i=0. 解 (1)根据复数相等的定义，得 x+2y=6x， −1=x−y， 解这个方程组，得x=,y= 解 (2)根据复数相等的定义，得 x+y+1=0， -(x-y+2)=0， 解这个方程组，得x=-,y= 小结 1.虚数单位 i 定义：i 叫做虚数单位，规定：i2 = -1 实数的运算律（交换、结合、分配律）对i仍然成立. 2.复数的定义与代数形式 复数：形如z=a+bi(a,b∈R)的数叫复数. 名称：a：实部，记Re(z)=a b：虚部，记Im(z)=b(虚部是实数，不含i). 复数集：全体复数构成的集合，记作C = {z|z=a+bi, a,b∈R}. 小结 3.复数的分类（重点） 设z=a+bi(a,b∈R)： 实数：b=0，即z=a 虚数：b≠0 纯虚数：a=0, b≠0，即z=bi. 关系：纯虚数⫋虚数⫋复数,实数⫋复数 4.复数相等的充要条件 若a,b,c,d∈R，则a+bi = c+di⇔a=c 且 b=d 特别：a+bi=0 ⇔ a=0 且 b=0 5.易错提醒 虚部 b 是实数，不是 bi；只有实数才能比较大小，虚数不能比较大小； i2=-1，但不能随便写（根式性质只对实数成立）. 练习A ①下列个数中，哪些是实数？哪些是虚数？哪些是纯虚数？ ,i,0,i,6+5i,2−2i,7−4i,−3−i. 实数：,0, 虚数：i,i,6+5i,2−2i,7−4i,−3−i 纯虚数：i,i, ② 写出实数集R与复数集C之间的关系，并用维恩图表示N,Z,Q,R,C之间的关系. 实数⫋复数 N Z Q R C 练习A ③ 分别写出下列各复数的实部与虚部. (1)-3+2i; (2)3-5i; (3)-7 (4)8i. (1)-3+2i：实部为-3，虚部为2 (2)3-5i：实部为3，虚部为-5 (3)-7：实部为-7，虚部为0 (4)8i：实部为0，虚部为8 ④ 已知(x-2)+yi=0，求实数x与y的值. 根据复数相等的条件：实部和虚部分别相等 解得 x=2,y=0 练习A ⑤ 已知z1的实部是1，z2的实部为0，则z1=z2可能成立吗？为什么？ 已知z1的实部是1，z2的实部是0. 根据复数相等的充要条件：两个复数相等当且仅当它们的实部相等且虚部相等. 这里z1和z2的实部不相等，所以z1=z2不可能成立. 练习B ① 根据以下复数z的值，分别写出Re(z)与Im(z） (1)z=+i; (2)z=i; (1)z=+i; Re(z)=,Im(z）= (2)z=i; Re(z)=,Im(z）= 练习B ② 分别求实数m的取值范围，使得复数z=(m+2)+(m-6)i （1）是实数； （2）是虚数； （3）是纯虚数． (1) 是实数：虚部为 0 m - 6 = 0 ⇒ m = 6,取值范围：m = 6 (2) 是虚数：虚部不为 0 m - 6≠ 0 ⇒ m6,取值范围：m∈R 且 m 6 (3) 是纯虚数：实部为 0 且虚部不为 0 m + 2 = 0 且 m - 6 0 解得 m = -2，值范围：m = -2 练习B ③分别求满足下列关系的实数x与y的值. (1)(x+y-3)+(x-y-1)i=3+3i; (2)(x+y+1)-(x-2y+1)i=0. 复数相等的充要条件：实部、虚部分别相等. (1)(x+y-3)+(x-y-1)i=3+3i x+y-3=3 x+y=6 x-y-1=3 x-y=4 两式相加：2x = 10 ⇒ x = 5，代入得 y =1 ∴ x = 5,y = 1 ⇒ 同理，可解（2）得 x=−1, y=0 练习B ④写出复数是正实数的一个充要条件． 实部 a > 0 且虚部b = 0 ⑤记所有虚数组成的集合为I，所有纯虚数组成的集合为P，分别写出下列集合之间的关系，并作出对应的维恩图. （1)I与P； （2)I与C； （3)I,R与C． P⫋I P I I⫋C I C I⫋R⫋C I C R 巩固提升 1.（多选题）下列命题正确的是（ ） A.若a∈R，则（a+1)i是纯虚数 B.若a，b∈R，且a>b,则a+i>b+i C.若（x2-4）+（x2+3x+2)i是纯虚数，则实数x=2 D.实数集是复数集的真子集 解析： A选项，当a=-1时错误 B选项，虚数不能比较大小，错误 所以 C,D正确 CD 巩固提升 2.当实数m为何值时，复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是： ① 纯虚数；② 实数 m2-2m-7=1 m2+5m+6≠0 解析： ①若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数，则 解得 m=4 解析： ②若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是实数，则 解得 m=-2 m2-2m-7>0 m2+5m+6=0 巩固提升 3.若2m+(1-m2)i<0,其中i为虚数单位，则实数m的值为 . 2m<0, 1-m2=0, 解析： 因为2m+(1-m2)i<0，所以 解得 m=-1. -1 巩固提升 4.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则“m=3”是“z为纯虚数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,则有 解得m=3,因此“m=3”是“z为纯虚数”的充要条件. m2-9=0, m2+2m-3≠0, C 规律总结 解决复数概念问题的方法及注意事项 (1) 复数的分类问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可。 (2) 解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈ R)的形式，以确定实部和虚部。 $