10.1.2 复数的几何意义-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦“复数的几何意义”，涵盖复平面、实轴虚轴、共轭复数、模及复数与点、向量的对应关系。通过“实数与数轴对应”设问导入，引导学生构建复数几何模型，搭建从实数到复数的认知支架。 其亮点在于采用“情境导入-新知初探-例题解析-跟踪训练”递进设计，结合“母题探究”“通性通法”，培养数学抽象与直观想象素养。如用长方形顶点对应复数问题，助学生直观理解复数与向量关系。学生能深化概念理解，教师可借系统例题和分层作业提升教学效率。

10.1.2　复数的几何意义 1 1.了解复平面的概念，理解实轴、虚轴、模的概念，理解共轭复数的概念（数学抽象）. 2.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系（直观想象）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 目录 课时作业 03 3 01 PART 基础落实 目 录 　　我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实 数的一个几何模型. 【问题】　（1）你能否为复数找一个几何模型？ （2）怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？ 　　　 　 　　　　　 　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　 　 　 　  　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　 　 　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点一　复平面 1. 复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以用平面直角坐标系内的 ⁠ 来表示. 一个点Z （a，b）　 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复平面、实轴与虚轴 复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面称为复平面. 实轴：在复平面内，x轴上的点对应的都是 ，因此x轴称为实轴. 虚轴：y轴上的点除了 外，对应的都是 ，因此y轴称为 虚轴，如图： 实数　 原点　 纯虚数　 数学·必修第四册（B版） 目 录 知识点二　复数的几何意义 1. 共轭复数 （1）定义：一般地，如果两个复数的实部 ，而虚部互为 ⁠ ，则称这两个复数互为 .复数z的共轭复数用 ⁠表 示，当z＝a＋bi（a，b∈R）时，有 ＝a－bi. （2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于 对称；反之， 如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为 共轭复数. 相等　 相反 数　 共轭复数　 　 实轴　 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 几何意义 3. 复数的模 （1）定义：一般地，向量 ＝（a，b）的长度称为复数z＝a＋bi （a，b∈R）的模（或绝对值），复数z的模用｜z｜表示. （2）公式：复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模为｜z｜＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 【想一想】 1. 两个虚数是不能比较大小的，两个虚数的模能比较大小吗？ 提示：能.虚数的模是实数，能够比较大小. 2. 共轭复数在复平面内对应的点有什么关系？ 提示：它们所对应的点关于实轴对称. 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若z＝a＋bi（a，b∈R），则当b＝0时，z的模就是实数a的绝对 值. （　√　） （2）在复平面内，对应实数的点都在实轴上. （　√　） （3）原点是实轴与虚轴的交点. （　√　） （4）复数的模一定是正实数. （　×　） （5）两个复数互为共轭复数，则它们的模相等. （　√　） √ √ √ × √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 复数z＝－1－2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　z＝－1－2i在复平面内对应的点为（－1，－2），它位于第三 象限.故选C. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 已知i为虚数单位，若（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x， y的值分别是（　　） A. 3，3 B. 5，1 C. －1，－1 D. －1，1 解析：　∵（x－2）＋yi和3x－i互为共轭复数， ∴ 解得 √ 4. 已知复数z＝1＋2i（i是虚数单位），则｜z｜＝ ⁠. 解析：∵z＝1＋2i，∴｜z｜＝ ＝ . ​ 数学·必修第四册（B版） 目 录 02 PART 典例研析 目 录 题型一｜复数与复平面内点的关系 【例1】　在复平面内，若复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i对 应的点： （1）在虚轴上； 解：复数z＝（m2－2m－8）＋（m2＋3m－10）i的实部为m2－2m－8， 虚部为m2＋3m－10. （1）由题意得m2－2m－8＝0，且m2＋3m－10≠0. 解得m＝－2或m＝4. 数学·必修第四册（B版） 目 录 解：由题意，得 或 解得2＜m＜4或－5＜m＜－2. 故实数m的取值范围是（－5，－2）∪（2，4）. （2）在第二象限或第四象限，分别求实数m的取值范围. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【母题探究】 （变设问）本例条件不变，若复数在直线y＝x上，求m的值. 解：由已知得m2－2m－8＝m2＋3m－10，故m＝ . 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 （1）找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi（a，b∈R）可以 用复平面内的点Z（a，b）来表示，是解决此类问题的根据； （2）列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过 解方程（组）或不等式（组）求解. 提醒　复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知复数z＝（m＋3）＋（m－1）i（m∈R）在复平面内对应的点在 第四象限，则实数m的取值范围是（　　） A. （－3，1） B. （－1，3） C. （1，＋∞） D. （－∞，－3） 解析：　由复数z＝（m＋3）＋（m－1）i在复平面内对应的点在第四 象限，可得 解得－3＜m＜1.故选A. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 〔多选〕设z＝（2t2＋5t－3）＋（t2＋2t＋2）i，t∈R，则以下结论 中正确的是（　　） A. z在复平面内对应的点在第一象限 B. z可能是纯虚数 C. z在复平面内对应的点在实轴上方 D. z一定是实数 解析：　2t2＋5t－3的值可正、可负、可为0，t2＋2t＋2＝（t＋1）2＋ 1≥1，结合选项知选B、C. √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型二｜复数与复平面内向量的关系 【例2】　在复平面内的长方形ABCD中，点A，B，C对应的复数分别是 2＋3i，3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数. 解：记O为复平面的原点，由题意得 ＝（2，3）， ＝（3，2）， ＝（－2，－3）. 设 ＝（x，y），则 ＝（x－2，y－3）， ＝（－5，－5）. ∵ ＝ ，∴ 解得 ∴ ＝（－3，－2）， 故点D对应的复数为－3－2i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 复数与平面向量的对应关系 （1）根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点 时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定 后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量； （2）解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的 点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点及向量之间的转化. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 已知复数z1＝－1＋2i，z2＝4＋2i分别对应复平面上的点A，B. 若 ＝ ＋ 对应的复数为z，求z的共轭复数（其中O为坐标原点）. 解：由题意得A（－1，2），B（4，2）， ∴ ＝（－1，2）， ＝（4，2）， ∴ ＝ ＋ ＝（－1，2）＋（4，2）＝（3，4）， ∴z＝3＋4i，∴ ＝3－4i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 题型三｜与复数的模有关的问题 【例3】　已知复数z1＝ ＋i，z2＝－ ＋ i. （1）求｜z1｜及｜z2｜并比较大小； 解：｜z1｜＝｜ ＋i｜＝ ＝2， ｜z2｜＝ ＝1， 所以｜z1｜＞｜z2｜. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）设z∈C，满足条件｜z｜＝｜z1｜的复数z对应的点为Z，则点Z组成 的集合是什么图形？ 解：法一　设z＝x＋yi（x，y∈R）， 则点Z的坐标为（x，y）. 由｜z｜＝｜z1｜＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4， 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 法二　由｜z｜＝｜z1｜＝2知｜ ｜＝2（O为坐标原点）， 所以Z到原点的距离为2， 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆. 数学·必修第四册（B版） 目 录 通性通法 复数模的计算 （1）计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计 算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小； （2）设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 数学·必修第四册（B版） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知复数z＝a＋（a－2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，则｜z｜＝ （　　） A. 4 B. C. 3 D. 解析：　由复数z＝a＋（a－2）i（a∈R）的虚部是实部的3倍，得a－ 2＝3a，解得a＝－1，所以z＝－1－3i，｜z｜＝ ＝ . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 若t∈R，t≠－1，t≠0，则复数z＝ ＋ i的模的取值范围 是 ⁠. 解析：｜z｜2＝ ＋ ≥2· · ＝2 ， ∴｜z｜≥ . [，＋∞） 数学·必修第四册（B版） 目 录 1. 在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B. 若C为线段 AB的中点，则点C对应的复数是（　　） A. 4＋80i B. 8＋2i C. 2＋4i D. 4＋i 解析：　两个复数对应的点分别为A（6，5），B（－2，3），则C （2，4）.故其对应的复数为2＋4i. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 已知平行四边形OABC中，O，C两点在复平面内对应的复数分别为 0，3－2i，则｜ ｜＝（　　） A. B. 2 C. 4 D. 解析：　由于四边形OABC是平行四边形，故 ＝ ，因此｜ ｜＝ ｜ ｜＝｜3－2i｜＝ ，故选D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 〔多选〕已知虚数z满足 ＝－ ＋ i，则（　　） A. z的实部为－ B. z的虚部为 C. ｜z｜＝1 D. z在复平面内对应的点在第三象限 解析：　由 ＝－ ＋ i，得z＝－ － i，所以z的实部为－ ，z的虚部为－ ，｜z｜＝1，z在复平面内对应的点（ － ，－ ）在第三象限，故选A、C、D. √ √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝ 2－3i，则z2＝ ⁠. 解析：∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为（2，－3），关于原点的对称点为 （－2，3）.∴z2＝－2＋3i. －2＋3i 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 实数m取什么值时，复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i. （1）对应的点在x轴上方； 解：由m2－2m－15＞0，得m＜－3或m＞5，所以当m＜－3或m＞5时，复数z对应的点在x轴上方. （2）对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 解：由（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）＋4＝0， 得2m2＋3m－5＝0， 解得m＝1或m＝－ ， 所以当m＝1或m＝－ 时，复数z对应的点在直线x＋y＋4＝0上. 数学·必修第四册（B版） 目 录 课时作业 03 PART 目 录 1. 已知i为虚数单位，若（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数，则 实数x，y的值分别是（　　） A. 3，3 B. 5，1 C. －1，－1 D. －4，0 解析：　∵（x－4）＋（y＋2）i和2x－2i互为共轭复数， ∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 2. 在复平面内，复数z＝（a－2）＋（1＋2a）i对应的点位于第二象限， 则实数a的取值范围为（　　） A. （ － ，2） B. （ －∞，－ ） C. （2，＋∞） D. （ －2， ） 解析：　复数z＝（a－2）＋（1＋2a）i，其对应的点（a－2，1＋2a）在第二象限，则 解得－ ＜a＜2. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 3. 如果复数z与3＋4i对应的有序实数对关于虚轴对称，那么z对应的向量 的模是（　　） A. 1 B. C. D. 5 解析：　复数z对应的向量 的坐标为（－3，4），其模为 ＝5.故选D. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 4. 若复数z＝x＋yi（x，y∈R），且（x＋2）－2xi＝－3y＋（y－1） i，则｜ ｜＝（　　） A. 2 B. C. D. 1 解析：　根据复数相等可得 解得 ∴z＝1－i， ＝1＋i， ∴｜ ｜＝ ＝ . √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 5. 复数 ＝ cos ＋i sin ，则在复平面内z对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解析：　因为 ＝ cos ＋i sin ，所以z＝ cos （ π－ ）－i sin ＝－ cos －i sin .因为 所以在复平面内z对应的点（ － cos ，－ sin ）位于第三象限. √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 6. 〔多选〕已知复数z＝x＋yi（x，y∈R），则（　　） A. z2≥0 B. z的虚部是yi C. 若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2 D. ｜z｜＝ 解析：　对于A选项，取z＝i，则z2＝－1＜0，A选项错误；对于B选项，复数z的虚部为y，B选项错误；对于C选项，若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2，C选项正确；对于D选项，｜z｜＝ ，D选项正确.故选C、D. √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 7. 在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2 i的点在直线y＝x上，则实 数m的值为 ⁠. 解析：∵z＝（m－3）＋2 i表示的点在直线y＝x上，∴m－3＝ 2 ，解得m＝9. 9 数学·必修第四册（B版） 目 录 8. 在复平面内，向量 对应的复数是2＋i，向量 对应的复数是－1－ 3i，则向量 对应的复数是 ⁠. 解析：由向量 对应的复数是2＋i，得 ＝（2，1），由向量 对应 的复数是－1－3i，得 ＝（－1，－3），因此 ＝ ＋ ＝ － ＝（－3，－4），所以向量 对应的复数是－3－4i. －3－4i 数学·必修第四册（B版） 目 录 9. 若复数z＝a2－1＋（a＋1）i（a∈R）是纯虚数，则｜z｜＝ ⁠. 解析：∵复数z＝a2－1＋（a＋1）i是纯虚数， ∴ 解得a＝1， ∴z＝2i，∴｜z｜＝2. 2 数学·必修第四册（B版） 目 录 10. 已知i为虚数单位，复数z满足｜z｜＋z＝8＋4i. （1）求z； 解：设z＝a＋bi（a，b∈R）， 由｜z｜＋z＝8＋4i，得a＋ ＋bi＝8＋4i， ∴ 解得 ∴z＝3＋4i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）在复平面内，O为坐标原点，向量 ， 对应的复数分别是z，c ＋（2－c）i，若∠AOB是直角，求实数c的值. 解：由题意，得 ＝（3，4）， ＝（c，2－c）， ∵∠AOB是直角，∴ · ＝3c＋4（2－c）＝0， 解得c＝8. 数学·必修第四册（B版） 目 录 11. 若复数z＝a＋i（a∈R）在复平面内对应点Z，则｜z｜＝ 时，a ＝ ，此时Z与点（1，2）的距离是 ⁠. 解析：∵｜z｜＝ ＝ ，∴a＝±1.∴z＝1＋i或z＝－1＋i.当z ＝1＋i时，Z为（1，1），两点间距离为 ＝1； 当z＝－1＋i时，Z为（－1，1），两点间的距离为 ＝ . ±1 1或 数学·必修第四册（B版） 目 录 12. 若复数z＝ cos θ＋i sin θ在复平面内对应点Z，则由点Z构成的图形 是 ⁠. 解析：∵｜z｜＝ ＝1.∴向量 的长度等于1，即点Z到原 点的距离始终等于1.∴由点Z构成的图形是圆心在原点，半径为1的圆. 圆心在原点，半径为1的圆 数学·必修第四册（B版） 目 录 13. 在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i. （1）求向量 ， ， 对应的复数； 解：由复数的几何意义知： ＝（1，0）， ＝（2，1）， ＝（－1，2）， 所以 ＝ － ＝（1，1）， ＝ － ＝（－2，2）， ＝ － ＝（－3，1），所以 ， ， 对应的复数分别为1＋i，－2 ＋2i，－3＋i. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）判定△ABC的形状. 解：因为｜ ｜＝ ，｜ ｜＝2 ，｜ ｜＝ ， 所以｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2， 所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形. 数学·必修第四册（B版） 目 录 14. 〔多选〕下列命题中，是假命题的是（　　） A. 复数的模是非负实数 B. 若z＝－ ＋ i，则 ＝ － i C. 两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件 D. 复数z1＞z2＞0的充要条件是｜z1｜＞｜z2｜ √ √ 数学·必修第四册（B版） 目 录 解析：　任意复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模｜z｜＝ ≥0恒 成立，故A是真命题； ＝－ － i，故B是假命题；若z1＝a1＋b1i，z2＝ a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R），若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴｜ z1｜＝｜z2｜，反之由｜z1｜＝｜z2｜推不出z1＝z2，如当z1＝1＋3i，z2＝ 1－3i时，｜z1｜＝｜z2｜，但z1≠z2，故C是真命题；不全为实数的两个复 数不能比较大小，但任意两个复数的模能比较大小，∴｜z1｜＞｜z2｜推 不出复数z1＞z2，但复数z1＞z2＞0能推出｜z1｜＞｜z2｜，∴复数z1＞z2＞ 0的必要条件是｜z1｜＞｜z2｜，故D是假命题. 数学·必修第四册（B版） 目 录 15. 已知复数z＝（1＋2m）＋（3＋m）i（m∈R）. （1）若m＝1，且｜ ｜＝｜x＋（x－1）i｜，求实数x的值； 解：由m＝1，得z＝3＋4i， ＝3－4i， 则由｜ ｜＝｜x＋（x－1）i｜， 得 ＝ ， 整理得x2－x－12＝0， 解得x＝4或x＝－3. 数学·必修第四册（B版） 目 录 （2）求当m为何值，｜ ｜最小，并求｜ ｜的最小值. 解：｜ ｜＝ ＝ ＝ ≥ ， 当且仅当m＝－1时，｜ ｜取得最小值， 最小值为 . 数学·必修第四册（B版） 目 录 $