回归基础篇选择前八题专题训练-2026届高三数学三轮冲刺（天津市）

**基本信息** 聚焦天津卷数学选择前8题，通过考情分析、题型归类、方法提炼与命题预测，构建“考点-解法-预测”三维训练体系，以数学思维构建解题逻辑链，助力基础分突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合运算|6题|交并补混合运算，结合不等式解集|集合概念与运算规则的应用| |常用逻辑用语|6题|充要条件判断，结合函数、数列等|命题关系与逻辑推理的迁移| |函数性质与图像|6题|奇偶性、单调性判断，图像识别|函数概念与性质的直观表达| |概率统计|6题|正态分布对称性，相关系数分析|数据处理与统计推断的应用| |数列|6题|等差等比基本量计算，分段求和|数列概念与求和公式的综合| |三角函数|6题|周期性、最值、图像变换|三角函数性质与图像的关联| |双曲线|6题|离心率、标准方程，几何性质|双曲线定义与几何特征的应用| |空间几何|6题|线面位置关系判断，体积计算|空间观念与几何定理的应用|

高考冲刺训练---回归基础篇 选择前八题专题训练 1、 考情分析 天津卷数学采用"9+6+5"架构（选择题9道、填空题6道、解答题5道），满分150分，考试用时120分钟。其中第I卷（选择题）共9题，每题5分，计45分。选择题的前8道题以中低难度为主，是全卷的"稳定得分区间"，其正确率直接决定了整卷基础分的高度。 从五年真题来看，天津卷选择题呈现"前6送分、中档2题过渡"的格局：第1—5题属于基础送分题，第6—8题属于中档过渡题，第9题为压轴选填题。对于目标分数在110—130分的考生，前8道题应争取满分（40分）。 二、前8道题求解类型分析 2.1第1题：集合运算 五年考点对照 年份 具体考点 2025 并集与补集混合运算 2024 交集运算 2023 交并补混合运算 2022 交集运算 2021 交并补混合运算 求解类型：给定有限数集，求交、并、补或混合运算。偶有与不等式解集结合考查。 2.2 第2题：充要条件判断 五年考点对照 年份 具体考点 2025 三角函数情境：是的什么条件 2024 等式情境：与 2023 等式情境：”与 2022 整数情境：x 为整数与 2x+1 为整数 2021 不等式情境：与“ 求解类型：给出命题p与q，判断p是q的充分/必要/充要条件。常与方程、不等式、三角函数、数列、函数单调性等知识点交叉。 2.3 第3题：函数图像识别与性质 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 根据图像选解析式（奇偶性+定义域） 2024 判断偶函数 2023 函数图像识别 求解类型：给出函数图像，从选项中选出对应解析式；或给出函数式判断奇偶性、单调性及其图像特征。 2.4 第4题：空间几何——线面位置关系 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 线面平行、垂直判定定理判断 2024 线面平行、垂直判定（含C选项正确） 2023 线面关系命题判断 求解类型：已知直线m、n与平面α、β的若干关系（m∥α、m⊥α、n⊂α等），判断命题真伪。 2.5 第5题：概率统计基础 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 正态分布对称性 + 相关系数理解（选"错误"选项） 2024 相关系数——散点图判断相关性大小 2023 线性相关——散点图与相关系数 求解类型：正态分布概率性质（对称性）、相关系数r的统计意义、散点图分析。 2.6 第6题：数列求和 / 比较大小 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 含绝对值数列前n项和 2024 指数对数比较大小： 2023 数列求和 求解类型：等差数列/等比数列基本量计算、含绝对值数列分段求和、指数函数与对数函数值比较大小。 2.7 第7题：函数零点 / 三角函数性质 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 指数与幂函数零点所在区间： 2024 三角函数周期性、最小值（f(x)=sin(ωx+φ)） 2023 函数零点判断 求解类型：零点存在性定理的应用、三角函数的最小正周期与最值求解。 2.8 第8题：三角函数 / 圆锥曲线基础 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 三角函数对称轴、对称中心及最值求解 2024 双曲线综合（含直角三角形面积、离心率） 2023 三角函数性质 求解类型：三角函数的对称轴方程、对称中心、单调区间、最值求解；或双曲线的离心率、标准方程计算。 三、五年高频考点统计与规律总结 3.1 各题位考点频次统计（2021—2025） 题号 出现3次以上 出现2次 出现1次 第1题 集合运算（5次） — — 第2题 充要条件（5次） — — 第3题 函数图像/奇偶性（3次） — — 第4题 线面位置关系（3次） — — 第5题 概率统计（3次，2023年起） 函数比大小（2次，2021-2022） — 第6题 — 数列（2次）、比大小（2次） — 第7题 函数零点（3次） 三角函数（2次） — 第8题 三角函数（3次） 双曲线（2次） — 四、2026年命题预测 4.1 总体研判 基于天津卷"稳中有变、变中求新"的命题传统和2025年试卷评析的导向信号，预计2026年前8道题将呈现以下特征： 1. 题型位置高度固化：第1—5题保持送分属性，第6—8题为中档过渡 1. 难度保持平稳：不会大幅波动，基础题占比70%以上 1. 情境化适度渗透：个别题目可能融入生活情境（如操场跑圈类概率题延续） 1. 跨模块浅层融合：如集合与不等式、数列与函数、三角与向量的简单结合 4.2 逐题预测 题号 预测考点 预测依据 第1题 集合的交、并、补运算（大概率与不等式解集结合） 5年连续固定第1题，2026备考专题已明确此方向 第2题 充要条件判断（可能结合数列单调性或函数单调性） 5年固定第2题，命题偏好跨知识点融合 第3题 函数图像识别或奇偶性/单调性判断 高频考点，题型稳定 第4题 空间线面平行、垂直关系的命题判断 近三年固定考点 第5题 概率统计：正态分布/相关系数/条件概率初步 2023年起该位置已稳定为概率统计板块 第6题 等差数列/等比数列基本量计算 或 指数对数比大小 两种模式交替出现 第7题 函数零点区间判断 或 三角函数图像性质 近三年交替考查 第8题 三角函数性质（对称轴、单调区间、最值） 近两年三角函数在此位置出现频次高；双曲线也可能出现 4.3 2026年特别关注的新动向 动向一：第5题"概率统计"位置已固化。 