内蒙古自治区呼和浩特市北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十二）数学学科

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十二) 数 学 学科 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.中国是历史上最早认识和使用负数的国家.若冰箱冷藏室的温度为零上4C,记作+4℃，则冷冻室的温 度为零下18C,可记作() A.+18C B.-18C C.+14C D.-14C 2.若式子2有意义，则x的取值范围是( A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0C.x≤-2 D.x≥2 3.若反比例函数y=k≠0)的图象经过点(2，-3)，则该函数的图象分别位于( ) A.第一、三象限 B.第一、四象限C.第二、三象限 D.第二、四象限 4如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,点B为劣弧AC的中点，连接OA,OB, 若∠AOB=65°，则∠D的度数为( A.65 B.25° C.115° D.55° 5.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间 后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家 的路程y(k)与小华离家时间xh)的函数图象.已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华 早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是() y (km) A.小华的速度是20km/h B.爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y=60x一80 C.爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D.小华家到植物园的距离是28km 0 0.5 x(h) 6.反比例函数y=的图象上有Pt,y1),Q(t+4,y2)两点.下列正确的选项是() A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2 D.当t>0时，0<y1<y2 第1页，共4页 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车在海底隧道和主桥上 行驶的平均速度分别为72kmh和92km/h,若汽车通过海底隧道需要a小时，通过主桥需要b小时，则主 桥和海底隧道的长度和用代数式表示为 千米。 8.竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在 一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为18cm的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽（接缝处忽 略不计).若圆锥形竹帽的底面圆的半径为10cm,则这张扇形竹篾的圆心角的度数为 9.如图，矩形OABC的边OA=1,OC=2,点E是边AB上的一个动点（不与点A,B重合），过点E的反比 例函数y=(x>O)的图象与边BC交于点E.当四边形AOFE的面积最大时，FC的长度为 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥ AB,垂足为F,连接DE,若CE=AF,则DE的长为· 单位：cm D B E 0 第8题图 第9题图 第10题图 三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.(本小题10分)计算： (1)W(-2+(m-3.14)°+()： 21+)÷2型 x2-x1 第2页，共4页 12.(本小题20分) 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上，以AE为直径的 ⊙O经过点D (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=5,求阴影部分的面积. B C 第3页，共4页 13.(本小题20分) 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片 美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成 YA G B 0 图1 图2 图3 图4 【探究一】确定心形叶片的形状 ()如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y=ax2+bx图象的一 部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为(2，一1)且与x轴的另一交点为C,求C点坐标及抛物线的解 析式： 【探究二】研究心形叶片的尺寸 (2)如图3，在(1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A,B两点，点C,C,是叶 片上的一对对称点，线段CC,交直线AB于点G证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC,的长度： 【探究三】探究幼苗叶片的特征 (3)小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数y=x2图象的 一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为(4,4)， 在右侧上方轮廓线上任取一点M,过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N,求MN的最大值. 第4页，共4页 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十二） 数 学 学 科 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国是历史上最早认识和使用负数的国家．若冰箱冷藏室的温度为零上，记作，则冷冻室的温度为零下，可记作    ． A. B. C. D. 2.若式子有意义，则的取值范围是(     ) A. B. 且 C. D. 3.若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象分别位于(     ) A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 4.如图所示，四边形内接于，点为劣弧的中点，连接，， 若，则的度数为(     ) A. B. C. D. 5.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家小时分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的倍，若爸爸比小华早分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是(     ) A. 小华的速度是 B. 爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的函数表达式： C. 爸爸在出发分钟后与小华相遇 D. 小华家到植物园的距离是 6.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，若汽车通过海底隧道需要小时，通过主桥需要小时，则主桥和海底隧道的长度和用代数式表示为        千米． 8.竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽接缝处忽略不计若圆锥形竹帽的底面圆的半径为，则这张扇形竹篾的圆心角的度数为            9.如图，矩形的边，点是边上的一个动点不与点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点当四边形的面积最大时，的长度为           ． 10.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为        ． 第8题图 第9题图 第10题图 三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分计算： ； ． 12.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． 求证：是的切线； 若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 13.本小题分 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘图是一片美丽的心形叶片，图是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 如图建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点坐标为且与轴的另一交点为求点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 如图，在的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，点，是叶片上的一对对称点，线段交直线于点证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十二) 数学学科答案解析 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.中国是历史上最早认识和使用负数的国家.若冰箱冷藏室的温度为零上4℃，记作+4℃，则冷冻室的温 度为零下18℃，可记作(). A.+18C B.-18C C.+14℃ D.-14C 【答案】B 【解析】解：由题意可知，零下18℃可记作-18℃. 2.若式子型有意义，则x的取值范围是() A.x≥-2 B.x≥-2且x≠0C.x≤-2 D.x≥2 【答案】B 【解析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零求解即可. 【详解】解：式子有意义， x+2≥0且x≠0， 解得x≥-2且x≠0. 3.若反比例函数y=“k≠0)的图象经过点(2，一3)，则该函数的图象分别位于() A.第一、三象限 B.第一、四象限C.第二、三象限D.第二、四象限 【答案】D 【解析】根据题意得出k=一6<0，进而根据反比例函数的性质即可求解. 【详解】解：函数y-的图象经过点(2，-3)， ∴k=2×(-3)=-6<0, 函数y=的图象位于第二、四象限. 第1页，共12页 4.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,点B为劣弧AC的中点，连接OA,OB,若∠AOB=65,则∠D 的度数为() A.65° B.25° C.115° D.55 【答案】A 【解析】根据点B为劣弧AC的中点，可得到∠B0C=∠A0B=65°，然后求出∠A0C的度数，最后根据圆心 角与同弧所对的圆周角的关系求出D的度数. 【详解】解：~点B是劣弧AC的中点， ..AB=BC, ∴.∠B0C=∠A0B=65°， ∠A0C=65°+65°=130°， 2D=A0C=2×130°=65 5.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发0.5小时后，因自行车损坏修理了一段时间 后，按原速前往植物园，小华离家1小时20分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家 的路程yk)与小华离家时间x)的函数图象.己知爸爸开车的速度是小华骑车速度的3倍，若爸爸比小华 早10分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是() y(km) 10 0.51 x(h) 3 A.小华的速度是20kmh B.爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的函数表达式：y=60x一80 第2页，共12页 C.爸爸在出发25分钟后与小华相遇 D.小华家到植物园的距离是28km 【答案】D 【解析】解：如图， y(km) 77 A B 10 : D 0.5 14 x(h) A:小华0.5h走了10km, 小华的速度为10÷0.5=20kmh,不合题意： B:爸爸开车的速度是3×20=60km/h, 爸爸离家的路程y与小华离家的时间x之间的关系为：y=60×(x-)=60x-80,不合题意： C:x≥1时，小华离家的路程y与小华离家的时间x之间的关系为：y=10+20区-1)=20x-10, 由图可知爸爸和小华在点F处相遇， 当20x-10=60x-80时， 解得x=子 子-音是h=25mim, 爸爸在出发25分钟后与小华相遇，不合题意； D:设家到植物园的路程为s,则品+0.5-（偏+克=碧 解得s=30km,符合题意. 故选：D 根据图象给出的信息逐项判断即可。 本题考查了一次函数的应用、函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键. 第3页，共12页 6反比例函数y=的图象上有Pt,y1),Qt+4,y)两点.下列正确的选项是() A.当t<-4时，y2<y1<0 B.当-4<t<0时，y2<y1<0 C.当-4<t<0时，0<y1<y2 D.当t>0时，0<y1<y2 【答案】A 【解析】~反比例函数y=中，k=4>0,此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限 内，y随x的增大而减小，当t<-4时，t+4<0,t<t+4,y2<y1<0,选项A正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车在海底隧道和主桥上 行驶的平均速度分别为72k/h和92km/h,若汽车通过海底隧道需要a小时，通过主桥需要b小时，则主 桥和海底隧道的长度和用代数式表示为一千米。 【答案】(72a+92b) 【解析】解：已知，路程=速度×时间，汽车在海底隧道行驶的平均速度为72km/h,通过时间为a小时， 故海底隧道的长度为72a千米， 由题知，汽车在主桥上行驶的平均速度为92km小，通过时间为b小时， 故主桥的长度为92b千米， 所以，主桥和海底隧道的长度和为72a+92b千米， 故答案为：(72a+92b). 根据路程=速度×时间，分别求出海底隧道与主桥的长度，再求和即可得到总长度. 本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意正确列式 8竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在 一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为18c的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽（接缝处忽 略不计).若圆锥形竹帽的底面圆的半径为l0cm,则这张扇形竹篾的圆心角的度数为。 单位：cm 【答案】200 【解析】先求圆锥形竹帽的底面圆的周长，即扇形竹篾的弧长，再由弧长公式列方程求解即可。 第4页，共12页 【详解】解：由圆锥形竹帽的底面圆的半径为10cm,可得底面圆的周长为20πcm, 扇形竹篾的弧长为20πcm, 设这张扇形竹篾的圆心角的度数为x,则 360×2r×18=20m, 解得x=200°. 故答案为：200. 9.如图，矩形OABC的边OA=1,OC=2,点E是边AB上的一个动点（不与点A,B重合），过点E的反比 例函数y=(K>O)的图象与边BC交于点F当四边形AOFE的面积最大时，FC的长度为 B 【答案】月 【解析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关 键。 根据题意点E的纵坐标为1，点F的横坐标为2，则E(k1),F(久，)，由S四边形AOE=S矩形oABc-S.BEr- S。oc代入计算得到k=1,由此即可求解 【详解】解：四边形0ABC是矩形，0A=1,0C=2, ∴.0A=BC=1,0C=AB=2, .A(0,1),C(2,0),B(2,1), 过点E的反比例函数y=k(x>O)的图象与边BC交于点F, ∴点E的纵坐标为1，点F的横坐标为2， E(k.1),F(2) BE=2-kBF=1-克 ·S四边形AOrE=S矩形OABC-S.BEF-SOCr 1 1 =0A·0C- 2BE·BF- 0C·Fc 第5页，共12页 -1x22x2-的×（月Z×2×货 =-k-102+ ”0, 当k=1时，四边形A0FE的面积最大，最大值为， …c-是克 故答案为： 10.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=12,AC是一条对角线，E是AC 上一点，过点E作EF 1 AB,垂足为F,连接DE,若CE=AF,则DE的长 为 【答案】4W7 【解析】解：过点D作DH L AC, D E A F 夕 四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB=12, ∠ADC=∠ABC=60°菱形的对角相等)，AB=BC=CD=AD=12菱形的四条边相等)， ∴△ADC与△ABC是等边三角形， ∴AD=AC=CD=12,∠BAC=60°， AH-CH-AC-6, ..DH=VAD2-AH2 =V122-62=6V3, .EF 1 AB, ∴.∠AEF=30°， ∴.AE=2AF, CE=AF, ∴.AE=2CE, 第6页，共12页 AE=AC=8,EC=AC=, ∴HE=CH-CE=6-4=2, .DE=√DH2+HE2- (6V3)2+22=4√7， 故答案为：4v7. 根据菱形的性质可知△ADC与△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：DH=6√3，根据含 30°角的直角三角形的性质可知AE=2CE,可得：AE=8,EC=4,根据线段之间的关系可得：HE-2, 利用勾股定理即可求出DE的长度. 本题考查菱形，掌握菱形的性质是解题的关键 三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.(本小题10分)计算： (1)W（-2y+(m-3.14°+()1： 21+)÷型 x2-x 【解析】解：(1)(-2)2+(m-3.14)°+()1 .3分 =2+1+3 =6 5分 2 2+2x+1 21+x)÷ x2-x (+1)2 xK-1) =X1+2,xg-1) -lg+1y3分 x+1xK-1) x-1K+1) 5分 +1 (1)根据二次根式的性质、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算即可： (2)根据分式混合运算法则计算即可. 本题考查了实数的混合运算，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键 第7页，共12页 12.(本小题20分) 如图，在RtABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上，以AE为直径的 ⊙O经过点D B 0 (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若点F是劣弧AD的中点，且CE=5,求阴影部分的面积. 【答案】(1)证明：如图，连接OD, B D A E AD是∠BAC的平分线， .∠BAD=∠OAD .OA=OD, .∠OAD=∠ODA, .5分 ∴.∠ODA=∠BAD ∴.OD/AB, ∴.∠ODC=∠B=90°， OD为半径， ·BC是⊙O的切线： 10分 (2)解：如图2，连接OF交AD于H, 第8页，共12页 B D F E …OA=OF, ∴.∠OAF=∠OFA, F是劣弧AD的中点， .OF⊥AD,AH=DH,∠DOF=∠AOF, ,∠DOF=2∠DAF,∠OAD=∠DAF, ∴.∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA, ∠OAF+∠AOF+∠OFA=180°， ∴.∠DOF=∠OAF=∠AOF=∠OFA=60°， 由(1)知OD/AB, ∠COD=LOAF=60°， OE+CE' oD15分 ÷c0s60°=oD,即oD=1 解得，OD=5: ∠FHA=∠OHD,AH=DH,∠FAH=∠ODH, ∴.△FAH兰aODH(ASA), S△FAIH=S△ODH' ·S阴影=S用形D0r=0 360π≈25元 6 ÷阴影部分的面积为L .20分 【解析】 1.连接OD,根据角平分线定义，得∠BAD=∠OAD,可得LODA=∠BAD,得OD/IAB,得∠ODC= ∠B=90°，即得； 2.连接OF交AD于H,根据垂径定理推论得OF L AD,AH=DH,根据∠DOF=∠AOF, ∠DOR=2DAE,得zDOF=∠0AF=∠AOP=∠OFA=60°，∠COD=∠0AF=60°，得0=OD=5, 根据△FAH兰△ODH(ASA),得S阴影=S形DOF,即得. 第9页，共12页 13.(本小题20分) 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况.在大自然里，有很多数学的奥秘.图1是一片 美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成. CL G 、B O D C N 图1 图2 图3 图4 【探究一】确定心形叶片的形状 (1)如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数y=x2+bx图象的一 部分，己知该抛物线经过原点，顶点D坐标为(2，-1)且与x轴的另一交点为C.求C点坐标及抛物线的解 析式： 【探究二】研究心形叶片的尺寸 (2)如图3，在(1)的条件下，心形叶片的对称轴，即直线y=x+1与坐标轴交于A,B两点，点C,C1是叶 片上的一对对称点，线段CC,交直线AB于点G证明△AGC是等腰直角三角形并求出线段CC1的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 (3)小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数y=x2图象的 一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为(4,4). 在右侧上方轮廓线上任取一点M,过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N,求N的最大值. 【答案】C点坐标为(4,0)，y=x2-x5V22 【解析】解：(1)抛物线y=x2+bx的顶点坐标为(2，-1)， b.≥2 2a -b2 4a 解得：a=子b=-1, 抛物线的解析式为y=x2-x. 当y=0时，x2-x=0. 解得x1=0,X3=4, ∴C点坐标为(4,0)… 5分 第10页，共12页 (2)~直线y=x+1与坐标轴交于A,B两点， 令x=0,得y=1,令y=0,则x+1=0,x=-1, A(-1,0),B(0,1), ∴.OA=OB=1, .∴△AB0是等腰直角三角形. 6分 .∠BA0=45°； ~直线y=x+1是心形叶片的对称轴，且点C,C1是叶片上的一对对称点， .∠CGA=90°，CC1=2CG, .∠GCA=45°， △AGC是等腰直角三角形. 8分 CG-AC, C点坐标为(4,0)， AC=4-(-1)=5, cG=9, .cC=2CG=5v2......... …14分 (3)右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为1=一-x2+bx+c0<×≤4)，代入(0,0八、(4,4)得： c=0 4=-4×16+4b 解得代子 5y1-X2+2X(0<X≤4)， 16分 设M点坐标为m,-m2+2m0<m≤4)，则Nm,m), MN=-m2+2mn-2m2=-m2+2m=-m-22+2, ”-×0,0<m≤4， 当m=2时，MN的最大值为2.20分 (①)根据项点坐标公式（一品“。）列方程组求解，得到函数解析式，再令y=0解方程得到C点坐标： 2)先求出OA=OB=1,得到∠BA0=45,得AC=5,求得CG=, 根据对称性得CC1=5V2: 第11页，共12页 3)运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为y1=-x2+2x(0<x≤④，设M点坐标为m,-m2+ 2m),则Nm,m2),得MN=-m2+2m,运用二次函数的性质可求解。 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，等 腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键， 第12页，共12页 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十二） 数学学科答案解析 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.中国是历史上最早认识和使用负数的国家．若冰箱冷藏室的温度为零上，记作，则冷冻室的温度为零下，可记作   ． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：由题意可知，零下可记作． 2.若式子有意义，则的取值范围是(    ) A. B. 且 C. D. 【答案】B  【解析】根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不为零求解即可． 【详解】解：式子有意义， 且， 解得且． 3.若反比例函数的图象经过点，则该函数的图象分别位于(    ) A. 第一、三象限 B. 第一、四象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D  【解析】根据题意得出，进而根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：函数的图象经过点， ， 函数的图象位于第二、四象限． 4.如图所示，四边形内接于，点为劣弧的中点，连接，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】根据点为劣弧的中点，可得到，然后求出的度数，最后根据圆心角与同弧所对的圆周角的关系求出的度数． 【详解】解：点是劣弧的中点， ， ， ， ． 5.周末，小华骑自行车从家里出发到植物园游玩，从家出发小时后，因自行车损坏修理了一段时间后，按原速前往植物园，小华离家小时分钟后，爸爸开车沿相同路线前往植物园，如图是他们离家的路程与小华离家时间的函数图象已知爸爸开车的速度是小华骑车速度的倍，若爸爸比小华早分钟到达植物园，下列说法哪项是错误的是(    ) A. 小华的速度是 B. 爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的函数表达式： C. 爸爸在出发分钟后与小华相遇 D. 小华家到植物园的距离是 【答案】D  【解析】解：如图， ：小华走了， 小华的速度为，不合题意； ：爸爸开车的速度是， 爸爸离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：，不合题意； ：时，小华离家的路程与小华离家的时间之间的关系为：， 由图可知爸爸和小华在点处相遇， 当时， 解得， ， 爸爸在出发分钟后与小华相遇，不合题意； ：设家到植物园的路程为，则， 解得，符合题意． 故选：． 根据图象给出的信息逐项判断即可． 本题考查了一次函数的应用、函数图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 6.反比例函数的图象上有，两点下列正确的选项是(    ) A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】A  【解析】反比例函数中，，此函数图像的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小，当时，，，，选项 A正确． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 7.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥一辆汽车在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为和，若汽车通过海底隧道需要小时，通过主桥需要小时，则主桥和海底隧道的长度和用代数式表示为        千米． 【答案】  【解析】解：已知，路程速度时间，汽车在海底隧道行驶的平均速度为，通过时间为小时， 故海底隧道的长度为千米， 由题知，汽车在主桥上行驶的平均速度为，通过时间为小时， 故主桥的长度为千米， 所以，主桥和海底隧道的长度和为千米， 故答案为：． 根据路程速度时间，分别求出海底隧道与主桥的长度，再求和即可得到总长度． 本题考查列代数式，解题的关键是读懂题意正确列式． 8.竹编技艺是云南省级非物质文化遗产，匠人们用灵巧的双手编织出各式各样的实用器物，如图所示，在一次非遗体验活动中，非遗代表性传承人用一张半径为的扇形竹篾制作了一个圆锥形竹帽接缝处忽略不计若圆锥形竹帽的底面圆的半径为，则这张扇形竹篾的圆心角的度数为           【答案】  【解析】先求圆锥形竹帽的底面圆的周长，即扇形竹篾的弧长，再由弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：由圆锥形竹帽的底面圆的半径为，可得底面圆的周长为， 扇形竹篾的弧长为， 设这张扇形竹篾的圆心角的度数为，则 ， 解得． 故答案为：． 9.如图，矩形的边，点是边上的一个动点不与点重合，过点的反比例函数的图象与边交于点当四边形的面积最大时，的长度为          ． 【答案】  【解析】本题考查了反比例函数与图形的综合，掌握矩形的性质，图形面积与反比例函数系数的关系是关键． 根据题意点的纵坐标为，点的横坐标为，则，，由代入计算得到，由此即可求解． 【详解】解：四边形是矩形，， ， ， 过点的反比例函数的图象与边交于点， 点的纵坐标为，点的横坐标为， ，， ， ， ， 当时，四边形的面积最大，最大值为， ， 故答案为：． 10.如图，在菱形中，，，是一条对角线，是上一点，过点作，垂足为，连接，若，则的长为        ． 【答案】  【解析】解：过点作， 四边形是菱形，，， 菱形的对角相等，菱形的四条边相等， 与是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 根据菱形的性质可知与是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：，根据含角的直角三角形的性质可知，可得：，，根据线段之间的关系可得：，利用勾股定理即可求出的长度． 本题考查菱形，掌握菱形的性质是解题的关键． 三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分计算： ； ． 【解析】解：....................................................3分 ...............................................................................................................................................5分 .........................................................................................................................3分 ...........................................................................................................................................5分 根据二次根式的性质、零指数幂的意义、负整数指数幂的意义计算即可； 根据分式混合运算法则计算即可． 本题考查了实数的混合运算，分式的化简，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． 求证：是的切线； 若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ，.........................................................................................................................5分 ， ， ， 为半径， 是的切线；.........................................................................................................................10分 (2)解：如图2，连接交于， ​， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即，.........................................................................................................................15分 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为........................................................................................................................................20分 【解析】  连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得；  连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 13.本小题分 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况在大自然里，有很多数学的奥秘图是一片美丽的心形叶片，图是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 如图建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点坐标为且与轴的另一交点为求点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 如图，在的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于，两点，点，是叶片上的一对对称点，线段交直线于点证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖的坐标为在右侧上方轮廓线上任取一点，过作轴垂线交下方轮廓线于点，求的最大值． 【答案】点坐标为，     【解析】解：抛物线的顶点坐标为， 解得：，， 抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， 点坐标为.........................................................................................................................5分 直线与坐标轴交于，两点， 令，得，令，则，， ，， ， 是等腰直角三角形.........................................................................................................................6分 ； 直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ，， ， 是等腰直角三角形..........................................................................................................................8分 ， 点坐标为， ， ， .........................................................................................................................................14分 右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得： ， 解得， ，.........................................................................................................................16分 设点坐标为，则， ， ，， 当时，的最大值为．.........................................................................................................................20分 根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； 先求出，得到，得，求得，根据对称性得； 运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $