奥数：第7讲 巧求面积（讲义）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

【人教版】小学六年级上数学奥数：第7讲 巧求面积 一、核心知识 巧求面积的核心是利用图形的基本性质和转化思想，将不规则图形转化为规则图形的面积和差。 1. 三角形面积性质 等高三角形：面积比等于对应底边长之比 等底三角形：面积比等于对应高之比 2. 共角定理（鸟头定理）：两个三角形有一个角相等或互补，面积比等于夹这个角的两边乘积之比 3. 圆与正方形组合面积公式 外方内圆（正方形内接最大圆）：面积差 = 正方形面积 - 圆面积 = （为圆半径） 外圆内方（圆内接最大正方形）：面积差 = 圆面积 - 正方形面积 = （为圆半径） 4. 扇形面积公式：（为圆心角度数） 5. 常用方法：割补法、平移法、旋转法、容斥原理（重叠面积）、整体减空白法 二、经典例题 例 1 如图，直角三角形 ABC 中，AD=DB=4.5 厘米，AE=AC=3 厘米，求四边形 DBCE 的面积。 解答： 在△ADE 与△ABC 中： AD=DB ⇒ AD=AB AE=AC ∠A 为公共角 根据共角定理： 因此： 先求△ABC 的面积： AC = 3 ÷ = 9 厘米 AB = 4.5 × 2 = 9 厘米 最终： 答案： 平方厘米 例 2 如图，三角形被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，图中数字为相应线段长度，求两部分的面积之比。 解答： 已知 AE=1，CE=2 ⇒ AC=3=CE 已知 CD=1，DB=3 ⇒ BC=4=4CD △ABC 与△CDE 共角∠C，根据共角定理： 乙部分面积： 因此面积比： 答案：1:5 例 3 如图，在△ABC 中，AD=AB，BE=EF=FC，CG=GA，求阴影部分面积占三角形 ABC 面积的几分之几？ 解答：根据共角定理分别计算三个空白三角形的面积： △AGD：AG=AC，AD=AB ⇒ △BDE：BE=BC，BD=AB ⇒ △CFG：CF=BC，CG=AC ⇒ 空白总面积： 阴影面积： 答案： 例 4 如图，BD=BC，三角形 ABC 的面积是 48 平方厘米，AC=16 厘米，AE=11 厘米，三角形 DAE 的面积是多少？ 解答： △ADC 与△ABC 等高，DC=BC-BD=BC ⇒ △ADE 与△ADC 等高，AE=11 厘米，AC=16 厘米 ⇒ 代入计算： 答案：22 平方厘米 例 5 如图，已知：AE=AC，CD=BC，BF=AB，求三角形 DEF 的面积与三角形 ABC 的面积之比。 解答：先计算三个角上小三角形的面积： △AEF：AE=AC，AF=AB ⇒ △CDE：CD=BC，CE=AC ⇒ △BDF：BD=BC，BF=AB ⇒ △DEF 的面积： 因此面积比： 答案：61:120 例 6 如图，已知 ABCD 是长方形，，求三角形 ABE 与三角形 DEF 的面积之比。 解答： 已知 ，设长方形长为 3a，宽为 3b： · AE=a，ED=2a；CF=b，FD=2b · AB=CD=3b 计算两个三角形面积： 面积比： 答案：3:4 例 7 如图，把△ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D 点，AC 边延长 3 倍到 F 点，CB 边延长 2 倍到 E 点，连接 DE、EF、FD，得到△DEF。已知三角形 DEF 的面积为 54 平方厘米，求△ABC 的面积。 解答：根据共角定理计算三个外围三角形的面积： · △ADF：AD=AB，AF=4AC ⇒ · △BDE：BD=2AB，BE=2BC ⇒ · △CEF：CE=3BC，CF=3AC ⇒ △DEF 的总面积： 因此： 答案：3 平方厘米 例 8 如图，已知 S△ABC=1，AE=ED，BD=BC，求阴影部分的面积。 解答：连接 DF · 因为 AE=ED，所以 ， · 因此阴影面积 又因为 BD=BC ⇒ BD=2CD，所以： △ABC 的总面积： 因此： 答案： 例 9 如图，在△ABC 中，CD、AE、BF 分别为 BC、AC、AB 长的，求 S△N1N2N3 与 S△ABC 之比。 解答：设 ，，， 根据题意： 三个三角形面积和： 因此： 连接 CN2，推导得： 解得： 同理可得 ，因此： 面积比： 答案：1:7 三、拔高例题（小升初高频） 拔高例 1（外方内圆面积差） 在一个边长为 10 厘米的正方形内画一个最大的圆，求正方形与圆的面积差。（π 取 3.14） 解答： 正方形边长 = 圆的直径 = 10 厘米 ⇒ 圆半径厘米 正方形面积： 平方厘米 圆面积： 平方厘米 面积差： 平方厘米 答案：21.5 平方厘米 拔高例 2（外圆内方面积差） 在一个直径为 8 厘米的圆内画一个最大的正方形，求圆与正方形的面积差。（π 取 3.14） 解答： 圆半径厘米 圆面积： 平方厘米 正方形对角线 = 圆直径 = 8 厘米，正方形面积 = 对角线 ²÷2 = 平方厘米 面积差： 平方厘米 答案：18.24 平方厘米 拔高例 3（扇形拼接・三角形内角和） 三个扇形的半径都是 2 厘米，圆心角分别是三角形的三个内角，求阴影部分的总面积。（π 取 3.14） 解答： 三角形内角和为 180°，因此三个扇形可以拼成一个圆心角为 180° 的半圆 半圆面积： 平方厘米 答案：6.28 平方厘米 拔高例 4（扇形与正方形・容斥原理） 如图，正方形边长为 4 厘米，分别以四个顶点为圆心，边长为半径画四个扇形，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 解答： 四个扇形的圆心角都是 90°，合起来是一个整圆，半径=4厘米， 阴影面积 = 四个扇形面积和 - 正方形面积 = 平方厘米 答案：34.24 平方厘米 拔高例 5（旋转法求阴影面积） 如图，正方形 ABCD 边长为 6 厘米，分别以 A、C 为圆心，边长为半径画弧，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 解答： 将阴影部分绕正方形中心旋转 180°，可以拼成两个半径为 6 厘米的四分之一圆减去正方形的一半 阴影面积： 平方厘米 答案：38.52 平方厘米 拔高例 6（平移法求阴影面积） 如图，长方形长 10 厘米，宽 6 厘米，两个扇形的半径分别为 6 厘米和 4 厘米，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 解答： 将右侧阴影部分向左平移，与左侧阴影部分拼成一个半径为 6 厘米的四分之一圆 阴影面积： 平方厘米 答案：28.26 平方厘米 拔高例 7（扇形拼接・四边形内角和） 四个扇形的半径都是 3 厘米，圆心角分别是四边形的四个内角，求阴影部分的总面积。（π 取 3.14） 解答： 四边形内角和为 360°，因此四个扇形可以拼成一个整圆 圆面积： 平方厘米 答案：28.26 平方厘米 拔高例 8（复杂组合・整体减空白） 如图，大圆半径为 6 厘米，两个小圆的直径都是 6 厘米，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 解答： 将两个小圆重叠部分割补到空白处，阴影面积等于大圆面积的一半 阴影面积： 平方厘米 答案：56.52 平方厘米 四、巩固练习题 1. 正方形 ABCD 边长为 6 厘米，E 是 AD 中点，F 是 CE 中点，求△BDF 的面积。 2. 长方形 ABCD 中，AB=8 厘米，BC=6 厘米，E 是 AB 中点，F 是 BC 中点，连接 AF、CE 交于 G，求阴影部分面积。 3. 三角形 ABC 中，D 是 AB 中点，E 是 AC 三等分点，F 是 BC 四等分点，已知△ABC 面积为 24，求△DEF 的面积。 4. 两个正方形边长分别为 6 厘米和 4 厘米，求阴影部分（大正方形内除小正方形外的三角形）的面积。 5. 三角形 ABC 中，AD:DB=2:3，BE:EC=3:4，CF:FA=4:5，求△DEF 与△ABC 的面积比。 五、拔高练习题 1. 在一个边长为 12 厘米的正方形内画一个最大的圆，求圆的面积比正方形少百分之几？（π 取 3.14） 2. 在一个周长为 25.12 厘米的圆内画一个最大的正方形，求正方形的面积。（π 取 3.14） 3. 三个扇形的半径都是 3 厘米，圆心角分别为 40°、60°、80°，求这三个扇形的面积和。（π 取 3.14） 4. 正方形边长为 6 厘米，分别以相邻两个顶点为圆心，边长为半径画两个扇形，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 5. 直角三角形 ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4 厘米，分别以 A、B 为圆心，4 厘米为半径画弧，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 6. 长方形长 8 厘米，宽 4 厘米，以长为直径画一个半圆，求阴影部分（半圆与长方形重叠部分外的区域）的面积。（π 取 3.14） 7. 四个扇形的半径都是 2 厘米，圆心角分别为 90°、100°、110°、60°，求这四个扇形的面积和。（π 取 3.14） 8. 大圆半径为 8 厘米，三个小圆的直径都是 8 厘米，求阴影部分的面积。（π 取 3.14） 六、参考答案 巩固练习参考答案 1. 解答：正方形面积 = 6×6=36 平方厘米 E 是 AD 中点，CE 中点 F，连接 BE 平方厘米 ⇒ 平方厘米 平方厘米 平方厘米 平方厘米 答案：4.5 平方厘米 2. 解答：长方形面积 = 8×6=48 平方厘米 连接 BG，设， E、F 是中点，所以平方厘米 列方程得，两个三角形重叠部分面积为x+y=8平方厘米， 阴影面积 = 48-12-12+8=32 平方厘米 答案：32 平方厘米 3. 解答： 答案：7 4. 解答：阴影部分是底为 6 厘米，高为 6+4=10 厘米的三角形 面积 =平方厘米 答案：30 平方厘米 5. 解答：利用共角定理（鸟头定理） 分别计算三个角上的三角形面积： 面积比 = 28:105=4:15 答案：4:15 拔高练习参考答案 1. 解答：正方形面积 = 12×12=144 平方厘米 圆面积 = 3.14×6²=113.04 平方厘米 减少百分比 =(144-113.04)÷144×100%=21.5% 答案：21.5% 2. 解答：圆直径 = 25.12÷3.14=8 厘米 正方形面积 = 8×8÷2=32 平方厘米 答案：32 平方厘米 3. 解答：圆心角和 = 40+60+80=180° 面积和 = 3.14×3²×(180/360)=14.13 平方厘米 答案：14.13 平方厘米 4. 解答：阴影面积 = 两个扇形面积和 - 正方形面积 =2×(3.14×6²×90/360) - 6×6 =56.52-36=20.52 平方厘米 答案：20.52 平方厘米 5. 解答：阴影面积 = 两个扇形面积和 - 三角形面积 =2×(3.14×4²×45/360) - (4×4÷2) =12.56-8=4.56 平方厘米 答案：4.56 平方厘米 6. 解答：阴影面积 = 长方形面积 - 半圆面积 =8×4 - (3.14×4²÷2) =32-25.12=6.88 平方厘米 答案：6.88 平方厘米 7. 解答：圆心角和 = 90+100+110+60=360° 面积和 = 3.14×2²=12.56 平方厘米 答案：12.56 平方厘米 8. 解答：阴影面积 = 大圆面积的一半 =3.14×8²÷2=100.48 平方厘米 答案：100.48 平方厘米 学科网（北京）股份有限公司 $