回归基础篇：椭圆第一问专题训练-2026届高三数学三轮冲刺

高考冲刺训练---回归基础篇 椭圆第一问专题训练 1、 考点分析 天津市高考椭圆第一问命题规律与题型总结 结合2015-2025年天津卷高考数学真题分析，椭圆解答题第一问的考查呈现高度稳定性，核心围绕标准方程求解和离心率计算两大类型，具体规律如下： （一）命题特征 分值与位置：椭圆为天津卷解答题固定考点（第18/19题，15分），第一问占4-5分，属于基础拿分点。 条件载体：多以椭圆的顶点、焦点、特殊点坐标、几何图形面积、直线斜率关系等为已知条件，核心考查椭圆基本参数a,b,c的关系。 考查频次：近10年中，7年第一问为求标准方程，3年为求离心率，2023年曾同时考查两个问题（先求方程再求离心率）。 （二）高频题型分类与典型考法 类型1：求椭圆标准方程 核心思路：通过已知条件建立关于a,b,c的方程组，求解参数后写出方程。 考法类型: 几何关系型：结合顶点/焦点坐标、三角形面积、直线斜率等几何条件列方程。 基础参数型：直接给出离心率、顶点坐标、中点/面积等基础参数关系。 通径/弦长型：利用通径长、特殊弦长等公式简化计算。 定义应用型：利用椭圆定义“到两定点距离和为定值2a2a”直接确定参数。 类型2：求椭圆离心率 核心思路：将已知条件转化为仅含a,c的齐次方程，或直接求出a,c的值后代入离心率公式。 考法类型： 几何图形关系型： 坐标代入型 焦点三角形型：结合焦点三角形的边长、角度、相切等几何性质。 范围型 （三）解题通用技巧 参数优先原则：优先记忆a,b,c的基本关系，离心率问题尽量转化为关于a,c的齐次式，避免单独求解单个参数。 几何条件转化：遇到顶点、焦点构成的三角形时，优先用平面几何性质（如等边三角形、直角三角形边角关系）简化计算，避免复杂坐标运算。 验证步骤：求出方程或离心率后，可代入已知条件反向验证，确保参数关系正确（如离心率需满足0<e<10<e<1）。 （四）2026年命题预测 根据近年命题稳定性，2026年天津卷椭圆第一问大概率仍以求标准方程为主，可能结合： 1.直线与椭圆的特殊位置关系（相切、垂直） 2.向量点积、中点坐标等代数条件 3. 与双曲线/抛物线共焦点的综合场景 二、类型应用 类型一 求椭圆的标准方程 1．（2026·天津和平·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4 (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题、求椭圆的长轴、短轴 【分析】（1）由已知及椭圆参数关系列方程，解出即可求解； 【详解】（1）由题意，得，解得， 故椭圆方程为. 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知椭圆的短轴长为2，右顶点为抛物线的焦点， (1)求椭圆的标准方程和离心率； 【答案】(1)，离心率为 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中向量共线比例问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数值，即可得椭圆的标准方程，进而求离心率； 【详解】（1）椭圆的短轴长为2，可得， ， 椭圆C的右顶点为抛物线的焦点， ，则， 椭圆C的方程为，离心率为. 3．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标 【分析】（1）根据条件求的值，可得椭圆的标准方程. 【详解】（1）依题意，解得. 故椭圆方程为. 4．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）利用椭圆过的点与椭圆的基本性质求解椭圆方程即可. 【详解】（1）因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得，则椭圆的方程为. 5．（2026·天津东丽·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，且． (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的切线方程、根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由顶点坐标、两点间距离公式以及平方关系和离心率公式列出方程组，联立求解即可得解； 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为. 6．（2026·天津南开·二模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． (1)求的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据椭圆的基本性质求解； 【详解】（1）依题意，有解得， 所以的方程为． 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． 【答案】(1) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. 8．（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的参数及范围、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为，列出方程组，求得的值，即可得到椭圆的方程； 【详解】（1）由椭圆的离心率为，且椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为， 可得，解得，椭圆. 9．（2026·浙江金华·二模）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； 【答案】(1) 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意可得的关系式，进而可求得椭圆C的标准方程； 【详解】（1）由题意可得，， 将代入中，可得, 依题意，点在第一象限，故得， 由，，得， 解得，，所以， 所以椭圆标准方程为． 10．（2026·天津·一模）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上，且，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据韦达定理求参数、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）表示出点坐标与直线的斜率后计算即可得； 【详解】（1）由题意可知，点的坐标为， 则，解得， 故椭圆的方程为； 类型二 求椭圆的离心率 11．（2026·天津红桥·二模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． (1)求椭圆的离心率； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用椭圆顶点与焦点的距离条件，代入椭圆基本关系化简，直接求出离心率； 【详解】（1） 由题意得，， 所以，又， 所以，整理得， 所以椭圆的离心率； 12．（2026·天津北辰·二模）已知椭圆：的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，离心率为，的面积为. (1)求椭圆E的方程； 【答案】(1) 【分析】（1）利用离心率与三角形的面积公式求解出椭圆的方程即可. 【详解】（1）依题意有，解得. 故椭圆E的方程为. 13．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； 【答案】(1) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、用向量解决夹角问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到，再由直线的斜率得到，从而利用三角形的面积公式得到关于的方程，解之即可得解； 【详解】（1）依题意，设椭圆的半焦距为， 则左焦点，右顶点，离心率，即， 因为为上一点，设， 又直线的斜率为，则，即， 所以，解得，则，即， 因为的面积为，，高为， 所以，解得， 则，， 所以椭圆的方程为. . 14．（25-26高二上·宁夏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； 【答案】(1) 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率； 15．（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； 【答案】(1)椭圆的方程为，离心率为 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）由题意知，进而求得答案； 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； 16．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点，且. (1)求椭圆的离心率； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】（1）利用两点间距离公式求出，由得到关系的等式，解出离心率； 【详解】（1）椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点， ，，，， ，，， ， ，， ，，； 17．（2020·全国II卷·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 【答案】（1）；（2）：，： . 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可； （2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可； 【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中. 不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：， 所以当时，有，因此的纵坐标分别为，； 又因为抛物线的方程为，所以当时，有， 所以的纵坐标分别为，，故，. 由得，即，解得（舍去），. 所以的离心率为. （2）由（1）知，，故，所以的四个顶点坐标分别为，，，，的准线为. 由已知得，即. 所以的标准方程为，的标准方程为. 【点睛】 本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力. 18．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题 【分析】（1）由题意计算可得，结合椭圆的性质可求离心率； 【详解】（1）将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又，． 离心率，，（舍去）. 19．（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求椭圆中的参数及范围、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）由题意可得，再利用离心率定义计算即可得； 【详解】（1）由已知，，，则， 故； 20．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； 【答案】(1)方程为，离心率为 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据韦达定理求参数、数量积的坐标表示、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）先写出椭圆右顶点、上顶点、左焦点坐标，求出两条直线斜率并利用斜率乘积条件化简得 ，再结合椭圆 的关系求出 的值，进而写出椭圆标准方程并算出离心率. 【详解】（1）由题意可得右顶点，上顶点，设左焦点. 因为 ，所以，即. 因为，所以. 椭圆的方程为，离心率为. 21．（2026·新疆·二模）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． (1)求椭圆C的方程及其离心率； 【答案】(1)，离心率为 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的定直线、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据给定条件，结合勾股定理及椭圆定义求出即可； 【详解】（1）令椭圆C：的半焦距为， 由的最大值为，得， 由，的面积为1，得，， 而，因此， 即，， 解得，所以椭圆C的方程为，离心率为. 22．（2026·重庆渝中·三模）已知点 ，过点斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（A在的左侧），且为线段中点. (1)求椭圆的离心率； 【答案】(1) 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积 【分析】（1）利用点差法可求椭圆的离心率； 【详解】（1）设，则，， 故， 而为的中点，故，故， 而直线的斜率为，故，故， 故，故即离心率为. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 椭圆第一问专题训练 1、 考点分析 天津市高考椭圆第一问命题规律与题型总结 结合2015-2025年天津卷高考数学真题分析，椭圆解答题第一问的考查呈现高度稳定性，核心围绕标准方程求解和离心率计算两大类型，具体规律如下： （一）命题特征 分值与位置：椭圆为天津卷解答题固定考点（第18/19题，15分），第一问占4-5分，属于基础拿分点。 条件载体：多以椭圆的顶点、焦点、特殊点坐标、几何图形面积、直线斜率关系等为已知条件，核心考查椭圆基本参数a,b,c的关系。 考查频次：近10年中，7年第一问为求标准方程，3年为求离心率，2023年曾同时考查两个问题（先求方程再求离心率）。 （二）高频题型分类与典型考法 类型1：求椭圆标准方程 核心思路：通过已知条件建立关于a,b,c的方程组，求解参数后写出方程。 考法类型: 几何关系型：结合顶点/焦点坐标、三角形面积、直线斜率等几何条件列方程。 基础参数型：直接给出离心率、顶点坐标、中点/面积等基础参数关系。 通径/弦长型：利用通径长、特殊弦长等公式简化计算。 定义应用型：利用椭圆定义“到两定点距离和为定值2a2a”直接确定参数。 类型2：求椭圆离心率 核心思路：将已知条件转化为仅含a,c的齐次方程，或直接求出a,c的值后代入离心率公式。 考法类型： 几何图形关系型： 坐标代入型 焦点三角形型：结合焦点三角形的边长、角度、相切等几何性质。 范围型 （三）解题通用技巧 参数优先原则：优先记忆a,b,c的基本关系，离心率问题尽量转化为关于a,c的齐次式，避免单独求解单个参数。 几何条件转化：遇到顶点、焦点构成的三角形时，优先用平面几何性质（如等边三角形、直角三角形边角关系）简化计算，避免复杂坐标运算。 验证步骤：求出方程或离心率后，可代入已知条件反向验证，确保参数关系正确（如离心率需满足0<e<10<e<1）。 （四）2026年命题预测 根据近年命题稳定性，2026年天津卷椭圆第一问大概率仍以求标准方程为主，可能结合： 1.直线与椭圆的特殊位置关系（相切、垂直） 2.向量点积、中点坐标等代数条件 3. 与双曲线/抛物线共焦点的综合场景 二、类型应用 类型一 求椭圆的标准方程 1．（2026·天津和平·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为4 (1)求椭圆的方程； 2．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知椭圆的短轴长为2，右顶点为抛物线的焦点， (1)求椭圆的标准方程和离心率； 3．（25-26高三上·天津和平·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆下顶点，为等腰直角三角形，其周长为. (1)求椭圆的方程； 4．（2026·天津·一模）已知椭圆过点，且离心率为，右顶点为，上顶点为． (1)求椭圆的方程； 5．（2026·天津东丽·一模）已知椭圆的离心率为，右顶点为，上顶点为，且． (1)求椭圆的方程； 6．（2026·天津南开·二模）已知椭圆的离心率为，短轴的一个顶点到长轴的一个顶点的距离为． (1)求的方程； 7．（2024·天津·高考真题）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． 8．（2025·天津红桥·一模）已知椭圆的离心率为，以椭圆E的四个顶点为顶点的四边形面积为． (1)求椭圆C的方程； 9．（2026·浙江金华·二模）设椭圆的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B， ．点P是椭圆C上的一点，轴，且． (1)求椭圆C的标准方程； 10．（2026·天津·一模）已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上，且，，直线的斜率为. (1)求椭圆的方程； 类型二 求椭圆的离心率 11．（2026·天津红桥·二模）已知椭圆：的左、右顶点分别为，上顶点为，左、右焦点分别为，且． (1)求椭圆的离心率； 12．（2026·天津北辰·二模）已知椭圆：的右焦点为F，左顶点为A，上顶点为B，下顶点为C，离心率为，的面积为. (1)求椭圆E的方程； 13．（2025·天津·高考真题）已知椭圆的左焦点为F，右顶点为A，P为上一点，且直线的斜率为，的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； 14．（25-26高二上·宁夏·期末）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； 15．（2026·北京海淀·二模）椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． (1)求椭圆的方程及离心率； 16．（25-26高三下·天津红桥·开学考试）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，右顶点，上顶点，且. (1)求椭圆的离心率； 17．（2020·全国II卷·高考真题）已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|． （1）求C1的离心率； （2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程． 18．（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； 19．（2026·天津东丽·二模）设椭圆的上顶点为，点，为坐标原点，已知的面积为． (1)求椭圆的离心率； 20．（2026·北京昌平·二模）设椭圆的左焦点为，右顶点为，上顶点为，直线与的斜率的乘积为. (1)求椭圆的方程及离心率； 21．（2026·新疆·二模）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，O为坐标原点，M为椭圆C上任意一点，的最大值为，当时，的面积为1． (1)求椭圆C的方程及其离心率； 22．（2026·重庆渝中·三模）已知点 ，过点斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点（A在的左侧），且为线段中点. (1)求椭圆的离心率； 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $