模块3 三角函数与解三角形-2026届高考二轮复习核心模块讲义

该高中数学讲义聚焦三角函数与解三角形高考核心模块，涵盖三角函数图象性质、三角恒等变换、正余弦定理及应用等考点，按“公式-图象-性质-应用”逻辑架构知识体系。通过考情分析明确方向，重难知识梳理基础，解题技巧指导方法，真题训练强化应用，助力学生系统突破难点。 资料以真题为导向设计分层教学，如解三角形最值问题采用函数法转化角函数、基本不等式建立等量关系，培养数学思维与模型观念。设置11个考点专项训练，配合详细解析，帮助学生高效掌握解题策略，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

数学·核心模块讲义 三角函数与解三角形 模块三 考情分析 高考考查三角函数的命题点主要有三个方面：（1）三角函数的图象及应用；（2）三角函数的性质及应用；（3）三角函数图象与性质的综合应用，有时也与三角恒等变换、平面向量、不等式等综合考查.多以选择题和填空题的形式出现，难度中等，多了解命题新角度、新综合以及三角函数模型的应用问题. 解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理解三角形和三角形面积公式的应用，一般解决三角形中求边、求角、求面积、求范围与证明等问题，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，一般考查数学运算和直观想象能力，难度属于中低档. 思维导航 重难知识 1.两角和与差的余弦公式 ，； 两角和与差的正弦公式 ，； 两角和与差的正切公式 ，. 2.二倍角的正弦公式 . 二倍角的余弦公式. 二倍角的正切公式 . 3.函数的图象与的图象的关系 函数的图象向左（或右）平移个单位长度，得到函数的图象；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数的图象. 4.辅助角公式 ，其中. 5.正弦定理 在中，角的对边分别为，则. 常见变形 （1）（边角互化）. （2）.其中，为外接圆的半径. （3）（边化角）. （4）（角化边）. 6.余弦定理 ，，. 推论：，，. 7.三角形的面积公式 （为外接圆的半径）. 解题技巧 1.应用三角恒等变换公式的策略 （1）使用三角函数公式时，要记住公式的结构特征和符号变化规律，如两角差的余弦公式可简记为“同名相乘，符号反”. （2）逆用公式时，要准确找出所给式子和公式的异同，创造条件逆用公式. （3）注意和差角和倍角公式的变形. （4）三角恒等变换常与同角三角函数基本关系、诱导公式等综合应用. 2.解决三角函数的图象变换问题的基本方法 （1）直接法：平移变换规则是“左加右减，上加下减”，并且在变换过程中只变换自变量x，如果x的系数不是1，那么要先把x的系数提取出来再确定平移的单位长度和方向. （2）方程思想法：可以把变换前后的两个函数变为同名函数，且x的系数变为一致，通过列方程求解. （3）数形结合法：平移变换的实质就是点的坐标的变换，横坐标的平移交换对应着图象的左右平移，纵坐标的平移变换对应着图象的上下平移，一般可选定变换前后的两个函数，的图象与x轴的交点（如图象上升时与x轴的交点），其分别为，（，），则由的值可判断出左右平移的情况，由的值可判断出上下平移的情况，由三角函数最小正周期的变化可判断出伸缩变换的情况. 3.利用三角函数处理物理学问题的策略 （1）常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性. （2）明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. 4.正、余弦定理判断三角形形状的方法 （1）角化边：通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系进行判断. （2）边化角：通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系进行判断. 5.解三角形中的最值（取值范围）问题的求解方法 （1）函数法：通过正、余弦定理将边转化为角，再根据三角恒等变换:及三角形内角和定理转化为“一角一函数”的形式，最后结合角的范围利用三角函数的单调性和值域求解， （2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面积公式建立，，之间 的等量关系与不等关系，然后利用基本不等式求解. （3）几何法：根据已知条件画出图形，结合图形，找出临界位置，数形结合求解. 6.利用正弦定理、余弦定理解三角形的步骤 （1）找条件.寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向. （2）定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，进行边角之间的转化. （3）求结果，根据前两步的分析，代入求值得出结果. （4）反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性. 真题链接 考点01 三角函数的周期 1．[2024年 新课标Ⅰ卷]当时，曲线与的交点个数为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 考点02 三角函数的对称性 2．[2025年 全国一卷]已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为( ) A. B. C. D. 考点03 三角函数的值域(最值) 3．[2025年 全国一卷]（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在，使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值. 考点04 三角函数的性质综合 4．[2024年 新课标Ⅱ卷]（多选）对于函数和，下列说法中正确的有( ) A.与有相同的零点 B.与有相同的最大值 C.与有相同的最小正周期 D.与的图象有相同的对称轴 5．[2025年 全国二卷]已知函数，. （1）求； （2）设函数，求值域和单调区间. 考点05 三角函数的图象变换 6．[2023年 新课标Ⅰ卷]已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是___________. 考点06 由三角函数图象确定解析式 7．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知函数，如图，A，B是直线与曲线的两个交点，若，则_________. 考点07 和差角公式的应用 8．[2024年 新课标Ⅰ卷]已知，，则( ) A. B. C. D.3m 9．[2025年 全国二卷]已知，，则( ) A. B. C. D. 10．[2024年 新课标Ⅱ卷]已知为第一象限角，为第三象限角，，，则__________. 考点08 二倍角公式的应用 11．[2023年 新课标Ⅱ卷]已知为锐角，，则( ) A. B. C. D. 考点09 利用正余弦定理解三角形 12．[2025年 全国一卷]（多选）已知的面积为，，，则( ) A. B. C. D. 13．[2025年 全国二卷]在中，，，，则( ) A. B. C. D. 考点10 三角形的面积问题 14．[2024年 新课标Ⅰ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求B； （2）若的面积为，求c. 考点11 三角形的周长问题 15．[2024年 新课标Ⅱ卷]记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求A； （2）若，，求的周长. 参考答案与解析 1．答案：C 解析：因为函数的最小正周期，所以函数在上的图象恰好是三个周期的图象，所以作出函数与在上的图象如图所示， 由图可知，这两个图象共有6个交点，故选C. 2．答案：B 解析：令，，得，，故的图象的对称中心为，，由题意知，，其最小值为.故选B. 3．答案：（1） （2）证明见解析 （3） 解析：（1）解法一：因为， 所以. 令，得，又，所以或， 所以或， 所以x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. 解法二：因为， 所以. ， 易得当时，，令，得，令，得. 所以x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. 解法三：由题得， 由，得，故x，，的关系如表所示： x 0 0 大于0 0 小于0 单调递增 极大值 单调递减 因为， 所以函数在区间的最大值为. （2）解法一：因为余弦函数的周期为，所以不妨设， 当时，，则，此时存在，使得； 当时，， 作出余弦函数的大致图象（如图所示）， 所以， 只需要取，即可得到. 综上可得，给定和，存在使得. 解法二：假设对任意恒成立， 由得，，这与，任意矛盾， 所以假设不正确，故一定存在使得. 解法三：因为， 所以与中必有一个小于等于. 否则，，这与矛盾. 所以一定存在或，使得， 所以对于给定和，存在使得. （3）令，当时，因为，， 所以为偶函数，且为的周期，所以讨论在上的情况， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，结合对称性，及，可知时，所以此时b的最小值为. 要证为b的最小值，对于任意的，只需要证明的最大值不小于， 只需要证明存在，使得. 当时，令，则. 由（2）可知，取，，可得存在使得， 所以， 综上可得，. 4．答案：BC 解析：对于A，令，则，，又，故A错误； 对于B，与的最大值都为1，故B正确； 对于C，与的最小正周期都为，故C正确； 对于D，图象的对称轴方程为，，即，，图象的对称轴方程为，，即，，故与的图象的对称轴不相同，故D错误.故选BC. 5．答案：（1） （2）的值域为；单调递增区间为，单调递减区间为 解析：（1）因为，且，所以. （2） . 因为余弦函数的值域是，令， 那么函数的值域就是，所以的值域为. 易知余弦函数在上单调递增， 令，得， 所以的单调递增区间为. 易知余弦函数在上单调递减， 令，得， 所以的单调递减区间为. 6．答案： 解析：函数在区间有且仅有3个零点，即在区间有且仅有3个根，因为，，所以，则由余弦函数的图象可知，，解得，即的取值范围是. 7．答案： 解析：对比正弦函数的图象易知，点为“五点（画图）法”中的第五点，所以①.由题知，，两式相减，得，即，解得.代入①，得，所以. 8．答案：A 解析：由得①.由得②，由①②得，所以，故选A. 9．答案：D 解析：，因为，所以，所以. 10．答案： 解析：由题知，即，又，可得.由，，，，得，.又，所以是第四象限角，故. 11．答案：D 解析：法一：由题意，，得，又为锐角，所以，所以，故选D. 法二：由题意，，得，将选项逐个代入验证可知D选项满足，故选D. 12．答案：ABC 解析：A（√），所以. B（√）令，，，则（R为的外接圆半径），由，得.若，则为锐角三角形，则，即，则，所以，矛盾.故，即，所以，又，所以.因为，所以，所以，所以，所以. C（√），所以. 错误项分析：D（×）. 故选ABC. 13．答案：A 解析：方法一：，因为，所以. 方法二：因为，，所以A为最小角，所以，排除B，C，D，故选A. 14．答案：（1） （2） 解析：（1）由余弦定理得， 又，. ，， 又，. （2）由（1）得， 由正弦定理，得，. 的面积，得. 15．答案：（1） （2） 解析：（1）法一：由，得， 所以. 因为，所以， 所以，故. 法二：由，得， 两边同时平方，得， 则， 整理，得， 所以，则. 因为，所以或. 当时，成立，符合条件； 当时，不成立，不符合条件. 故. 法三：由，得， 两边同时平方，得， 则， 整理，得， 所以，则. 因为，所以. （2）由，得， 由正弦定理，得，所以， 因为，所以. ， 所以 . 法一：由正弦定理，得， . 所以的周长为. 法二：由正弦定理， 得， 所以， 所以的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $