10.1.1 复数的概念（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

该高中数学课件围绕复数的概念、分类及复数相等的充要条件展开，以卡尔丹解负数开平方问题导入，通过数系扩充（自然数到整数、有理数、实数再到复数）的脉络，搭建学习支架帮助学生理解复数引入的必要性。 其亮点在于以问题驱动（如“方程x²=-1无解如何解决”的思考）培养数学眼光，通过例题辨析（如复数分类参数问题）发展数学思维，用规范数学语言（如复数代数形式、集合关系）表达概念，课堂小结强调转化与化归思想。学生能构建知识体系，教师可直接使用完整教学流程与练习设计。

第十章 复数 1 10．1　复数及其几何意义 10．1.1　复数的概念 2 返回导航 新知学习 探究 1 课堂巩固 自测 2 内 容 索 引 新知学习 探究 PART 01 第一部分 5 一　复数的有关概念 数系的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解： 因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解； 因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解； 因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解． 返回导航 思考　我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？ 提示　能．引入虚数单位i，使i2＝－1，则方程x2＝－1的解为x＝±i. 返回导航 [知识梳理] 1．定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中称i为________，满足i2＝________． 2．表示方法：复数一般用小写字母z表示，即__________________，其中________称为z的实部，________称为z的虚部，分别记作Re(z)＝a，Im(z)＝b. 3．复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C表示，因此C＝{z|z＝a＋bi，a，b∈R}． 虚数单位 －1 z＝a＋bi(a，b∈R) a b 返回导航 [即时练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝1－i的实部是1，虚部是－i.(　　) (2)方程x2＋1＝0的解为x＝±i.(　　) × √ 返回导航 2．复数z＝1－2i的虚部是(　　) A.2 B．－2 C.2i D．－2i 解析：虚部不带i，z＝1－2i的虚部是－2. √ 3．若复数z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的实部与虚部相等，则a＝________． 解析：由题意知2a－1＝3＋a，解得a＝4. 4 返回导航 在复数a＋bi(a，b∈R)中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部，特别注意，b连同它的符号叫做复数的虚部． 返回导航 二　复数的分类 思考1　复数z＝a＋bi(a，b∈R)在什么情况下表示实数？ 提示　b＝0. 思考2　 如何利用集合间的关系表示实数集R和复数集C? 提示　RC. 返回导航 实数 虚数 a＝0 a≠0 2．复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 返回导航 (2)纯虚数． 返回导航 母题探究　本例条件不变，则当z＞0时，m的值为(　　) A.1 B．5 C.－2 D．3 √ 返回导航 利用复数的分类求参数的方法及注意事项 (1)利用复数的分类求参数时，首先应将复数化为标准的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，得到实部与虚部，再求解． (2)要注意确定使实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解． 返回导航 √ 返回导航 (2)(2025·丹东月考)若复数m－4＋(m2－16)i≥0，则实数m的值为________． 4 返回导航 三　复数相等 思考　若z＝a＋bi与z＝1＋2i是同一个复数，那么a，b的值能确定吗？ 提示　能，a＝1，b＝2. [知识梳理] 两个复数z1与z2，如果实部与虚部都对应相等，我们就说这两个复数相等，记作z1＝z2.这就是说，如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔____________． 特别地，当a，b都是实数时，a＋bi＝0的充要条件是______________． a＝c且b＝d a＝0且b＝0 返回导航 [例2] (1)若xi－2i2＝y＋2yi，x，y∈R，则复数x＋yi＝(　　) A.－2＋i B．4＋2i C.1－2i D．1＋2i √ 返回导航 (2)若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为(　　) A.1 B．2 C.3 D．4 √ 返回导航 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解； (2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． 返回导航 [跟踪训练2] (1)已知复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和复数z2＝c＋di(c，d∈R)，则“a＝c”是“z1＝z2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：充分性：当a＝c时，若b≠d， 则z1≠z2，所以充分性不成立； 必要性：当z1＝z2时，则a＝c且b＝d，所以必要性成立， 所以“a＝c”是“z1＝z2”的必要不充分条件． √ 返回导航 (2)已知x－2y＋3＋(x＋y)i＝0，x，y∈R，则x＝________，y＝________． －1 1 返回导航 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 25 1．设i是虚数单位，若复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，则实数a＝(　　) A.5　　　　　　　 B．－5 C.3 D．－3 解析：因为复数z＝3＋2a＋(2－3a)i的实部与虚部互为相反数，所以3＋2a＝－(2－3a)，解得a＝5. √ 返回导航 2．(多选)(2025·威海月考)下列命题中，不正确的是(　　) A.1－ai(a∈R)是一个复数 B.形如a＋bi(a，b∈R)的数一定是虚数 C.两个复数一定不能比较大小 D.若a>b，则a＋i>b＋i 解析：由复数的定义可知A命题正确； 形如a＋bi(a，b∈R)的数，当b＝0时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． √ √ √ 返回导航 3．若4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a＝____________． －4 返回导航 4．(教材P28练习BT2改编)当实数m取什么值时，复数z＝(m2＋m－6)＋(m2－m－2)i(m∈R)是下列数？ (1)实数； 解：若z是实数，则m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1. (2)虚数； 解：若z是虚数，则m2－m－2≠0，解得m≠2且m≠－1. (3)纯虚数． 返回导航 1．已学习：数系的扩充、复数的概念及分类、复数相等的充要条件． 2．须贯通：两个复数一般不能比较大小，如有大小关系，则它们一定是实数；两个复数相等的充要条件是实部与虚部分别相等；复数问题实数化是求解复数的基本方法，体现了转化与化归的数学思想． 3．应注意：(1)复数代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)是否规范； (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是纯虚数的充要条件是b≠0且a＝0. 返回导航 新课导入 学习目标 　　意大利数学家卡尔丹曾提出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程x(10－x)＝40的根，他求出的根为5＋和5－，积为25－(－15)＝40.这样的结果令他大为不解，甚至感到有些恐慌．负数真的不能开平方吗？让我们带着这个问题进入今天的探究之旅吧！ 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程． 2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数的表示方法，理解复数相等的充要条件． $