2023年起正态分布/相关系数移至选择题前段，预计2026年延续此布局。 动向二："选错误选项"题型扩散。 2025年第5题首次出现"选错误说法"的设问方式，改变了以往"选正确"的惯例，2026年可能在其他题中仿效。 动向三：教材溯源题增加。 教育部明确要求强化教考衔接，试题可能直接改编自教材例题或习题。建议回归课本，重新做一遍教材例题。 动向四：计算量微降、思维量微升。 逐步从"算得快"转向"想得清"，纯计算技巧型题目减少，概念理解和逻辑推理型题目增加。 5、 类型巩固应用 类型一 集合的运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 类型二 常用逻辑用语 7．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 8．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 11．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12．已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 类型三 函数性质与图像 13．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 14．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 15．下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 16．函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 17．若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（   ） A． B． C． D． 18．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型四 指数对数运算及比较大小 19．化简（         ） A．1 B． C．2 D． 20．设，且，则（    ） A． B． C． D． 21．若，，，则 A． B． C． D． 22．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 23．已知，则（   ） A． B． C． D． 24．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 25．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 类型五 统计及统计案例 26．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 27．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与正相关 B．在经验回归方程中 C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D．时，残差为 28．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 29．下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 31．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 类型六 数列 32．记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 33．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 34．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 35．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 36．已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 37．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 类型七 三角函数图像及性质 38．若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 39．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 40．函数的图象为C， ①图象C关于直线对称；   ②函数在区间内是增函数； ③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C． 以上三个论断中，正确论断的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 41．已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 42．设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型八 双曲线 43．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 44．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 45．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 46．设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 47．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 48．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 类型九 空间点线面的位置关系及表面积体积 49．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 50．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 51．已知直线，，平面，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 52．已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 53．如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 54．今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考冲刺训练---回归基础篇 选择前八题专题训练 1、 考情分析 天津卷数学采用"9+6+5"架构（选择题9道、填空题6道、解答题5道），满分150分，考试用时120分钟。其中第I卷（选择题）共9题，每题5分，计45分。选择题的前8道题以中低难度为主，是全卷的"稳定得分区间"，其正确率直接决定了整卷基础分的高度。 从五年真题来看，天津卷选择题呈现"前6送分、中档2题过渡"的格局：第1—5题属于基础送分题，第6—8题属于中档过渡题，第9题为压轴选填题。对于目标分数在110—130分的考生，前8道题应争取满分（40分）。 二、前8道题求解类型分析 2.1第1题：集合运算 五年考点对照 年份 具体考点 2025 并集与补集混合运算 2024 交集运算 2023 交并补混合运算 2022 交集运算 2021 交并补混合运算 求解类型：给定有限数集，求交、并、补或混合运算。偶有与不等式解集结合考查。 2.2 第2题：充要条件判断 五年考点对照 年份 具体考点 2025 三角函数情境：是的什么条件 2024 等式情境：与 2023 等式情境：”与 2022 整数情境：x 为整数与 2x+1 为整数 2021 不等式情境：与“ 求解类型：给出命题p与q，判断p是q的充分/必要/充要条件。常与方程、不等式、三角函数、数列、函数单调性等知识点交叉。 2.3 第3题：函数图像识别与性质 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 根据图像选解析式（奇偶性+定义域） 2024 判断偶函数 2023 函数图像识别 求解类型：给出函数图像，从选项中选出对应解析式；或给出函数式判断奇偶性、单调性及其图像特征。 2.4 第4题：空间几何——线面位置关系 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 线面平行、垂直判定定理判断 2024 线面平行、垂直判定（含C选项正确） 2023 线面关系命题判断 求解类型：已知直线m、n与平面α、β的若干关系（m∥α、m⊥α、n⊂α等），判断命题真伪。 2.5 第5题：概率统计基础 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 正态分布对称性 + 相关系数理解（选"错误"选项） 2024 相关系数——散点图判断相关性大小 2023 线性相关——散点图与相关系数 求解类型：正态分布概率性质（对称性）、相关系数r的统计意义、散点图分析。 2.6 第6题：数列求和 / 比较大小 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 含绝对值数列前n项和 2024 指数对数比较大小： 2023 数列求和 求解类型：等差数列/等比数列基本量计算、含绝对值数列分段求和、指数函数与对数函数值比较大小。 2.7 第7题：函数零点 / 三角函数性质 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 指数与幂函数零点所在区间： 2024 三角函数周期性、最小值（f(x)=sin(ωx+φ)） 2023 函数零点判断 求解类型：零点存在性定理的应用、三角函数的最小正周期与最值求解。 2.8 第8题：三角函数 / 圆锥曲线基础 近三年考点对照 年份 具体考点 2025 三角函数对称轴、对称中心及最值求解 2024 双曲线综合（含直角三角形面积、离心率） 2023 三角函数性质 求解类型：三角函数的对称轴方程、对称中心、单调区间、最值求解；或双曲线的离心率、标准方程计算。 三、五年高频考点统计与规律总结 3.1 各题位考点频次统计（2021—2025） 题号 出现3次以上 出现2次 出现1次 第1题 集合运算（5次） — — 第2题 充要条件（5次） — — 第3题 函数图像/奇偶性（3次） — — 第4题 线面位置关系（3次） — — 第5题 概率统计（3次，2023年起） 函数比大小（2次，2021-2022） — 第6题 — 数列（2次）、比大小（2次） — 第7题 函数零点（3次） 三角函数（2次） — 第8题 三角函数（3次） 双曲线（2次） — 四、2026年命题预测 4.1 总体研判 基于天津卷"稳中有变、变中求新"的命题传统和2025年试卷评析的导向信号，预计2026年前8道题将呈现以下特征： 1. 题型位置高度固化：第1—5题保持送分属性，第6—8题为中档过渡 1. 难度保持平稳：不会大幅波动，基础题占比70%以上 1. 情境化适度渗透：个别题目可能融入生活情境（如操场跑圈类概率题延续） 1. 跨模块浅层融合：如集合与不等式、数列与函数、三角与向量的简单结合 4.2 逐题预测 题号 预测考点 预测依据 第1题 集合的交、并、补运算（大概率与不等式解集结合） 5年连续固定第1题，2026备考专题已明确此方向 第2题 充要条件判断（可能结合数列单调性或函数单调性） 5年固定第2题，命题偏好跨知识点融合 第3题 函数图像识别或奇偶性/单调性判断 高频考点，题型稳定 第4题 空间线面平行、垂直关系的命题判断 近三年固定考点 第5题 概率统计：正态分布/相关系数/条件概率初步 2023年起该位置已稳定为概率统计板块 第6题 等差数列/等比数列基本量计算 或 指数对数比大小 两种模式交替出现 第7题 函数零点区间判断 或 三角函数图像性质 近三年交替考查 第8题 三角函数性质（对称轴、单调区间、最值） 近两年三角函数在此位置出现频次高；双曲线也可能出现 4.3 2026年特别关注的新动向 动向一：第5题"概率统计"位置已固化。 2023年起正态分布/相关系数移至选择题前段，预计2026年延续此布局。 动向二："选错误选项"题型扩散。 2025年第5题首次出现"选错误说法"的设问方式，改变了以往"选正确"的惯例，2026年可能在其他题中仿效。 动向三：教材溯源题增加。 教育部明确要求强化教考衔接，试题可能直接改编自教材例题或习题。建议回归课本，重新做一遍教材例题。 动向四：计算量微降、思维量微升。 逐步从"算得快"转向"想得清"，纯计算技巧型题目减少，概念理解和逻辑推理型题目增加。 5、 类型巩固应用 类型一 集合的运算 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2．已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据给定条件，直接求出集合中的元素作答. 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 3．已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【知识点】补集的概念及运算、判断集合的子集（真子集）的个数 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 4．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由指数函数的单调性解不等式 【详解】解不等式，得，即， 所以， 解不等式，变形得， 因为指数函数是上的增函数，所以， 所以． 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、几何意义解绝对值不等式 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 6．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，，所以，． 故选：A． 类型二 常用逻辑用语 7．命题“，”的否定是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】全称命题的否定及其真假判断 【详解】因带量词的命题的否定为：改变量词，否定结论， 故命题“，”的否定是“”. 8．已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 9．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据绝对值不等式的解法及充分条件、必要条件的定义判定即可. 【详解】若则显然成立，满足充分性； 由可得，推不出，不满足必要性，所以A正确. 10．“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、研究对数函数的单调性 【详解】因为在上单调递增，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由推出，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 11．已知直线与，则“”是“”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充分条件、必要条件、已知直线平行求参数 【分析】借助直线平行的性质及充分条件与必要条件定义计算即可得. 【详解】若，则，解得或， 当时，，两直线重合，不符； 当时，，符合题意； 所以，即“”是“” 的充要条件. 12．已知数列，，则“数列为递增数列”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性、等差数列通项公式的基本量计算 【详解】若数列为递增数列，则成立，即充分性成立； 若，又， 当时，符合条件，但“数列不为递增数列”，故必要性不成立， 综上，“数列为递增数列”是“”的充分不必要条件． 类型三 函数性质与图像 13．函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、判断零点所在的区间 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 14．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 15．下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 16．函数大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数图像的识别 【详解】由，得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度， 则时，，排除A，因此B符合题意. 17．若函数的部分图象如图所示，则函数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】识别三角函数的图象（含正、余弦，正切）、求含tanx的函数的单调性、函数图像的识别、函数奇偶性的定义与判断 【分析】由图象可知函数为奇函数，且当时，；逐项判断是否符合要求即可得. 【详解】由图象可知函数为奇函数，且当时，； A，，该函数为偶函数，A不符； B，，该函数为奇函数， 且当时，，，此时，B符合题意； C，函数为偶函数，C不符； D，当时，，D不符. 18．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数图像的识别、对数的运算 【分析】去掉绝对值，得到具体的函数表达式，即可作出判断. 【详解】当时，，排除C； 当时，，排除AB选项. 故选：D. 类型四 指数对数运算及比较大小 19．化简（         ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】对数的运算、对数的运算性质的应用 【分析】根据对数的性质可求代数式的值. 【详解】原式 ， 故选：C 20．设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算 【分析】先根据，得到，再由求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 又， . 故选：B. 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的运算，属于较易题. 21．若，，，则 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算、对数函数单调性的应用 【分析】先判断得到c＜0，a＞1，1>b＞0，进而得解. 【详解】由题得，， ， 所以. 故选D 【点睛】本题主要考查对数函数的运算和单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 22．设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D 23．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、比较对数式的大小 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数，所以， 对数函数在上为增函数，则，故. 故选：D. 24．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】利用对数函数的单调性得到a，b的范围，利用指数函数的单调性得到c的范围比较. 【详解】因为， 所以 易知， 所以 25．已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 类型五 统计及统计案例 26．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断正、负相关、相关系数的意义及辨析 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，. 27．5G技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示： 时间 1 2 3 4 5 销售量（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5 若与线性相关，且经验回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） A．由题中数据可知，变量与正相关 B．在经验回归方程中 C．可以预测时该商场5G手机销量约为1.72千只 D．时，残差为 【答案】D 【知识点】线性回归、残差的计算、根据回归方程进行数据估计、根据样本中心点求参数 【分析】对于A，利用表中的数据分析即可求解；对于B，利用平均数的定义及样本中心，结合样本中心在回归直线上即可求解；对于C，利用回归方程即可求出预测值，对于D，利用预测值和残差的定义即可求解. 【详解】对于A，从数据看随的增加而增加，所以变量与正相关，故A正确； 对于B，由表中数据知，，， 可得样本中心点为，将样本中心点代入中， 得到，故B正确； 对于C，当时该商场5G手机销量约为（千只），故C正确； 对于D，经验回归方程为，所以， 则残差为，故D错误. 28．下列说法正确的是（   ） A．一组数据2，3，8，3，10，18，7，4的第50百分位数为4 B．在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C．设且，则 D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】D 【知识点】残差的计算、独立性检验的基本思想、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】利用百分位数的定义求解选项A即可，利用残差图与回归方程的关系求解选项B即可，利用正态分布的定义求解选项C即可，利用独立性检验的定义求解选项D即可. 【详解】将这一组数据2，3，8，3，10，18，7，4按照从小到大排序得：2，3，3，4，7，8，10，18. 因则50百分位数为第4位和第5位的平均数，即，故A错误. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故B错误. 因，则故C错误. 因故判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，故D正确. 29．下列说法中，错误的个数为（    ） ①根据的列联表中的数据计算得出，而，则我们认为两个分类变量不独立，该推断犯错误的概率不超过5%； ②若甲、乙两组数据的相关系数分别为-0.98和0.95，则乙组数据的线性相关性更强； ③一个袋子中有50个大小相同、质地相同的球，其中有20个黄球，30个红球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，并且 ④随机变量，且，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】相关系数的意义及辨析、独立性检验解决实际问题、二项分布的均值、超几何分布的分布列 【详解】对于①，且，则我们认为在犯错误的概率不超过的前提下，认为两个分类变量不独立，①正确. 对于②，相关系数的绝对值越大，相关性越强，，故甲组数据的线性相关性更强，②错误. 对于③，因为是不放回随机抽样，所以随机变量服从超几何分布，③错误. 对于④，且，，又，，得，④错误. 综上，错误的个数为3个. 30．某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算几个数的中位数 【分析】直接由中位数的定义计算可得. 【详解】由图知，月日至日的最高气温由低到高排列为，共个数据， 故中位数为. 31．为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【知识点】总体百分位数的估计、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 类型六 数列 32．记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】根据已知有、，结合等差数列的通项公式、前n项和公式依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，且，， 所以，即， 由，则，A错， 由，则，B对， 由，而的符号未知，C错， 由，D错. 33．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（    ） A．15 B．17 C．80 D．82 【答案】D 【知识点】等差中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 34．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 35．在数列中，，且，，则（   ） A． B．21 C． D．40 【答案】B 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、判断等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由，得到奇数项之间的递推关系，得到等差数列的通项公式，先求出再根据计算出. 【详解】，， ，即； 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， 当时，； . 36．已知为数列的前项和，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】先由条件可得，再由与的关系可得，进而可得，从而可得所求和. 【详解】当时，，因为，所以. 当时，由，得， 两式相减可得，即. 因为，所以，又，所以. 因此数列是公差为0，首项为的等差数列， 可得，所以. 37．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论. 【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为， 依题意可得，， ， ，解得， . 故选:A. 【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题. 类型七 三角函数图像及性质 38．若函数的最小正周期为，则曲线的对称中心可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】由最小正周期可得，据此可得对称中心，然后验证选项可得答案. 【详解】因最小正周期为，则，结合，可得. 则，其对称中心横坐标满足， 所以对称中心可为：. 选项A：令，得，不符合； 选项B：令，得，不符合； 选项C：令，得，不符合； 选项D：令，得，符合要求. 39．已知函数的图象关于直线对称，且的一个周期为4，则的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求含cosx的函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式. 【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性： A选项中，B选项中， C选项中，D选项中， 排除选项CD， 对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A， 对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴， 故选：B. 40．函数的图象为C， ①图象C关于直线对称；   ②函数在区间内是增函数； ③由的图象向右平移个单位长度可以得到图象C． 以上三个论断中，正确论断的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由正弦函数的对称性可判断①；由正弦函数的增区间，可判断②；由图象平移规律可判断③． 【详解】解：函数的图象为C， ①，由，可得图象C关于直线对称，故正确； ②，由，可得 由k＝0可得函数在区间内是增函数，故正确； ③由的图象向右平移个单位长度可以得到的图象，而非图象C，故错误． 故选：C． 41．已知函数，的部分图象如图所示，给出下列命题： ①的图象关于直线对称 ②的图象关于点对称 ③将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 ④若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 则上述命题中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式 【分析】对于AB，代入选项的的值并依据正弦函数的图象性质判断即可，对于C，由图象变换结合辅助角公式即可求解，对于D，使用整体代入法结合图象的交点个数即可求解. 【详解】由题意得，最小正周期满足，即， 则，即， 代入得，即， 由此可得，解得， 因为，令，则， 综上，， 对于①，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故①错误； 对于②，若的图象关于点对称，则， 代入得， 因为，故②错误； 对于③，设， 则，故③错误； 对于④，若，则，设，， ，即， 则与在上有两个交点， 即，解得，故④错误. 所以有0个命题正确. 42．设函数（是常数，），若在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】求出的单调递减区间，利用正弦函数减区间公式推导，让目标区间包含于减区间，列不等式组，取求解不等式，得到. 【详解】函数，. 由正弦函数单调性，令，， 解得单调递减区间为，. 已知在上单调递减，故. 即，，即 当时(取)以代入得 既要大于等于又要小于等于,无交集,无解. 时,,不等式永远矛盾,无解. 当(取)以代入得 因为,而此处要求为负数,与矛盾,无解. 同理时,不可能满足. 所以取得，化简得. 综上，的取值范围是. 类型八 双曲线 43．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线的方程与双曲线（焦点）位置的特征、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 44．已知分别是双曲线的左、右焦点，双曲线的渐近线上有一点，满足且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据双曲线的性质，得出焦点坐标和渐近线方程，进而得出向量坐标，结合且，构造方程组求出，联立渐近线方程得出，进而求出，从而求出双曲线的方程． 【详解】 双曲线的左焦点，渐近线为， 向量， ①， ②， 联立①②得，， 解得或（，舍去）， ，即， 代入①得， 在渐近线上， ，解得， ，解得，， 双曲线的方程为． 45．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求双曲线的标准方程、已知点到直线距离求参数、余弦定理解三角形 【分析】由得，中有，中有，可得，结合，解得，可得双曲线的方程. 【详解】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示，    由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 46．设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意，设直线的方程为，求得，由，求得 ，进而求得双曲线的离心率. 【详解】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 47．已知双曲线的一个焦点为，且的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点），则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据等边三角形的内角特征推导渐近线斜率，再结合双曲线的关系求解离心率. 【详解】由的渐近线上存在一点，使为等边三角形（O为原点）， 则渐近线的斜率为， 所以双曲线的离心率为. 48．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 类型九 空间点线面的位置关系及表面积体积 49．若m，n为两条直线，α为一个平面，则下列结论中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则m与n相交 【答案】C 【知识点】异面直线的概念及辨析、线面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直、线面平行的性质 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断可得答案. 【详解】对于A，B，若，则m与n可能平行、相交或异面，故A，B错误； 对于C，D，若，，则，且m与n可能相交，也可能异面，故C正确，D错误． 50．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断 【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 51．已知直线，，平面，，则的一个充分条件是（    ） A．， B．， C．， D．，， 【答案】D 【知识点】判断命题的充分不必要条件、线面关系有关命题的判断、判断线面平行 【分析】根据空间直线与平面的位置关系和线面平行的判定定理与性质定理判断. 【详解】对于A：若，，则或，不一定，A错误； 对于B：若，，则或，不一定，B错误； 对于C：若，，则或，不一定，C错误； 对于D：若，过作平面，设，则，又，所以， 又，，所以，D正确. 52．已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（        ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明面面平行 【详解】对于A，当为一正方体共点的三条棱所在直线时，满足，而，A错误； 对于B，当，时，满足，而相交，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，当，既不在平面内，也不在平面内时，满足，而相交，错误. 53．如图，在正四面体中，放置1大、4小共个球，其中，大球为正四面体的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体的体积为，则个球的体积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】组合体的切接问题、锥体体积的有关计算、球的体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、小内切于正四面体的高，求出对应的球半径及体积即可. 【详解】在正四面体中，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，延长线交于，连接， 则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，， 由正四面体的体积为，得，解得， 由，解得， 则，最大球半径， 因此最大球的体积为； 小球也可看作一个小的正四面体的内切球，则小正四面体的高， 因此最小球半径， 因此最小球的体积为，所以5个球的体积之和为. 54．今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底长4米，腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（   ） A．168 B．192 C．216 D．240 【答案】C 【知识点】锥体体积的有关计算 【分析】根据题意可得梯形的高（即几何体的高）为，利用长方体的体积减去四个三棱锥的体积即可求解. 【详解】将原图形补全为长方体，如下图： 因为侧面为等腰梯形，上底长米，下底长米，腰长米， 所以梯形的高（即几何体的高）为：米 所以长方体下底面长米、宽米，高为米，体积立方米； 由于每个三棱锥的底面为直角三角形，直角边分别为：米，米， 所以每个三棱锥的体积为：立方米， 4 个三棱锥总体积：立方米 所以该纪念碑基座的体积为立方米 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $