精品解析：上海科技大学附属学校2025-2026学年第二学期期中测评 七年级数学学科 A层

上海科技大学附属学校2025-2026学年第二学期期中测评 七年级数学学科A层 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定，三角形内角和定理，能熟记等边三角形的判定定理是解此题的关键． 根据等边三角形的判定定理可得出答案． 【详解】解：A、， ， 不能说明为等边三角形， 故A不符合题意； B、，， 是等边三角形， 故B符合题意； C、， ， 不一定是等边三角形， 故C不符合题意； D、， 不一定是等边三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的概念和三角形三边关系，解题的关键是分两种情况进行求解． 分两种情况讨论：当腰为5时和当腰为10时，利用三角形三边关系，判断是否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形一边长为5，另一边长为10， ∴有两种情况： ①当腰为5时，底为10，则，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形； ②当腰为10时，底为5，则，满足三角形三边关系，能构成三角形， 周长为， 故选：C． 3. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理得，由作法可知，是的平分线，得，由作法可知，是线段的垂直平分线，得，再由三角形外角定理即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可知，是的平分线， ∴， 由作法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． 4. 如图，在中，已知，是的中线，如果，那么以下结论中，错误的是（ ） A. B. C. 的面积是面积的一半 D. 的周长是周长的一半 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可判定A和B正确，结合即可判定C正确，而D错误． 【详解】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的中线， ∴，，， ∴， 即， ∵， ∴， 故A，B，C正确， 的周长为：， 的周长为：， ∴，则D选择错误． 故选：D． 5. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，三角形外角的性质，A、B两个选项都可以利用证明全等，C选项中，先证明，再利用即可证明两个三角形全等，D选项中，根据现有条件不能证明两个三角形全等． 【详解】解：A、如图所示，∵， ∴，故A不符合题意； B、如图所示，∵， ∴，故B不符合题意； C、如图所示，∵，， ∴， 又∵， ∴，故C不符合题意； D、如图所示，同理可得，但是不是对应边，故不能证明两个三角形全等，故D符合题意； 故选：D． 6. 如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ） A. 直线是线段的垂直平分线 B. C. 是等边三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三线合一即可判断A；利用等边对等角得，，则，即可判断B；证明且，即可证得是等边三角形；从而判断C；证明，则，，即可判断D选项． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴直线是线段的垂直平分线，故A正确； 如图所示，连接， ，， ， ， ， ，， ，故B正确， ， ， ， ， ， 是等边三角形．故C正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，故D错误． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 比较大小：4______．（填“>”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】本题利用平方法比较两个正实数的大小，分别计算两数的平方，通过比较平方的大小得到两数的大小关系，再结合不等式的性质即可得出结果． 【详解】因为，，， 所以， 所以， 所以． 8. 如图，两个三角形全等，则的度数是______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等，  对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角，  的度数是． 9. 若，，则______． 【答案】54.77 【解析】 【分析】根据二次根式的性质把进行化简，再把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵=5.477， ∴=10 =54.77， 故答案为：54.77． 【点睛】本题考查的是算术平方根的性质和二次根式的化简，掌握一个非负数的正的平方根是这个数的算术平方根和二次根式的性质是解题的关键． 10. 如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查实数的性质，算术平方根的非负性，求一个数的立方根，根据互为相反数的两个数和为0，结合算术平方根的非负性求出的值，进而求出的立方根即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根为； 故答案为：2． 11. 2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将小数写成的形式，其中，n为负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 大于且小于的整数的和是___________． 【答案】 2 【解析】 【分析】本题主要考查无理数的估算、有理数的加法，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 先估算 和 ，确定符合条件的整数，再求和． 【详解】∵ ，， ∴大于 且小于 的整数有 ， ∴这些整数的和为 ． 故答案为： 2． 13. 一个正数的平方根是与，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正数的平方根互为相反数列方程求出的值，进而求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵一个正数的平方根是与， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴． 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论． 要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ，，为高，即， 此时， ∴， 若三角形为钝角三角形时，如图，，，为高，即， 此时， 综上，等腰三角形的顶角的度数为或． 故答案为：或． 15. 如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质、三角形周长等知识，根据中垂线性质得到，，结合三角形周长列式求解即可得到答案，根据周长得到线段之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ，， 与的周长分别为和， ；， ， ， 故答案为：4． 16. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有________．（只填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质及全等三角形的判定和性质、三角形中大角对大边依次进行判断证明即可． 【详解】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中 ， ∴△ACE≌△DCB（SAS）； ∴①正确； ∵∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCE=180°-60°-60°=60°=∠ACD， ∵△ACE≌△DCB， ∴∠NDC=∠CAM， 在△ACM和△DCN中 ， ∴△ACM≌△DCN（ASA）， ∴CM=CN，AM=DN， ∴②正确； ∵△ADC是等边三角形， ∴AC=AD， ∠ADC=∠ACD， ∵∠AMC＞∠ADC， ∴∠AMC＞∠ACD， ∴AC＞AM， 即AC＞DN， ∴③错误； ∵∠DBC+∠CDB=60°，∠DAE+∠EAC=60°，而∠EAC=∠CDB， ∴∠DAE=∠DBC，④正确， 故答案为①②④． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质；熟练掌握等边三角形的性质，能够用全等求解边相等，角相等是解题的关键． 17. 如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了与三角形的高有关的面积计算，添加适当的辅助线，根据题意得出是解此题的关键．连接，，根据D为中点，得出，从而得出，根据三角形面积得出，从而得出，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，连接，， ， D为中点， ∴， ∴， ∵，， ， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 故答案为：． 18. 用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 __．（至少写出两种情况） 【答案】22.5°或18°或36°或45° 【解析】 【分析】根据“闪亮分割”的定义，画出图形，共分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC；③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD；④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC；根据角度的数量关系求解最小的内角即可． 【详解】解：由题意知，共分为4种情况：①当这个三角形如图1所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC， 设∠B＝x且为最小的内角，则，， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴， 解得， ∴△ABC中最小内角为22.5°； ②当这个三角形如图2所示时，AD⊥BC且将△ABC分成直角三角形ABD和等腰三角形ADC， 设∠BAD＝y且为中最小的内角，则由题意得，， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴， 解得y＝22.5°， ∴△ABC中最小内角为； ③当这个三角形如图3所示时，AD⊥AC于点A且将△ABC分成直角三角形ADC和等腰三角形ABD， 设∠C＝z且为中最小的内角，则由题意得∠B＝∠BAD＝2z， ∵∠B+∠BAC+∠C＝180°， ∴， 解得z＝18°， ∴△ABC中最小内角为18°； ④当这个三角形如图4所示时，∠A＝90°，CD将△ABC分成等腰△BCD和直角三角形ADC， 设∠ACD＝m且为中最小的内角，则由题意可得∠B＝∠DCB＝2m， ∵∠B+∠BCA＝90°， ∴2m+3m＝90°， 解得m＝18°， ∴△ABC中最小内角为． 综上所述，可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是22.5°或18°或36°或45°． 故答案为：22.5°或18°或36°或45°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质．理解题意画出图形并分类讨论做到不漏解是解题的关键． 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 若，是有理数，且满足． （1）求，的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题先将等式整理，分离出有理部分和含的无理部分，根据，是有理数，利用有理部分、无理部分对应系数相等列二元一次方程组，求解得到，的值，再计算的平方根即可． 【小问1详解】 解：， 即， 即， 因为是有理数，是无理数， 因此等式两边对应系数相等，可得： 把代入， 得， 解得 即 【小问2详解】 把 代入得： 因为， 所以的平方根为，即的平方根为． 20. 已知，是9的算术平方根，的立方根是． （1）求，，的值； （2）若，求的立方根． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解； （2）先根据确定a的值，进而求出的值，再求立方根即可． 【小问1详解】 解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是， 所以， 所以． 【小问2详解】 解：因为，， 所以， 所以． 所以的立方根是． 21. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用尺规作垂直平分的方法求解即可； （2）由（1）得，垂直平分，得到，，然后得到，推出，等量代换得到，即可证明． 【小问1详解】 如图所示， 【小问2详解】 由（1）得，垂直平分 ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【点睛】此题考查了尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先根据题意和平行线的性质得到，，，然后证明即可； （2）首先得到，，然后由全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：∵E是边的中点， ∴ ∵ ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵E是边的中点，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 23. 如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质和三角形中角与边的关系，在上截取，连接，证明，再证明即可得出结论． 【详解】证明：在上截取，连接，如图， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24. 在中，，，平分，交于点．点与点关于直线对称，连接，，延长交于点． （1）补全图形； （2）求证：是等腰三角形； （3）求证：． 【答案】（1）见详解 （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）由，是的平分线，可得，即得，根据点A与点E关于直线对称，可得，故，从而是等腰三角形； （3）过D作于K，证明，得，又，可得是等腰直角三角形，，即知，而，有，故． 【小问1详解】 解：补全图形如下： 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵点A与点E关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰三角形； 【小问3详解】 证明：过D作于K，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，角平分线等知识，解题的关键是掌握对称的性质，能熟练应用全等三角形的判定与性质定理． 25. 已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． （1）如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； （2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 【答案】（1）①；②为等边三角形，见解析 （2）的度数为或． 【解析】 【分析】（1）①根据，得，则，进而得，再根据，得，进而得，然后根据，得，由此可得的度数； ②根据平分，设，则，根据得，根据得，则，，再根据三角形内角和定理得，则，进而得，，，由此可判定的形状； （2）分两种情况讨论如下：①当直线与线段交于点时，设，则，，再根据得，再根据三角形内角和定理得，则，②当直线与的延长线交于点时，设，则，再求出，得，根据得，再根据三角形内角和定理得，则，综上所述即可得出的度数． 【小问1详解】 解：①在中，，， ， ， 又， ， ，， ， 在中，，， ； ②为等边三角形，理由如下： 如图1所示： 平分， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， 在中，，， ， ，， 在中，， ， ，，， 为等边三角形； 【小问2详解】 解：的度数为或，理由如下： 直线与直线相交于点，且是以为腰的等腰三角形， 有以下两种情况： ①当直线与线段交于点时，如图2①所示： 设， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 即， ②当直线与的延长线交于点时，如图2②所示： 设， ， ， 是以为腰的等腰三角形，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 综上所述：的度数为或． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海科技大学附属学校2025-2026学年第二学期期中测评 七年级数学学科A层 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 下列条件中，能说明为等边三角形的是（ ） A. B. ， C. D. 2. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为（　　） A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或25 3. 如图，中，，，请依据尺规作图的作图痕迹，计算（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，已知，是的中线，如果，那么以下结论中，错误的是（ ） A. B. C. 的面积是面积的一半 D. 的周长是周长的一半 5. 在中，，将沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知是等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，则以下结论错误的是（ ） A. 直线是线段的垂直平分线 B. C. 是等边三角形 D. 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 比较大小：4______．（填“>”或“<”） 8. 如图，两个三角形全等，则的度数是______ 9. 若，，则______． 10. 如果和互为相反数，那么的立方根是___________． 11. 2025年3月，中科院宣布一项足以载入半导体史册的重大突破——我国科研团队成功研发出全球首台全固态深紫外（）激光光源系统，理论上可支撑芯片制造工艺．已知，则用科学记数法表示为________． 12. 大于且小于的整数的和是___________． 13. 一个正数的平方根是与，则的值是______． 14. 如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该三角形的顶角的度数为__________． 15. 如图，是中边的垂直平分线，已知与的周长分别为和，则的长为______． 16. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC．其中正确的有________．（只填序号） 17. 如图，在中，，D为中点，过点D作，，E为上一点，过点E作，，，则________． 18. 用一条线段可以把一个三角形分割成两个三角形，如果分得的两个小三角形中一个为直角三角形，另一个为等腰三角形，且分得的直角三角形的最小内角的大小是等腰三角形底角大小的一半，我们说这个三角形可以“闪亮分割”．那么可以“闪亮分割”的三角形的最小内角的大小可以是 __．（至少写出两种情况） 三、解答题（本大题共8题，满分58分） 19. 若，是有理数，且满足． （1）求，的值； （2）求的平方根． 20. 已知，是9的算术平方根，的立方根是． （1）求，，的值； （2）若，求的立方根． 21. 已知，如图，，相交于点，且． （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，交的延长线于点，交于点；（保留作图痕迹，不写做法，作图请用黑色字迹的笔描黑） （2）若，求证： 22. 如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F． （1）证明：； （2）若，，，求的长． 23. 如图，已知在中，，平分，点E为边上任意一点（不与A、C重合），连接交于点F．求证：． 24. 在中，，，平分，交于点．点与点关于直线对称，连接，，延长交于点． （1）补全图形； （2）求证：是等腰三角形； （3）求证：． 25. 已知在中，，，点是平面内一点，连接、、，． （1）如图1，点在的内部． ①当，求的度数； ②当平分，判断的形状，并说明理由； （2）如果直线与直线相交于点，如果是以为腰的等腰三角形，求的度数（直接写出答案）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $